《高等代数》（上）题库第一章多项式填空题(1.7)1、设用x-1除f(x)余数为5，用x+1除f(x)余数为7，则用x2-1除f(x)余数是。
(1.5)2、当p(x)是多项式时，由p(x)| f(x)g(x)可推出p(x)|f(x)或p(x)|g(x)。
(1.4)3、当f(x)与g(x) 时，由f(x)|g(x)h(x)可推出f(x)|h(x)。
(1.5)4、设f(x)=x3+3x2+ax+b 用x+1除余数为3，用x-1除余数为5，那么a= b。
(1.7)5、设f(x)=x4+3x2-kx+2用x-1除余数为3，则k= 。
(1.7)6、如果(x2-1)2|x4-3x3+6x2+ax+b，则a= b= 。
(1.7)7、如果f(x)=x3-3x+k有重根，那么k= 。
(1.8)8、以l为二重根，2，1+i为单根的次数最低的实系数多项式为f(x)= 。
(1.8)9、已知1-i是f(x)=x4-4x3+5x2-2x-2的一个根，则f(x)的全部根是。
(1.4)10、如果（f(x),g(x)）=1，（h(x),g(x)）=1 则。
(1.5)11、设p(x)是不可约多项式，p(x)|f(x)g(x),则。
(1.3)12、如果f(x)|g(x),g(x)|h(x)，则。
(1.5)13、设p(x)是不可约多项式，f(x)是任一多项式，则。
(1.3)14、若f(x)|g(x)+h(x),f(x)|g(x)，则。
(1.3)15、若f(x)|g(x),f(x)| h(x)，则。
(1.4)16、若g(x)|f(x),h(x)|f(x)，且(g(x),h(x))=1，则。
(1.5)17、若p(x) |g(x)h(x),且则p(x)|g(x)或p(x)|h(x)。
(1.4)18、若f(x)|g(x)+h(x)且f(x)|g(x)-h(x),则。
(1.7)19、α是f(x)的根的充分必要条件是。
(1.7)20、f(x)没有重根的充分必要条件是。
答案1、-x+62、不可约3、互素4、a=0,b=15、k=36、a=3,b=-77、k=±28、x5-6x4+15x3-20x2+14x-4 9、1-i,1+i 1+2,1-2 10、(f(x)h(x),g(x))=1 11、p(x)|f(x)或p(x)|g(x) 12、f(x)|h(x) 13、p(x)|f(x)或(p(x),f(x))=1 14、f(x)|h(x) 15、f(x)|g(x)+h(x) 16、g(x)h(x)|f(x) 17、p(x)是不可约多项式 18、f(x)|g(x)且f(x)|h(x) 19、x-α|f(x) 20、(f(x),f’(x))=1判断并说明理由(1.1)1、数集}{1,,|2-=+i b a bi a 是有理数是数域（ ） (1.1)2、数集}{1,,|2-=+i b a bi a 是整数是数域 （ ）(1.3)3、若f(x)|g(x)h(x),f(x)|g(x),则f(x)|h(x) ( ) (1.3)4、若f(x)|g(x)+h(x),f(x)|g(x),则f(x)|h(x) （ ） (1.4)5、若g(x)|f(x),h(x)|f(x)，则g(x)h(x)|f(x) （ ）(1.4)6、若（f(x)g(x),h(x)）=1,则（f(x),h(x)）=1 (g(x),h(x))=1 ( ) 7、若f(x)|g(x)h(x),且f(x)|g(x),则(f(x),h(x))=1 ( )(1.6)8、设p(x)是数域p 上不可约多项式，那么如果p(x)是f(x)的k 重因式，则p(x)是f(x)的k-1重因式。
（ ）(1.9)9、如果f(x)在有理数域上是可约的，则f(x)必有有理根。
（ ） (1.9)10、f(x)=x 4-2x 3+8x-10在有理数域上不可约。
（ ）(1.1)11、数集}{是有理数b a b a ,|2+是数域 （ ）(1.1)12、数集}{为整数n n|2是数域 （ ）(1.3)13、若f(x)|g(x)h(x)，则f(x)|g(x)或f(x)|h(x) ( ) (1.3)14、若f(x)|g(x),f(x)|h(x)，则f(x)|g(x)h(x) ( )(1.3)15、若f(x)|g(x)+h(x),f(x)|g(x)-h(x)，则f(x)|g(x)且f(x)|h(x) ( )(1.4)16、若有d(x)=f(x)u(x)+g(x)v(x),则d(x)是f(x),g(x)的最大公因式 （ ）(1.6)17、若p(x)是f ’(x)的k 重因式，则p(x)是f(x)的k+1重因式（ ） (1.7)18、如果f(x)没有有理根，则它在有理数域上不可约。
（ ） (1.8)19、奇次数的实系数多项式必有实根。
（ ） (1.9)20、 f(x)=x 6+x 3+1在有理数域上可约。
（ ）答案：1、√ 2、× 3、× 4、√ 5、× 6、√ 7、× 8、√ 9、× 10、√11、√ 12、× 除法不封闭 13、× 当f(x)是不可约时才成立 14、× 如f(x)=x 2，g(x)=h(x)=x 时 不成立 15、√ 16、× 17、×如f(x)=x k+1+1 18×、19、√虚根成对 20、× 变形后用判别法知 不可约选择题(1.1)1、以下数集不是数域的是（ ）A 、{是有理数b a bi a ,|+，i 2= -1}B 、 {是整数b a bi a ,|+，i 2= -1}C 、{}是有理数b a b a ,|2+D 、{}全体有理数(1.3)2、关于多项式的整除，以下命题正确的是 （ ）A 、若f(x)|g(x)h(x),且f(x)|g(x)则f(x)|h(x)B 、若g(x)|f(x),h(x)|f(x),则g(x)h(x)|f(x)C 、若f(x)|g(x)+h(x)，且f(x)|g(x)，则/ f(x)|h(x)D 、若f(x)|g(x)，f(x)|h(x)，则f(x)|g(x)h(x)(1.4)3、关于多项式的最大公因式，以下结论正确的是 （ ） A 、若f(x)|g(x)h(x) 且f(x)|g(x) ,则（f(x),h(x)）=1B 、若存在u(x)，v(x)，使得f(x)u(x)+g(x)v(x)=d(x)，则d(x)是f(x)和g(x)的最大公因式C 、若d(x)|f(x),且有f(x)u(x)+g(x)v(x) =d(x)，则d(x)是f(x)和g(x)的最大公因式D 、若(f(x)g(x),h(x))=1，则(f(x),h(x))=1且(g(x),h(x))=1（ ） (1.7)4、关于多项式的根，以下结论正确的是 （ ） A 、如果f(x)在有理数域上可约，则它必有理根。
B 、如果f(x)在实数域上可约，则它必有实根。
C 、如果f(x)没有有理根，则f(x)在有理数域上不可约。
D 、一个三次实系数多项式必有实根。
(1.6)5、关于多项式的重因式，以下结论正确的是（ ）A 、若f(x)是f ’(x)的k 重因式，则p(x) 是f(x)的k+1重因式B 、若p(x)是f(x)的k 重因式，则p(x) 是f(x)，f ’(x)的公因式C 、若p(x)是f ’(x)的因式，则p(x)是f(x)的重因式D 、若p(x)是f(x)的重因式，则p(x)是))(),(()(x f x f x f 的单因式 (1.7)6、关于多项式的根，以下结论不正确的是 （ ）A 、α是f(x)的根的充分必要条件是x-α|f(x)B 、若f(x)没有有理根，则f(x)在有理数域上不可约C 、每个次数≥1的复数系数多项式，在复数域中有根D 、一个三次的实系数多项式必有实根(1.7)7、设f(x)=x 3-3x+k 有重根，那么k=（ ） A 、1 B 、-1 C 、±2 D 、0 (1.9)8、设f(x)=x 3-3x 2+tx-1是整系数多项式，当t=( )时，f(x)在有理数域上可约。
A 、1 B 、0 C 、-1 D 、3或-5(1.9)9、设f(x)=x 3-tx 2+5x+1是整系数多项式，当t=（ ）时，f(x)在有理数域上可约。
A 、t=7或3B 、1C 、-1D 、0(1.9)10、设f(x)=x 3+tx 2+3x-1是整系数多项式，当t=( )时，f(x)在有理数域上可约。
A 、1B 、-1C 、0D 、5或-3(1.5)11、关于不可约多项式p(x),以下结论不正确的是（ ） A 、若p(x)|f(x)g(x)，则p(x)|f(x)或p(x)|g(x)B 、若q(x)也是不可约多项式，则（p(x),q(x)）=1或p(x)=cq(x) c ≠0C 、p(x)是任何数域上的不可约多项式D 、p(x)是有理数域上的不可约多项式(1.9)12、设f(x)=x 5+5x+1，以下结论不正确的是（ ）A 、f(x)在有理数域上 不可约B 、f(x)在有理数域上 可约C 、f(x)有一实根D 、f(x)没有有理根(1.9)13、设f(x)=x p +px+1,p 为奇素数，以下结论正确的是 （ ） A 、f(x)在有理数域上 不可约B 、f(x)在有理数域上 可约C 、f(x)在实数域上 不可约D 、f(x)在复数域上 不可约答案：1、B2、C3、D4、D5、D6、B7、C8、D9、A 10、D 11、C 12、B 13、A计算题(1.3)1、求m ，p 的值使 x 2+3x+2|x 4-mx 2-px+2解：用带余除法 求得r(x)=-(3m+p+15)x-(2m+12)令r(x)=0即⎩⎨⎧=+=++060153m p m求得m= -6 p=3(1.6)2、判断f(x)=x 4-6x 2+8x-3有无重因式，如果有，求其重数 解：f ’(x)=4x 3-12x+8 (f(x),f ’(x))=(x-1)2x-1是f(x)的三重因式(1.7)3、设f(x)=x 4-3x 3+6x 2-10x+16, C=3，求f(c)解：用综合除法求得f(c)=40(1.7)4、决是t 的值，使f(x)=x 3-3x 2+tx-1 有重根解J ：由辗转除法使（f(x),f ’(x)）≠求得t=3 或t=415-当t=3时 f(x)有三重根1 当t=415-时，f(x)有二重根-21(1.9)5、设f(x)=x 5+x 4-2x 3-x 2-x+2，求f(x)的有理根，并写出f(x)在实数域和复数域上的标准分解式。
解：有理根是1（二重），2 实数域上分解式为f(x)=(x-1)2(x+2)(x 2+x+1)复数域上分解式为f(x)=(x-1)2(x+2)(x+21-23i)(x+)2321i +(1.9)6、求f(x)=4x 4-7x 2-5x+1的有理根，并写出f(x)在有理数域上的标准分解式。