投资收益和风险的优化模型摘要如何投资是现代企业所要面临的一个实际问题，投资的目标是收益尽可能大，但是投资往往都伴随着风险。

实际情况不可能保证风险和收益同时达到最优，因为收益和风险是矛盾的两个方面，收益的增长必然伴随着风险的提高。

“高风险，高回报”是经济学中一个重要的准则。

但是企业总是追求风险尽可能小，与此同时又追求收益尽可能大。

怎样分配资金才能做到统筹兼顾？在本文中，我们首先建立了一个多目标规划模型（模型一），目标函数分别为风险和收益。

由于M 是一笔相当大的资金，所以我们开始先忽略了i u 对模型的影响，将其转化成了一个形式更为简单的多目标线性规划模型。

为了求解此模型，我们将风险的上限限制为c ，这样多目标规划模型就转化成了一个带参量c 的线性规划模型（模型二）。

当给定参数c 时，这带参量c 的线性规划个模型就是一个一般的线性规划模型，由此可以唯一地求解出目标函数的最大值max g 。

所以若c 作为变量，max g 便是一个关于c 的函数)(max c g 。

如果我们求得了函数)(max c g ，就能够知道：当公司能承担的总风险损失率c v ≤时，公司能得到的最大总平均收益率，及其应投入各个项目i S 的资金率i x 。

这样我们在求解模型二的同时，也将模型一的非劣解解空间给了出来，即图1中的OA 、AB 段。

不同的企业，对于风险和收益的侧重不同，所以作出的决策也不同，自然得到的收益和承受的风险也不尽相同。

但无论怎样都应在我们给出的非劣解解空间中取值，这样才可能实现“风险尽可能小，收益尽可能大”。

针对第一组数据，我们给出了一个“通用性较强”的投资分配方案，即对大多数企业都合适的投资选择方案，应用此方案，总风险为M ⋅%61.0, 总收益可以达到M ⋅%59.20；类似地，针对第二组数据，我们利用效用函数的方法也给出了一个“通用性较强”的投资分配方案应用此方案，总风险为M ⋅%2.10, 总收益可以达到M ⋅%70.34。

在模型评价中，我们通过分析在考虑i u 后,模型以及解的改变程度,验证了i u 对模型的改变很小,可以忽略不计,从而证明了我们给出的模型的正确性、实用性。

关键词 投资风险 收益 投资方案 多目标规划 线性规划 非劣解一 问题的提出某公司有数额为M 的一笔相当大的资金可用作一个时期的投资。

现在市场上有n 种资产（如股票、债券、…）i S （n i Λ,2,1=）供投资者选择，公司财务分析人员对这n 种资产进行了评估，估算出在这一时期购买i S 的平均收益率为i r ，并预测出购买i S 的风险损失率为i q 。

购买i S 要付交易费，费率为i p ，并且当购买额不超过给定值i u 时，交易费按购买i u 计算（不买当然无须付费）。

另外，假定同期银行存款利率是0r ,且既无交易费又无风险。

（0r =5%）我们在此建立数学模型，为企业作出一种投资方案，使企业得到的收益近可能的大,与此同时要求企业承受风险尽可能的小。

两组数据如下：表1：数据表1i S i r (%) i q (%) i p (%) i u (元)1S 2S 3S 4S28 21 23 25 2.5 1.5 5.5 2.6 1 2 4.5 6.5 103 198 52 40表2：数据表2i S i r (%) i q (%)i p (%) i u (元)1S 2S 3S 4S 5S 6S 7S8S 9S 10S11S 12S 13S 14S 15S9.6 18.5 49.4 23.9 8.1 14 40.7 31.2 33.6 36.8 11.8 9 35 9.4 1542 54 60 42 1.2 39 68 33.4 53.3 40 31 5.5 46 5.3 232.13.2 6 1.5 7.6 3.4 5.6 3.1 2.7 2.9 5.1 5.7 2.74.5 7.6181 407 428 549 270 397 178 220 475 248 195 320 267 328 131二 基本假设1. 假设总资产M 为一笔相当大的资金。

2. 总资产M 全部用于投资项目或存入银行，没有闲置资产。

3. 若资产存进银行，交易费和风险损失率为零。

4. 若资产存进银行，平均收益率用同期银行利率0r 来计算。

5. 总风险V 可以用所投资项目i S 中最大的一个风险损失值i i q m ⋅来度量，即}max {i i q x V ⋅=。

6. 当第i 个项目i S 投资额不超过i u 时，交易费按购买i u 计算，且不买无须付费；投资额不超过i u 时，按费率i p 计算。

7. 我们认为n 种资产的平均收益率i r ，风险损失率i q ，交易费率i p 在一定时期都保持不变。

8. 银行的利率0r 也在一定时期保持不变。

三 符号说明M 公司要投资的总资金 n 总共的项目数0S0=i 时表示将资金存入银行i S 第i 个项目（n i ...2,1=）i m投入i S 的资金数目（n i ...2,1,0=）i x 投入i S 的资金数目占总资金M 的百分比（n i ...2,1,0=） 0r同期银行存款利率，0r ＝5％i r 购买i S 的平均收益率（n i ...2,1=）0q00=q ,表示将资金存入银行的风险损失率为零 i q 购买i S 的风险损失率（n i ...2,1=）0p00=p ,表示将资金存入银行要交的费率为零 i p 购买i S 要交的费率（n i ...2,1=）i u 当购买额不超过给定值i u 时，交易费按购买i u 计算（n i ...2,1=） i U 购买i S 要交的总手续费（n i ...2,1,0=） c公司能承受的最大的总风险损失率 G 总收益g 总平均收益率，即G /MV 总风险，即各投资项目中最大的风险值 v 总风险损失率，即V /Mi t项目i S 要盈利的最小投入资本四 问题分析公司在一定时期的投资决策，主要由三个因素制约：第一，投资项目的盈利空间；第二，投资项目的风险大小；第三，投资项目的费用。

显然，投资的目的是为了尽可能多的盈利，这样就希望将钱投入收益率较大的项目，然而，高收益往往伴随着高风险，如果为了多盈利而投资收益大的项目，往往带来了较大的风险，这就需要综合评价各个项目的收益与风险，从中恰当的进行取舍找到最优结合点。

以上投资问题的目标是使风险尽可能的小而收益尽可能的大，即达到最优化，同时目标的实现又受具体项目风险,费用和获利的制约，所以这是一个关于优化的规划问题， 属于一个多目标决策。

目标函数有两个：一、总收益G 尽可能的大；二、总风险损失V 尽可能的小。

如果直接给出一个评价函数，对目标进行求解，则由于多目标决策求解的复杂性和不定性，求解的过程将显得非常繁琐而且得到的结果并不具有普适性（因为对于不同的人或情况，对风险和收益的侧重不同）。

所以我们可以通过对其中的一个目标进行限制，作为另一个目标的约束条件，再对其进行求解。

这样就将多目标决策转化为基本的单目标决策。

由于总风险的大小是取各项风险的最大值，而不是简单的线性关系，所以为了简化运算，具体的，我们对总风险损失率v 进行限制（即得到公司能承受的最大总风险损失率c ），作为总平均收益率g 求解最优的约束条件，再对其进行求解。

这样我们对于每一个公司能承受的最大总风险损失率c ，总有一个总平均收益率g 的最优值与之相对应。

这样便得出了总收益最优max G 和公司能承受的最大风险C 之间的函数关系。

根据关系函数，能得到一个非劣解的可行域。

然后可根据各种实际情况选择一个适当的评价函数，在可行域中便可找到最优的投资方案。

这样可使模型具有普适性，而且模型求解的过程也变得简单而清晰。

五 模型的建立与求解(1) 模型的建立模型一 多目标规划模型购买i S 要付交易费，费率为i p ，并且当购买额不超过i u 给定值时，交易费按购买iu 计算，且不买无须付费。

所以购买i S 要交的总手续费i U 为：⎪⎩⎪⎨⎧≥⋅<<⋅==i i ii i i i i i i i u m m p u m m u m m U 0 00)(，由于要使风险尽可能的小，且收益尽可能的大，所以得到以下多目标规划模型：)(max min 41i i i m q V ==∑=-=4)( max i i i i U m r Gs.t. 0≥i m ，∑==4i iM m但是由于i U 是一个分段函数，所以不易求解。

考虑到M 是一个相当大的值，若对项目i S 进行投资，则投资到i S 的资金i m 也会很大（i i u m >）。

基于以上分析，我们对模型作如下的简化：1)先暂时把)(i i m U 当作线性函数：i i i i m p m U ⋅=)( 2)将M 作归一化处理：令M m x i i =, M V v =, MG g = 得到的多目标规划模型如下：)(max min 41i i i x q v ⋅==∑=⋅-=4])[( max i i i i x p r gs.t. 0≥i x ，∑==41i ix为了求解此多目标规划模型，我们将其转化为模型二：带参量c 的线性规划模型。

模型二 带参量c 的线性规划模型由于0S 的平均收益率0r 小于其他项目i S 的平均收益率i r ，只要将投入0S 的比率0x 减小，将其他项目i S 的投入比率i x 加大（i x ＝0的不变），收益便一定会增大。

但此时风险也相应的增大了。

所以当要想获得更大的收益，必须要承担更大的风险。

我们假定公司能承受的最大总体风险损失率为c ，即：c x q v i i i ≤==)(max 41可以写成：c x q ≤⋅11，c x q ≤⋅22，c x q ≤⋅33，c x q ≤⋅44。

在此约束条件下，上面的多目标规划模型可以转化成带参量c 的线性规划模型，如下：∑=⋅-=40])[( max i i i i x p r gs.t. c x q ≤⋅11， c x q ≤⋅22，c x q ≤⋅33， c x q ≤⋅44，0≥i x ，∑==41i ix若给定c 的值，这个模型就是一个一般的线性规划模型，由此可以唯一地求解出目标函数的最大值max g 。

所以若c 作为变量，max g 便是一个关于c 的函数)(max c g ，c >0。

由以上分析可知，如果我们求得了函数)(max c g ，就能够知道：当公司能承担的最大总风险损失率c v =时，公司能得到的最大投资收益值，及其应投入各个项目i S 的资金率i x 。

从而，多目标规划模型的非劣解解空间也就求解出来了。

下面我们就来求函数)(max c g 。

(2) 模型的求解第一组数据的求解：为了搞清楚风险与收益之间关系函数)(max cg，我们用计算机来计算对于一组给定的总风险损失率上限c，代入到上面的线性规划（模型二）中去，进而得到一组总平均收益率g的最大值，然后比较这些值，从中选择一个较符合实际的解作为最优解。