第六章一阶电路第一节电路中的过渡现象一、过渡现象及产生的原因：前面讲的稳态电路。

稳态电路的最大特点是当电路中的激励为恒定或作周期性变化时，电路中的响应也为恒定或作周期性变化。

在一定的条件下,电路有一种稳定状态，但当电路结构、电路参数或电源发生变化时，电路就会从一种稳态变化到另一种稳态。

在某些电路中，电压、电流的变化不会在一瞬间完成，要有一个变化的过程，称为过渡过程。

如图6-1-1（a）中电流的变化、(b)中电容的电压的变化。

过渡过程产生的原因：是由于惯性元件L、C的存在。

而电感中磁场能量的不能跃变，导致了电感中电流的连续变化；电容中电场能量的的不能跃变，导致了电容中电压的连续变化即过渡过程的产生。

二、一阶电路：由于L、C中电压、电流的约束关系是通过导数、或积分的关系来表示的，因此描述电路性状的方程将是以电压或电流为变量的微分方程或积分方程来表示的。

如果电路中只有一个储能元件，则微分方程是一阶的，相应的电路称为一阶电路。

如果有两个储能元件，则微分方程是二阶的，相应的电路称为二阶电路。

第二节换路定律及初始条件的确定一、关于换路：为了叙述方便，把引起过渡现象的电路参数、电路结构、电源的变化统称为换路。

二、换路定律解决的问题：求解微分方程必须知道初始条件，数学中的初始条件是给定的，而在电路理论中，是待定的。

必须通过换路前的电路状态得到换路后的初始时刻的电路状态，就要建立起换路前后的瞬间有关物理量之间的关系。

为了表达方便，把换路的瞬间记为t=0，换路前的终了时刻记为t=0_，换路后的初始时刻记为t=0+，因此换路定律解决的是换路前后的瞬间有关物理量之间的关系。

三、换路定律：有两条。

（1）对于线性电容：选择电容的端电压u（电荷q）、电流i之间满足关联参考方向，则：(2)对于线性电感：选择电感的电流i 与端电压u 之间满足关联参考方向或电流与磁链之间满足右螺旋关系，用同样的方法可以证明：结论：在换路的瞬间，如果电容的电流保持为有限值，则电容的电荷、电压保持换路前终了时刻的数值而不能跃变；如果电感的电压保持为有限值，则电感的磁链、电流保持换路前终了时刻的数值而不能跃变。

【实例6-1】电路如图例6-1。

开关闭合前电路已得到稳态，求换路后的瞬间，电容的电压和各支路的电流。

【解】各支路电流及电容电压如图示。

变化。

不能跃变，只能是连续为有限值，则如果在换路的瞬间电流也不例外，则，当为任何值，上式均成立或还可以写为：而或⎩⎨⎧-=+-=+ξξ+-=+ξξ+-=++=ξξ+-=ξξ+ξξ=ξξ+-=ξξ+ξξ===ξξ=ξξ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+-+----∞----∞-∞-∞-)0(u )0(u )0(q )0(q i d )(i c 1)0(u )0(u d )(i )0(q )0(q 0t t d )(i c1)0(i d )(i c1d )(i c1)t (u d )(i )0(q d )(i d )(i )t (q dtdu cdtdq i d )(i c1)t (u d )(i )t (q 0000t0t00t0t00tt变化。

不能跃变，只能是连续为有限值，则如果在换路的瞬间电压⎩⎨⎧-=+-ψ=+ψξξ+-=+ξξ+-ψ=+ψ⎰⎰+-+-)0(i )0(i )0()0(u d )(u L1)0(i )0(i d )(u )0()0(000【实例6-2】电路如图例6-2。

开关闭合前电路已得到稳态，求换路后的瞬间电感的电压和各支路的电流。

【解】各支路电流及电感电压如图示。

第三节 一阶电路的零输入响应一阶电路中，如果换路之前储能元件为非零状态，换路后在没有激励情况下的响应称为零输入响应。

一、RC 电路的零输入响应：电路如图6-3-1。

换路之前，电容的电压为U 0。

当t=0时，把开关闭合。

1、 物理过程：开关闭合后，电容通过电阻R 放电，电容的电压和电场能量不断减少，随时间的增长而趋于零，在放电过程中，电容的电场能量转换为热能而消耗掉。

mA6)0(i )0(i 041212R )0(u 12)0(i mA6212R)0(u )0(i KVL KCL V12)0(u )0(u 0t V 12)0(u 0t 2c 1c 12c 2c c c -=+-=+=-=+-=+==+=+=-=++==--=：、根据欧姆定律、时：根据换路定律，时：Ai i i AR i V i R u u i R KCL KVL Ai t A i t L K L L L L L L 67.0167.1)0()0()0(67.110)0(41*4)0()0(0)0()0(14610)0(014610)0(0122=-=+-+=+==+-=-=+-=+∴=+++=+=++==+=--=：、根据时：根据换路定律，时：2、 电压、电流的变化规律：为了讨论在放电过程中，电压、电流的变化规律，从换路后的微分方程入手。

在图中电压、电流参考方向下，由KVL ：3、变化曲线：如图6-3-2。

可见，在放电过程中，电容上的电压从初始值U 0开始，按指数规律下降直至趋近于零。

电流在t=0+时，从0形成一个正跳变U 0/R ，然后按相同的指数规律趋近于零。

4、关于时间常数：电容电压U 0一定的条件下，C 越大，放电时间越长，电阻越大，放电时间也越长。

定义R.C 为电路的时间常数，用τ表示，τ= R.C 。

（1） τ的物理意义：①电容电压衰减为原值的36.8％所需要的时间等于τ。

②τ等于u c (或i)的指数曲线上任意点的次截矩。

（2） τ的求法：τ=R eq .C（3） 过渡过程的时间：从下列表可以的出结论。

RCt 0C RCt 0C 00C C RCt C ptC C C CR R C eRU dtdu Ci e U u 0t U A U 0u 0u Aeu RC1P 01RCP A Ae u 0u dtdu RCdtduC i ,Ri u 0u u ---=-==≥=⇒=-=+=-==+==+-===-放电电流：时：当）（）（数：由初始条件确定积分常则：特征根：方程得特征方程：为积分常数。

代入微分，其中为：微分方程。

其解的形式是一个一阶常系数齐次则方程变为：而衰减为零。

电容电压或电路中电流）时，去，当（后，按此变化率衰减下若电容的电压在）（即）（τ+-=ττ-=τ-====τ-=τ-=-=111t t c 1C 1C t 0t t t 01t t RCt 0t t c t t dtdu t u t u eU )eU (dtd )eU (dtd dtdu 111实际上，经过（4—5）τ后，过渡过程结束。

若R 以“K Ω”，C 以“pF ”计算，则一个τ只是“ ms ”或“μs ”，因此过渡过程时间很短。

二、RL 电路的零输入响应：电路如图6-3-3。

变化曲线如图6-3-4。

三、R 、L 电路的扳断：电路如图6-3-5。

τ-τ--τ--======τ==-=⇒=+==+==+=-t 0L t 0tL R 00t tL R pt1S eRI dtdi Lu eI eI i I A RL Ae Ae i LR P 01P R L Ae i 0Ri dtdi L KVL 210t I R R U )0(i 1，则：数：由初始条件确定时间常。

时间常数所以电流则特征方程为：程。

设为一阶线性齐次微分方：量，由，如果以电流为电路变合向时，把开关从时，电感中的电流开关在连续性。

，如图。

以维持电流的续流二极管端并联一事故。

为此，在电感两关的空气隙击穿，出现，致使开端产生很高的感应电压因此在电感（开关）两电感的电流不能跃变，，在开关打开的瞬间，D RU )0(i S =-【实例6-3】电路如图例6-3。

开关闭合前电路已得到稳态，求换路后的电流i(t)。

【解】第四节 一阶电路的零状态响应一阶电路中，如果换路之前储能元件为零状态，换路后在激励作用下的响应称为零状态响应。

一、RC 串联电路对直流激励的零状态响应：电路如图6-4-1。

给定条件：换路前，电路已达稳态，u C (0-)=0。

换路后由KVL ：---=⇒+==-=++=⇒==+=+=+==+SS C C RCt S C RCt C S C C C C S C C C S C U A A U 00)0(u )0(u A AeU u Ae u U u u u u U u dtdu RCdtdu C i U u Ri ，所以由于：数由初始条件确定积分常’’，’。

其中’’’解，简记为：对应齐次微分方程的通一个特解其通解由两部分组成：分方程。

为一阶常系数非齐次微则而.A )ee(24.0)i i (i e 24e24.0e 24.0e)0(i )t (i e24.0dtdu C)t (i e24e 24e 24e)0(u )t (u )0(u V 24100*15010060)0(u )0(i A 24.015010060)0(i t1000t500C L t100010t t t L L t500C C t50010*20*100tt t C C C C L L 322611----τ-τ----τ-τ--=+-====+=-=====+=+==+=-+==+=---则电流路，均为零输入响应。

换路后形成两个独立回变化曲线如图6-4-2。

二、RL 串联电路对直流激励的零状态响应：电路如图6-4-3。

给定条件：换路前，电路已达稳态，i (0-)=0。

换路后由KVL ：变化曲线如图6-4-4。

【实例6-4】电路如图例6-4(a)。

开关闭合前电路已得到稳态，求换路后的电流i L (t)及电压源发出的功率。

【解】图(a)中，i L (0-)=0利用戴维南定理等效为电路（b ）。

τ-τ-τ-τ--=-=-==-=++==τ===+==+t S L tSSt S t tL R S S eU u e 1RU i R U A 0)0(i )0(i AeRU i RL AeAei RU i i i i U Ri dtdi L）（则：数，由初始条件确定时间常因此：时间常数’’，’’’’其解：）中：在图（），（电流数：由初始条件确定时间常。

所以：’’，’’’’方程的解为：：满足电路的微分方程为tL2R S L R t L 2RS LL t L2RS LS S tL2R S L tL2R L S L L L L S L L eR2U Ru i a e 2U dt di L u e 1R U i RU A A RU 0Ae RU i Ae i RU i i i i 2U i 2R dtdi L-----====-=-=⇒+=+===+==+本题也可以直接对原电路列方程进行计算。

三、RL 串联电路在正弦激励下的零状态响应：电路如图6-4-5。