积分中值定理中n ξ的极限杨勇洪（楚雄师范学院数学系2005级2班）指导老师 郎开禄摘要：本文讨论了改进后的积分中值定理中n ξ的极限,获得几个有意义的结果. 关键词：积分；中值定理；极限The limit of n ξ in integral theorem of meanYan zilanAbstract ：In this paper, we discussed the limit of n ξ in the improvement integral theorem ofmean ， several meaningful results are obtained. Key words ：Integral ；Theorem of mean ；limit导师评语：在文[1] ([1].郎开禄.积分中值定理注记[J ].楚雄师范学院学报，2008，23（6）：7-15.)中讨论了改进后的广义积分中值定理中n ξ的极限，并获得了两个基本结果,并讨论了其应用.在文[2] ([2].裘兆泰，王承国，章仰文编.数学分析学习指导[M ].2004：223-226，272.)中讨论了积分中值定理中n ξ的极限,获得了几个基本结果.受文[1]- [2]的启发，在文[1]- [2]的基础上，杨勇洪同学的毕业论文《积分中值定理 中n ξ的极限》进一步研究改进后的广义积分中值定理中n ξ的极限,获得了的三个结论(定理 8至定理10),并讨论了其应用.杨勇洪同学的毕业论文《积分中值定理中n ξ的极限》选题具有理论与实际意义,通过深入研究,该论文获得了关于积分中值定理中n ξ的极限的三个结论,并讨论其应用.该论文完成有 一定的技巧性和难度,其结果在理论与实际上都有重要意义.论文语言流畅,打印行文规范 ,是一篇创新型的毕业论文.该同学在作论文过程中，悟性好，爱钻研，能吃苦，独立性强.积分中值定理中n ξ的极限前 言改进后的积分中值定理指出，若)(x F n 在[,]a b 连续，则至少存在一点),(b a n ∈ξ，使得()()()(1,2)b n n n aF x dx F b a n ξ=-=⎰.此时n ξ取值于),(b a 内，但随n 的变化而变化，若lim n n ξ→∞存在，则lim n n ξ→∞有可能等于a ，或b .若这种情况出现，在应用积分中值定理求极限时应特别小心（见文[1]）.改进后的广义积分中值定理指出，若)(x F n 在[,]a b 连续，则至少存在一点),(b a n ∈ξ，使得()()()()(1,2)b bn n n aaF x g x dx F g x dx n ξ==⎰⎰ . 此时n ξ取值于),(b a 内，但随n 的变化而变化，若lim n n ξ→∞存在，则lim n n ξ→∞有可能等于a ，或b .若这种情况出现，在应用积分中值定理求极限时也应特别小心. 在文[2]中，讨论了改进后的积分中值定理中n ξ的极限并获得了几个基本结果，文[1]受文[2]的启发，讨论了改进后的广义积分中值定理中n ξ的极限，获得了两个基本结果.在本文中，我们改进了文[1]中的一个结果的条件，获得了文[1]中同样的结果，并讨论了其应用.1 积分中值定理定理1[]3（积分中值定理）若函数)(x f 在闭区间[,]a b 连续，则至少存在一点],[b a ∈ξ，使得()()()b af x dx f b a ξ=-⎰.定理2[]3（广义积分中值定理）若函数)(x f 与)(x g 在闭区间[,]a b 连续，且)(x g 在[,]a b 不改变符号，则至少存在一点],[b a ∈ξ，使得()()()()bbaaf xg x dx f g x dx ξ=⎰⎰.定理1和定理2表明，ξ在闭区间[,]a b 中取到，故就有可能取左端点a ，或取右端点b ，也有可能在开区间),(b a 中取到.2 改进后的积分中值定理定理3[][]4,5（积分中值定理）若函数)(x f 在闭区间[,]a b 连续，则至少存在一点),(b a ∈ξ，使得()()()b af x dx f b a ξ=-⎰.定理4[][]4,5（广义积分中值定理）若函数)(x f 与)(x g 在闭区间[,]a b 连续，且)(x g 在[,]a b 不改变符号，则至少存在一点),(b a ∈ξ，使得()()()()bbaaf xg x dx f g x dx ξ=⎰⎰.定理3和定理4表明，ξ一定能在开区间),(b a 中取到.3 积分中值定理中n ξ的极限关于积分中值定理中n ξ的极限，在文[2]中，有下列结果： 定理5[]2 (1) 设)(x f 在[,]a b 是非负、严格递增连续函数，记)()(x f x F n n =，由改进后的积分中值定理，即由定理3，至少存在一点),(b a n ∈ξ，使得()()()b n n n aF x dx F b a ξ=-⎰，则b n n =∞→ξlim .(2) 设)(x f 在[,]a b 是非负、严格递减连续函数，记)()(x f x F n n =，由改进后的积分中值定理，即由定理3，至少存在一点),(b a n ∈ξ，使得()()()b n n n aF x dx F b a ξ=-⎰，则a n n =∞→ξlim .推论[]2 设)(x f 在[,]a b 是非负、连续函数，且在[,]a b 有唯一的最大值点0x ，)()(x f x F n n =，由改进后的积分中值定理，即由定理3，至少存在一点),(b a n ∈ξ，使得()()()b n n n aF x dx F b a ξ=-⎰，则0lim x n n =∞→ξ.关于积分中值定理中n ξ的极限，在文[1]中，有下列结果： 定理6[]1 设)(x f 在[,]a b 是连续函数，)(x g 在[,]a b 是非负、严格递减连续函数，则(1) )0(0)()(lim a b dxx g dx x g ban ba nn -<<=⎰⎰+∞→εε；(2) 由广义积分中值定理，至少存在一点),(b a n ∈ξ，使得()()()()b bnn n aaf xg x dx f g x dx ξ=⎰⎰，则)()(lim a f f n n =∞→ξ.定理7[]1 设)(x f 在[,]a b 是连续函数，)(x g 在[,]a b 是非负、严格递增连续函数，若存在[,]a b 上的非负、严格递减连续函数)(x h ，使得)0)(()(a b a h b g -<<+=-εεε，()()bbnn aag x dx h x dx =⎰⎰，则(1) ()lim0(0)()b n a b n nag x dxb a g x dxεε-→∞=<<-⎰⎰；(2) 由广义积分中值定理，至少存在一点),(b a n ∈ξ，使得()()()()b bn n n aaf xg x dx f g x dx ξ=⎰⎰，则)()(lim b f f n n =∞→ξ.关于积分中值定理中n ξ的极限，在本文中，我们去掉了定理7中“若存在[,]a b 上 的非负、严格递减连续函数)(x h ，使得)0)(()(a b a h b g -<<+=-εεε，()()b bn n aag x dx h x dx =⎰⎰”的条件，获得了定理7同样的结论.定理8 设)(x f 在[,]a b 是连续函数，)(x g 在[,]a b 是非负、严格递增连续函数，则 (1) ()lim0(0)()b n a b n nag x dxb a g x dxεε-→∞=<<-⎰⎰；(2) 由广义积分中值定理，至少存在一点),(b a n ∈ξ，使得()()()()b bnn n aaf xg x dx f g x dx ξ=⎰⎰，且)()(lim b f f n n =∞→ξ.证明：(1) 因为2()()0()()b b n n a ab b nnab g x dxg b dxg x dxg x dxεεεε----<≤⎰⎰⎰⎰2()()()()()()222n n b n nb b a g b b a g b g b dx g b εεεεεεεε-------≤=--⋅⎰ 2()()()2nb a g b g b εεεε⎛⎫⎪---= ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭，又 1)2()(0<⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--<εεb g b g ，故0)2()(lim =⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--∞→nn b g b g εε， 于是()lim0()b n a b n nag x dxg x dxε-→∞=⎰⎰.(2) 由于)(x f 在b 连续，则)(x f 在b 左连续，故0>∀ε，存在)0(0a b -<<>δδ，使得2)()(ε<-b f x f ，],[b b x δ-∈.又由广义积分中值定理，至少存在点),(b a n ∈ξ，),(δξ-∈'b a n ，),(b b n δξ-∈"， 使得()()()()b bnn n aaf xg x dx f g x dx ξ=⎰⎰，()()()()b b n n n a a f x g x dx f g x dx δδξ--'=⎰⎰，()()()()bbn n n b b f x g x dx f g x dx δδξ--''=⎰⎰.而 ⎰⎰⎰--+=b b n b an b an dx x g x f dx x g x f dx x g x f δδ)()()()()()(.故()()()()()()()()()()()()()()b b b n n n n n n aab b b n n n n a b b b nn n n aaf g x dx f g x dx f g x dxf g x dx f g x dx f g x dx f g x dxδδδδδδξξξξξξξ------'''=+'''=+''''+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰()()(()())()bb n n n n n aaf g x dx f f g x dx δξξξ-'''''=+-⎰⎰，所以()()()(()())()b n a nnnnb n ag x dxf f f fg x dxδξξξξ-'''''=+-⎰⎰，令 ()()b n a n b nag x dxk g x dxδ-=⎰⎰，则)(n f ξ=+")(n f ξ))()(("-'n n f f ξξn k ，故)(n f ξ)(b f -=+-")()(b f f n ξ))()(("-'n n f f ξξn k .从而n n n n n k f f b f f b f f ))()(()()()()("-'+-"≤-ξξξξ.因为)(x f 在[,]a b 上连续，故存在0>M ，使得M x f ≤)(，[,]x a b ∈.又因为由(1)知0lim =∞→n n k ，故N ∃>∀，0ε，当N n >∀时，有Mk n 4ε<，于是当N n >∀时，有εεεεεξ=+=⋅+<-22422)()(MM b f f n .因此)()(lim b f f n n =∞→ξ.推论1 设)(x f 在]2,0[π是连续函数，则(1) 2020sin lim0(0)2sin n n n xdxxdxπεππε-→∞=<<⎰⎰；(2) 由广义积分中值定理，至少存在一点)2,0(πξ∈n ，使得⎰⎰=2020sin )(sin )(ππξxdx f xdx x f n n n，且)2()(lim πξf f n n =∞→.推论2 设)(x f 在]0,2[π-是连续函数，则(1) 202cos lim0(0)2cos n n nxdx xdxεπππε--→∞-=<<⎰⎰；(2) 由广义积分中值定理，至少存在一点)0,2(πξ-∈n ，使得0022()cos ()cos nn n f x xdx f xdx ππξ--=⎰⎰，且)0()(lim f f n n =∞→ξ.定理9 设)(x f 在[,]a b 是连续函数，)(x g 在[,]a b 是非负、连续函数，且在[,]a b 有唯一的最大值点0x ，则 （I ）(1) 000()lim 0(0)()bn x b n nx g x dxb x g x dxεε+→∞=<<-⎰⎰；(2) 由广义积分中值定理，至少存在一点),(0b x n ∈ξ，使得()()()()b bn n n x x f x g x dx f g x dx ξ=⎰⎰，且)()(lim 0x f f n n =∞→ξ.（II ）(1) 000()lim 0(0)()x n a x n nag x dxx a g x dxεε-→∞=<<-⎰⎰；(2) 由广义积分中值定理，至少存在一点),(0x a n ∈ξ，使得00()()()()x x nn n aaf xg x dx f g x dx ξ=⎰⎰，且)()(lim 0x f f n n =∞→ξ.证明：因0x 是()f x 在[,]a b 唯一的最大值点，故()f x 在0[,]x b 严格递减，在0[,]a x 严格递增，于是由定理6和定理8分别有 （I ）(1) )0(0)()(lim 00εεε-<<=⎰⎰+∞→b dxx g dxx g b x nbx n n ；(2) 由广义积分中值定理，至少存在一点),(0b x n ∈ξ，使得()()()()b bn n n x x f x g x dx f g x dx ξ=⎰⎰，且)()(lim 0x f f n n =∞→ξ.（II ）(1) 000()lim 0(0)()x n a x n nag x dxx a g x dxεε-→∞=<<-⎰⎰；(2) 由广义积分中值定理，至少存在一点),(0x a n ∈ξ，使得00()()()()x x n n n aaf xg x dx f g x dx ξ=⎰⎰，且)()(lim 0x f f n n =∞→ξ.推论1 设)(x f 在],0[π是连续函数，则 （I ）(1) 22sin lim0(0)2sinn n nxdxxdxππεπππε+→∞=<<⎰⎰；(2) 由广义积分中值定理，至少存在一点),2(ππξ∈n ，使得⎰⎰=ππππξ22sin )(sin )(xdx f xdx x f n n n ，且)2()(lim πξf f n n =∞→.（II ）(1) 2020sin lim0(0)2sin n n n xdxxdxπεππε-→∞=<<⎰⎰；(2) 由广义积分中值定理，至少存在一点)2,0(πξ∈n ，使得220()sin ()sin nn n f x xdx f xdx ππξ=⎰⎰，且)2()(lim πξf f n n =∞→.推论2 设)(x f 在]2,2[ππ-是连续函数，则 （I ）(1) 220cos lim0(0)2cos n n n xdx xdxπεππε→∞=<<⎰⎰；(2) 由广义积分中值定理，至少存在一点)2,0(πξ∈n ，使得220()cos ()cos nn n f x xdx f xdx ππξ=⎰⎰，且)0()(lim f f n n =∞→ξ.（II ）(1) 222cos lim0(0)2cos n n n xdxxdxεππππε--→∞-=<<⎰⎰；(2) 由广义积分中值定理，至少存在一点)0,2(πξ-∈n ，使得0022()cos ()cos nn n f x xdx f xdx ππξ--=⎰⎰，且)0()(lim f f n n =∞→ξ.定理10 设)(x f 在[,]a b 是连续函数，)(x g 在[,]a b 是非负、连续函数，且在[,]a b 有唯一最小值点0x ，则(I) (1) 000()lim0(0)()x n a x n nag x dx x a g x dxεε+→∞=<<-⎰⎰；(2) 由广义积分中值定理，至少存在一点),(0x a n ∈ξ，使得00()()()()x x n n n aaf xg x dx f g x dx ξ=⎰⎰，且)()(lim a f f n n =∞→ξ.(II) (1) 000()lim0(0)()b n x b n nx g x dxb x g x dxεε-→∞=<<-⎰⎰；(2) 由广义积分中值定理，至少存在一点),(0b x n ∈ξ，使得()()()()b bnn n x x f x g x dx f g x dx ξ=⎰⎰，且)()(lim b f f n n =∞→ξ.证明：因0x 是()f x 在[,]a b 唯一的最小值点，故()f x 在0[,]a x 严格递减，在0[,]x b 严格递增，于是由定理6和定理8分别有 (I)(1) 000()lim0(0)()x n a x n nag x dx x a g x dxεε+→∞=<<-⎰⎰；(2) 由广义积分中值定理，至少存在一点),(0x a n ∈ξ，使得00()()()()x x nn n aaf xg x dx f g x dx ξ=⎰⎰，且)()(lim a f f n n =∞→ξ.(II) (1) 000()lim0(0)()b n x b n nx g x dxb x g x dxεε-→∞=<<-⎰⎰；(2) 由广义积分中值定理，至少存在一点),(0b x n ∈ξ，使得()()()()b bnn n x x f x g x dx f g x dx ξ=⎰⎰，且)()(lim b f f n n =∞→ξ.推论1 设)(x f 在]2,1[是连续函数，则(1) 21211(1)lim 0(01)1(1)nx n nx dx x dxx εε-→∞+=<<+⎰⎰； (2) 由广义积分中值定理，至少存在一点)2,1(∈n ξ，使得221111()(1)()(1)nx nx n f x dx f dx x xξ+=+⎰⎰，且)2()(lim f f n n =∞→ξ.证明：令xxx g )11()(+=，]2,1[∈x ，则 ⎪⎭⎫⎝⎛+-++='x x x x g x 11)11ln()11()(，]2,1[∈x .令xx x h +-+=11)11ln()(，]2,1[∈x ，则0)1(1)(2<+-='x x x h ，]2,1[∈x于是)(x h 在]2,1[严格递减，故)(x h 03123ln )1(>-=>h ，因此]2,1[,011)11ln()11()(∈>⎪⎭⎫⎝⎛+-++='x x x x x g x .故)(x g 在]2,1[严格递增，且02)1()(>=>g x g .所以我们有(1) 21211(1)lim 0(01)1(1)nx n nx dx x dxx εε-→∞+=<<+⎰⎰； (2) 由广义积分中值定理，至少存在一点)2,1(∈n ξ，使得221111()(1)()(1)nx nx n f x dx f dx x xξ+=+⎰⎰， 且)2()(lim f f n n =∞→ξ.同样我们有推论2 设)(x f 在]2,3[--是连续函数，则(1) 23231(1)lim 0(01)1(1)nx n nx dx x dxx εε----→∞-+=<<+⎰⎰；(2) 由广义积分中值定理，至少存在一点)2,3(--∈n ξ，使得223311()(1)()(1)nx nxn f x dx f dx x xξ----+=+⎰⎰， 且)2()(lim -=∞→f f n n ξ.参考文献[1] 郎开禄.积分中值定理注记[J].楚雄师范学院学报，2008，23（6）：7—15.[2] 裘兆泰，王承国，章仰文编.数学分析学习指导[M].北京：科学出版社，2004：223—226，272.[3] 华东师范大学数学系编.数学分析（上）[M].北京：高等教育出版社，2002：217—218. [4] 毛羽辉编著.数学分析选论[M].北京：科学出版社，2003：101—102.[5] 吴良森，毛羽辉，韩士安，吴畏编著.数学分析学习指导（上）[M].北京：高等教育出版社，2004:272.致 谢感谢郎开禄老师在我的论文选题及写作过程中给予悉心指导.。