1])(2[0x -t u Acos y ϕλπ+=.二、波函数的物理意义1、 如果x = x 0为给定值，)()(00ϕωω+=ux -t Acos t y)(00ϕλπω+=x2-t Acos .这就是波线上x 0处质点在任意时刻t 离开自己平衡位置的位移。

即x 0处质点的振动方程。

它在t = 0时的位相为002ϕλπϕ+-='x ，表示x 0处质点的振动比原点的振动始终落后一个位相λπϕϕ002x -=-'。

2、如果t = t 0为给定值，])([)(00ϕω+=ux-t Acos x y 只是x 的函数，表示t = t 0时刻各质点离开各自平衡位置的位移分布情况，称为t 0时刻的波形方程。

3、如果t ，x 都在变化，则 t 时刻波动方程])([ω)(0ux-t Acos t x,y ϕ+=； t+t ∆时刻波动方程])([ω)(0ux-t t Acos t t x,y ϕ+∆+=∆+。

画出t 和t+t ∆时刻的波形，便可形象地看出波形向前传播的图象。

波形向前传播的速度等于波速u 。

由于波形向前传播，x 处质点在不同时刻t 和t+Δt 的位移是不同的。

但从上面的t 时刻波形和t+Δt 时刻波形可以看出：（2） 如图所示例4：如图，一平面简谐波沿ox 轴正方向传播，波长为λ，若p 1点处质点的振动方程为)t 2(Acos y 1φνπ+=，则P 2点处质点的振动方程为 ；与P 1点处质点振动状态相同的那些点的位置是 。

解：(1) 由图知P 2点的振动落后于P 1，⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫⎝⎛+=φνπu L L -t 2Acos y 212⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫⎝⎛+=φλνπ21L L -t 2Acos(2) λk L x 1±=+ (k=1,2,…) ∴ 1L -k x λ±=§6.3 波的能量一、 波的能量和能量密度以平面简谐弹性纵波在细长棒中传播为例。

如图所示，有一密度为ρ的细长棒沿ox 轴放置，一列平面简谐纵波以波速u 沿着棒长方向传播时，棒中每一小段都受到压缩和拉伸。

设波动方程为：])([ω0ux t Acos y ϕ+-=固体细长棒中纵波的传播在坐标为x 处取一小体积元dV = sdx ，其质量为dV ρdm =dx s ρ=，当波传到该体积元时，这部分介质的速率随时间变化0 1 2 3 4 xyt=T/4时的波形曲线P 1 o P 2 xL 1 L 2)(])([0x ,t v ux t ωsin A ωt y v =+--=∂∂=ϕ，其振动动能])([)()(0ϕ+-==ux t ωsin ωA dV ρ21v dm 21dW 2222K ； 同时，体积元因形变而具有弹性势能，可以证明体积元的弹性势能 ])(ω[ω)(ρ0ϕ+-=ux t sin A dV 21dW 222P ；体积元的总能量])(ω[ω)(ρ0ϕ+-=+=ux t sin A dV dW dW dW 222P K 。

以上结果表明：1) 波动传播过程中，任一时刻、任一体积元的动能和势能不仅大小相等，而且位相相同，即两者总是随时间同步变化。

2）波动能量和振动能量有根本区别。

振动过程系统的机械能守恒；对波动来说，任一体积元都与周围质点交换能量，能量不守恒，即能量随着波动的传播而传播。

3）对振动质点来说，位移最大时、速度为零，振动势能最大、动能为零；质点通过平衡位置时，位移为零、速度最大，振动势能为零、动能最大。

而对于波动中的任一体积元来说，位移最大时、相对形变为零、速度为零，所以动能和势能均为零；当体积元在位移为零（即平衡位置）时，相对形变和速度都是最大，所以势能和动能均最大。

介质中单位体积内的能量叫能量密度，用ω表示⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-==0222)(sin ϕωωρωu x t A dv dw 。

它在一个周期内的平均值叫平均能量密度 220211ωρωϖA dt TT⎰==。

二、波的能流和能流密度1、能流、平均能流：能流 —— 单位时间内通过介质中某一面积的能量称为通过该面积的能流。

如图所示，s 为垂直于波速u 的平面，则单位时间内通过s 面的能量平均来说等于以s 为底、u 为长度的体积内的能量，即uS w P =P 称为通过s 面的平均能流。

式中w 为平均能量密度，对简谐波22ωA ρ21w =，所以uS ωA ρ21P 22=2、平均能流密度：单位时间内通过垂直于波的传播方向的单位面积上的平均能量，称为平均能流密度，一般用I 表示，即u ωA ρ21u w S P I 22===。

由此可见，平均能流密度I 与振幅的平方成正比，是波的强弱的一种量度，因而也称为波的强度。

三、波的吸收1、无吸收的均匀介质中，波的振幅保持不变；如下图，通过面积S 1和S 2的平均能流相等。

即21P P = 所以 1221uS A 21ωρ2222uS A 21ωρ=即A 1 = A 22、波的吸收波动在均匀介质中传播时，介质总要吸收一部分波的能量而转变为其它形式的能量，所以波的振幅将沿着波的传播方向逐渐减小。

实验指出：当平面波通过极薄的一层介质（厚度为dx ）后，振幅减少-dA 与波进入介质薄层时的振幅A 及薄层厚度dx 成正比：Adx αdA =-，式中α为常数，称为介质的吸收系数，积分可得： αxA A -=e0。

A 0和A 分别为x = 0和x=x 处波的振幅。

由于波的强度与波的振幅的平方成正比，所以波的强度衰减的规律为： xeI I α20-=I 0和I 分别为x = 0和x=x 处波的强度。

§6.4 惠更斯原理 波的叠加和干涉一、 惠更斯原理1 惠更斯原理：介质中波动传播到的各点都可以看作是发射子波的波源，其后任一时刻，这些子波的包迹就是新的波阵面。

所以，S 2外侧各点合振幅A=2A 1，合振动强度I = 4I 1。

§6.5 驻波一、 驻波的形成1、概念：在同一介质中，两列振幅相同的相干平面简谐波，在同一直线上沿相反方向传播时叠加形成的波称为驻波。

2、驻波的演示实验如下图，音叉在绷紧的弦上产生驻波，固定点B 总是波节。

3、从两波波形图的叠加看驻波的形成：观察演示；4、驻波方程：两波波动方程分别 为 )x T t (2cos A y 1λπ-=)x T t (2cos A y 2λπ+= 即这两列波在t = 0时刻，x = 0处的初位相均为零。

则合成波的波动方程为2()()λλππλ12t x t xy y y Acos Acos2T T x t2Acos2cos2Tππ=+=-++=。

5、驻波特点：a 、波线上各点有不同的振幅，在上述的驻波方程Tt cos2x 2Acos2y y y 21πλπ=+= 中，位于x 处的质点其振幅为λx 2Acos2π； b 、波节和波腹 —— 波线上始终不动（振幅为零）的点，称为波节；波线上振幅最大的点，称为波幅；两个相邻的波节（或波腹）之间的距离为2/λ；c 、线上各点分段振动，同一分段各点位相相同；相邻两分段位相相反；二、波在两种界面上的反射1、半波损失 —— 当波从波疏介质（介质密度ρ与波速u 的乘积较小的介质）垂直入射到波密介质（介质密度ρ与波速u 的乘积较大的介质）时，在界面上反射波与入射波的位相相反，称为有半波损失；当波从波密介质入射到波疏介质时，在界面上反射波与入射波的位相相同，没有半波损失。

2、入射波和反射波在两种界面上的合成：当存在半波损失时，界面上是波节；当没有半波损失时，界面上是波腹。

例6：一简谐波沿ox 轴正向传播，图中所示为该波t 时刻的波形图，欲沿ox 轴形成驻波，且使原点处出现波节，画出另一简谐波t 时刻的波形图。

因为要使原点o 处出现波节即任一时刻（不仅仅是图示的t 时刻）o 处质点的位移总是零，例如，当经过1/4周期右行波使o 处质点的位移为 – A ，则左行波应使o 处质点的位移为A ，所以，另一简谐波应是左行波且t 时刻的波形图如上图中的红线所示。

例如图所示，沿x轴正向传播的平面简谐波方程为)]200(200cos[2.0xt y -=π)(SI ，两种介质的分界面P 与坐标原点o 相距m d 0.6=，入射波在界面上反射后振幅无变化，且反射处为固定端。

求：（1）反射波方程；（2）驻波方程；（3）在o 与P 之间各个波节和波腹点的坐标。

解：（1）由入射波方程可知频率Hz 1002==πων，波长m u2==νλ，反射波的振幅、频率、波速均与入射波相同。

入射波在界面处的振动方程u 右行波t 时刻波形oxoxu 左行波t 时刻波形右行波（t +T/4）时刻波左行波（t +T/4）时刻波形§6.6 多普勒效应一、多普勒效应的概念当波源或观察者、或者两者同时相对于介质有相对运动时，观察者接收到的波的频率与波源的振动频率不同的现象称为多普勒效应。

二、观察者接收到的波的频率1、波源不动、观察者以B v 相对于介质运动：设观察者向着波源运动，即0>B v ，则在单位时间内观察者接收到的完整波的数目即观察者实际接收到的波的频率νννλλν>+=+=+=+='=')1(uvu v u uT v u v u u B B B B。

当观察者向着波源运动时，接收到的频率为波源振动频率的）（uv B+1倍；当观察者远离波源运动时，0<B v ，接收到的频率比波源振动频率小。

2、观察者不动、波源以速度S v 相对于介质运动：如图所示，假设波源以速度S v 向着观察者运动。

因为波速与波源运动无关，所以在波源振动的一个周期里，波向前传播的距离等于一个波长λ，但波源S 在一个周期里在波的传播方向上移动了T v S 的距离到达S '点，结果使得一个完整波被挤压在O S '之间，相当于波长减少为T v S -='λλ。

因此，观察者单位时间里接收到的完整波的数目，即观察者接收到的频率为 ννλλν>-=-=-='='SS S v u u T v uT u T v u u 。

当波源向着观察者运动时，0>S v ，观察者接收到的频率为波源振动频率的su V s*§6.7 色散 波包 群速度一、波的叠加 波包1、单色波、波包:频率单一的波叫单色波。

由一群单色波组成的有限长的波列叫波包。

平面简谐波就是单色波，它的波列是无限长的。

根据付立叶分解的观点，有限长的波列相当于许多单色波的叠加。

由这样一群单色波组成的波列叫波包。

例如，前面讲到的“拍”是振幅受到低频调制的高频波列，因为它有一系列最大值、所以还不是典型的波包。

要得到真正的波包，需要更多的频率或波长相近的单色波叠加在一起。