• a x 0 x 1 x 2 L x i L x n b ，用 x i 表示
区间[ xi1 , xi ] (i1,2,Ln) 的长度，记
,
在区间 [ xi1 , xi ] 上任取一点 i ，作和
数
Sn
n
f
(i
)xi
，若当(T)
0时，S n
（I 有限
i1
数），且 I
与分割 T
及 在区间 i
a5m/s2. 所以 vt v0at105t，
而停车时 v t 0 ，因此 t 2 .故 S0 2vtdt0 2(105t)dt10.
即刹车后，汽车需要走1 0 m 才能停住 .
随堂练习： P86 7
小结：这节课主要讲原函数的定义，微积分 基本定理及运用.
作业： P85 A6
• a bf(x)dxF (x)b aF (b)F (a).
• 上述公式是Newton —Leibniz公式，也称作
微积分基本公式.
• 注意： 定理的证明放到大学里去证，要用到 积上限函数
•
(x)
x
f (t)dt
,
a
x[a,b] .
例1 计算下列定积分：
• （1）
1
2xdx ;
0
• （2） 1 x 2 d x ; 0
第2节 微积分基本定理
乐安一中 王朝华
一.教学目的：使学生掌握微积分基本 定理，并运用求定积分 二．教学重点：应用微积分基本定理 计算微积分 三．教学难点：求一个函数的原函数 四．教学方法：讲练结合
• （一）复习提问 • 1定积分概念
(T)Max{xi} 1in
• 设函数y f (x)定义在区间[ a , b ] 上，用分割T 将区间 [ a , b ] 分成n个小区间，分点依次为
• （5）a x 的原函数是 a x c ； ln a
• （6）s i n x 的原函数是 cosxc；
• （7）cos x的原函数是 sinxc ；
• （8） 1 的原函数是arcsinxc. 1 x2
• 3微积分基本定理
• 设函数 f ( x ) 在区间 [ a , b ] 上连续，若 F ( x ) 是 f ( x ) 在区间[ a , b ] 上的一个原函数，则
b
b
• （2） a [f(x ) g (x )]d x af(x )d x ag (x )d x;
• （3） 积分区间的可加性
•
bf(x)dxcf(x)dxbf(x)dx,
a
a
c
(
acb
).
• （二）讲新课
• 1原函数的定义
• 设函数 f ( x ) 定义在某区间 I 上，如果存 在函数 F ( x ) 使得 x I 都有F(x)f(x) ，
那么称函数 F ( x ) 为 f ( x ) 在区间 I 上的一
个原函数.
• 易知：f ( x ) 的所有原函数可以表示为 F(x) C （ C 为任意常数）.
• 2 常见基本初等函数的原函数表 • （1）1的原函数是 x c ；
• （2）x 的原函数是 1 x1+C(1)；
1
（3）1x 的原函数是 ln x c ； • （4）e x 的原函数是 e x c ；
[ x i1 , x i ] (i1,2,Ln)
上的选取无关，则称此极限为 f ( x ) 在区间 [ a , b ]
上的定积分，记为
b
I a f (x)dx
.
• 2定积分几何的意义 • 就是曲边梯形的面积. • 3定积分的性质
• （1） abkf(x)dxkabf(x)dx（k为任意常数）;
b
x • 例2 计算 y sin x在 [0， ] 上与 轴所围成 平面图形的面积.
• 【解】 A0 sinxdxcosx 02.
• 例3 汽车以每小时 36km 的速度行驶，到某处 需要减速停车，设汽车以等加速度 a 5m s2
• 刹车，问从开始刹车到停车，汽车走了距离？
【解】因为当 t 0时， v0 10m/ s；又
• （3）
2 0
c
o
s
xd
x
;
• （4） 2 e x d x . 1
【解】（1）原式= 20 1xdx21 2x21 012021.
（2）原式=
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1x3 3
1 0
1(13 3
03)1 3
.
（3）原式=
sinx
2 0
sin sin01
2
.
（4）原式= 12exdxex1 2e2e1e2e.
随堂练习：P8 5 1 .