复变函数与积分变换期末试题一.填空题(每小题3分,共计15分)1.231i -的幅角是;2.)1(i Ln +-的主值是();3. 211)(z z f +=,=)0()5(f ( 0 ),4.0=z 是4sin z z z -的( 一级 )极点;5. zz f 1)(=,=∞]),([Re z f s (-1 ); 二.选择题(每题3分,共15分)1.解析函数),(),()(y x iv y x u z f +=的导函数为( );(A ) y x iu u z f +=')(; (B )y x iu u z f -=')(;(C )y x iv u z f +=')(; (D )x y iv u z f +=')(.2.C 是正向圆周3=z ,如果函数=)(z f ( ),则0d )(=⎰Cz z f . (A ) 23-z ; (B )2)1(3--z z ; (C )2)2()1(3--z z ;3.如果级数∑∞=1n n nz c 在2=z 点收敛,则级数在(A )2-=z 点条件收敛 ; (B )i z 2=点绝对收敛;(C )i z +=1点绝对收敛; (D )i z 21+=点一定发散.4.下列结论正确的是( )(A )如果函数)(z f 在0z 点可导,则)(z f 在0z 点一定解析;(C )如果0)(=⎰C dz z f ,则函数)(z f 在C 所围成的区域内一定解析;(D )函数),(),()(y x iv y x u z f +=在区域内解析的充分必要条件是),(y x u 、),(y x v 在该区域内均为调和函数.5.下列结论不正确的是( ).(A) 的可去奇点;为z1sin ∞(B) 的本性奇点;为z sin ∞ (C);1sin 1的孤立奇点为z ∞三.按要求完成下列各题(每小题10分,共40分)(1).设)()(2222y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数,求.,,,d c b a解:因为)(z f 解析,由C-R 条件y v x u ∂∂=∂∂ xv y u ∂∂-=∂∂ y dx ay x 22+=+,22dy cx by ax --=+,2,2==d a ,,2,2d b c a -=-=,1,1-=-=b c给出C-R 条件6分,正确求导给2分,结果正确2分。
(2).计算⎰-C zz zz e d )1(2其中C 是正向圆周: 解:本题可以用柯西公式\柯西高阶导数公式计算也可用留数计算洛朗展开计算,仅给出用前者计算过程 因为函数zz e z f z2)1()(-=在复平面内只有两个奇点1,021==z z ,分别以21,z z 为圆心画互不相交互不包含的小圆21,c c 且位于c 内⎰⎰⎰-+-=-21d )1(d )1(d )1(222C z C z C zz z z e z zz e z z z e i z e i z e i z z z z πππ2)1(2)(2021=-+'===无论采用那种方法给出公式至少给一半分,其他酌情给分。
(3).⎰=++3342215d )2()1(z z z z z 解:设)(z f 在有限复平面内所有奇点均在:3<z 内,由留数定理]),([Re 2d )2()1(3342215∞-=++⎰=z f s i z z z z z π -----(5分)]1)1([Re 22zz f s i π= ----(8分) 234221521))1(2()11()1(1)1(zz z z z z f ++= 0,z )12()1(11)1(34222=++=有唯一的孤立奇点z z z z z f 1)12()1(11)1(]0,1)1([Re 34220202lim lim =++==→→z z z z zf z z f s z z ⎰==++∴33422152d )2()1(z i z z z z π --------(10分) (4)函数2332)3()(sin )2)(1()(-+-=z z z z z z f π在扩充复平面上有什么类型的奇点?,如果有极点,请指出它的级.解 :∞±±±==-+-=,的奇点为 ,3,2,1,0,)(sin )3()2)(1()(3232k k z z z z z z z f π(1)的三级零点,)为(032103=±±±==z k k z πsin ,,,,,(2)的可去奇点,是的二级极点,为,)()(,z f z z f z z 210-=±==(3)的一级极点,为)(3z f z =(4)的三级极点;,为)(4,3,2z f z ±-=(5)的非孤立奇点。
为)(z f ∞备注:给出全部奇点给5分 ,其他酌情给分。
四、(本题14分)将函数)1(1)(2-=z z z f 在以下区域内展开成罗朗级数; (1)110<-<z ,(2)10<<z ,(3)∞<<z 1解:(1)当110<-<z])11(1[)1(1)1(1)(2'+---=-=z z z z z f 而])1()1([])11(1[0'--='+-∑∞=n n n z z ∑∞=---=01)1()1(n n n z n∑∞=-+--=021)1()1()(n n n z n z f -------6分(2)当10<<z)1(1)1(1)(22z z z z z f --=-==∑∞=-021n n z z∑∞=--=02n n z -------10分(3)当∞<<z 1)11(1)1(1)(32zz z z z f -=-=∑∑∞=+∞===03031)1(1)(n n n n z z zz f ------14分 每步可以酌情给分。
五.(本题10分)用Laplace 变换求解常微分方程定解问题:⎩⎨⎧='===+'-''-1)0(1)0()(4)(5)(y y e x y x y x y x解:对)(x y 的Laplace 变换记做)(s L ,依据Laplace 变换性质有11)(4)1)((51)(2+=+----s s L s sL s s L s …(5分) 整理得)4(151)1(65)1(101 11)4(151)1(61)1(101 11)4)(1)(1(1)(-+-++=-+-+--+=-+--+=s s s s s s s s s s s s L …(7分) x x x e e e x y 415165101)(++=- …(10分)六、(6分)求)()(0>=-ββt et f 的傅立叶变换,并由此证明: t e d t ββπωωβω-+∞=+⎰2022cos 解:)()(0>=-+∞∞--⎰βωβω dt e e F t t i --------3分)()(000>+=-+∞-∞--⎰⎰βωβωβω dt e e dt e e F t t i t t i )()()(000>+=⎰⎰+∞+-∞--βωβωβ dt e dt e t i t i )()()(00>+--=+∞+-∞--βωβωβωβωβ i e i e t i t i )()(021122>+=++-=βωββωβωβω i i F ------4分 )()()(021>=⎰+∞∞-βωωπω d F e t f t i - -------5分 )(022122>+=⎰+∞∞-βωωββπω d e t i )()sin (cos 0122>++=⎰+∞∞-βωωωωββπ d t i t )(sin cos 0222022>+++=⎰⎰+∞∞-+∞βωωβωβπωωβωπβd t i d t)(cos )(02022>+=⎰+∞βωωβωπβd t t f , -------6分 te d t ββπωωβω-+∞=+⎰2022cos «复变函数与积分变换»期末试题简答及评分标准(B ) 填空题(每小题3分,共计15分)();2.)1(i Ln --的);3. 211)(z z f +=,=)0()7(f ( 0 );4.3sin )(z z z z f -= ,=]0),([Re z f s ( 0 ) ;5. 21)(z z f =,=∞]),([Rez f s ( 0 );二.选择题(每小题3分,共计15分)1.解析函数),(),()(y x iv y x u z f +=的导函数为( );(A )x y iv u z f +=')(; (B )y x iu u z f -=')(; (C )y x iv u z f +=')(; (D )y x iu u z f +=')(.2.C 是正向圆周2=z ,如果函数=)(z f ( ),则0d )(=⎰Cz z f . (B )13-z z ; (C )2)1(3-z z ; (D )2)1(3-z .3.如果级数∑∞=1n n n z c 在i z 2=点收敛,则级数在(A )2-=z 点条件收敛 ; (B )i z 2-=点绝对收敛;(C )i z +=1点绝对收敛; (D )i z 21+=点一定发散.4.下列结论正确的是( )(A )如果函数)(z f 在0z 点可导,则)(z f 在0z 点一定解析;(B) 如果0)(=⎰Cdz z f ,其中C 复平面内正向封闭曲线, 则)(z f 在C 所围成的区域内一定解析;(C )函数)(z f 在0z 点解析的充分必要条件是它在该点的邻域内一定可以展开成为0z z -的幂级数,而且展开式是唯一的;(D )函数),(),()(y x iv y x u z f +=在区域内解析的充分必要条件是),(y x u 、),(y x v 在该区域内均为调和函数.5.下列结论不正确的是( ).(A )、lnz 是复平面上的多值函数; cosz )B (、是无界函数;z sin )C (、 是复平面上的有界函数;(D )、z e 是周期函数.三.按要求完成下列各题(每小题10分,共计40分)(1)求d c b a ,,,使)()(2222y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数,解:因为)(z f 解析,由C-R 条件y v x u ∂∂=∂∂ xv y u ∂∂-=∂∂ y dx ay x 22+=+,22dy cx by ax --=+,2,2==d a ,,2,2d b c a -=-=,1,1-=-=b c给出C-R 条件6分,正确求导给2分,结果正确2分。