K Gk ( s ) s ( s 1)(0.25s 1)
试应用根轨迹法求取具有阻尼比ξ＝0.5的共轭闭环主导极 点和其它的闭环极点，并估算此时系统的性能指标。
解：将开环传递函数改写成零、极点的形式得
Kg 4K Gk ( s) s( s 1)( s 4) s( s 1)( s 4)
解之得
s1ห้องสมุดไป่ตู้2=-0.59, -3.41（舍去）
1800 d 900 2
所以，会合点出现于负实轴上-0.59处，根轨迹的会合角为
（4）实轴根轨迹存在于[－2，+ ）的区段。根轨迹 两分支会合后，一条终止于开环零点－z＝－2处，另一 条经坐标原点一直往右趋于无穷远处。

其实这是2个极点、1个零点的问题，前面已证明过根轨 迹呈圆弧状，圆心在－2处，半径为R＝ 2 。故用圆规 可迅速绘出，再加上实轴根轨迹即可。


同理，-p2上根轨迹的出射角为
2 45

（3）求根轨迹在实轴上的会合点 令
( s 2) N ( s) Gk ( s ) K g 2 Kg s 2s 2 D( s )
(s2+2s+2)-(s+2)(2s+2)=0
计算N’(S)D(S)-N(S)D’(S)=0，得
经整理后有 S2+4s+2=0
n
则系统在单位阶跃信号作用下的输出表达式 可用部分分式展开成
1 C ( s) ( s) s
K ( s zi )
i 1
m
(s p
j 1
n
j
)
1 a0 n a j s s j 1 s p j
其中， ai为对应极点的留数。从而系统的时间响应为
零点位置对阶跃响应的影响
试绘制Kg由 0 变化时的根轨迹。 解：根据正反馈系统根轨迹的有关法则知： （1）系统有1个零点-z=-2，2个极点-p1,2=-1±j。 共有2条根轨迹分支，由-p1,2出发。
（2）在开环复数极点-p1上根轨迹的出射角按式（4-52）得
1 ( p1 z) ( p1 p2 ) 45 90 45
根据根轨迹方程的幅值条件可得对应于-s1点的根轨迹增益为
Kg s1 p1 s1 p2 s1 p3
0.40 j0.69 0.40 j0.69 1 0.40 j0.69 4
极点在左半平面系统稳定 系统的阶跃响应与闭环零、极点的分布密 切相关
极点越靠近虚轴，动态性能越差 零点的加入可以使调节时间缩短
稳态误差与系统的无差度和开环放大系数 有关
假设n阶系统的闭环传递函数
( s)
K ( s zi )
i 1
m
(s p )
j j 1
3. 正反馈系统的根轨迹的绘制
闭环传函
闭环特征方程
正反馈系统的根轨迹方程
实轴上的根轨迹
渐近线与实轴的 夹角 出射角、入射角
注释：负反馈系统的根轨迹称为常规根轨迹或180°根轨迹
正反馈系统的根轨迹称为零度根轨迹
绘制正反馈系统的根轨迹时，前面介绍过的10条法则中， 有3条与相角方程有关的法则，要作如下相应的修改，其余7条 法则对正、负反馈系统则是相同的。 （1）实轴上的根轨迹：实轴上的根轨迹区段的右侧实轴上， 开环零点和极点数目之和应为偶数。 （2）根轨迹的渐近线： 渐近线与实轴的交点σa常规根轨迹相同 渐近线与正实轴的夹角应改为
式中，Kg=4K，K为开环放大系数，Kg为根轨迹增益。
图4-30为当Kg＝ 0 变化时的根轨迹。其中实轴
上

[-1,0]以及（－ ，-2]是根轨迹区段，实轴上根轨迹的分 离点落在（－0.465，j0）处。两条根轨迹与虚轴有交点， 交点处对应的临界增益Kgp＝20。 当K>5时，根轨迹引伸至右半s平面，表明系统具有一对 实部为正数的共轭复根，此时系统不稳定。因此，为使系统 稳定，开环传递系数的取值范围应是0<K<5。
Kg 7
1. 求取闭环系统极点的方法
绘出系统的根轨迹图 作出等阻尼线 β=arccos ς , 求出与根轨迹 的交点。此交点为闭环系统的一个极点 由根轨迹的对称性可等到闭环系统的另一 个极点 由闭环系统极点和开环系统极点之间的关 系可得到闭环系统的其他极点
例4-22 已知单位反馈系统的开环传递函数为
用根轨迹法分析控制系统的步骤:
1. 画出系统的根轨迹图 2. 在根轨迹上确定闭环零、极点的位置
3. 根据系统闭环零极点的分布分析系统
的性能
§4.4 求取闭环系统零、极点的方法
根轨迹图可以直观地看到闭环系 统极点的分布 如何找出想要的闭环极点？
如何分析系统性能？
闭环零点的分布？ 加入开环零极点对根轨迹 位置的影响？
θ=±180°2k / (n - m)
k=0,1,2…
(3)根轨迹的出射角和入射角： 离开开环极点-pa 时的出射角改为 a= b =

i
i
-

ja
j
离开开环零点-zb 时的入射角改为

j
j

i
i
正反馈系统的根轨迹与负反馈系统的根 轨迹是互补的
10 5
10 5
Imag Axis
0 -5 -10 -6 -4 -2 Real Axis 0 2
Imag Axis
0 -5 -10 -6 -4 -2 Real Axis 0 2
3
2
2 1
0
0 -1
-2 -4 -2 0 2
-2 -3 -4 -2 0 2
例4-20
设单位正反馈系统的开环传递函数为
Gk ( s )
K g ( s 2) s 2 2s 2
为了确定满足ξ＝0.5条件时系统的3个闭环极点，首先作 出ξ＝0.5的等阻尼线OA，它与负实轴的夹角为
arccos arccos 0.5 60
0
如图4-30的点划线所示。等阻尼线OA与根轨迹的交 点即为相应的闭环极点－s1，
－s1＝－0.40＋j0.69
另一共轭复数极点为－s2＝－0.4－j0.69. 再根据闭环极点之和等于开环极点之和的法则 －s1－s2－s3＝－p1－p2－p3 可求得对应的第三个闭环极点为 －s3＝（0－1－4）－（－0.4＋j0.69－0.4－j0.69） ＝－4.20