− ∫ f ( x)dx ≤ − lim ∫ f n ( x)dx
E n →∞ E
从而 lim ∫ f n ( x)dx ≤ ∫ f ( x)dx ≤ lim ∫ f n ( x)dx
n →∞ E E n →∞ E
故 lim ∫ f n ( x)dx = ∫ lim f n ( x)dx
n →∞ E E n →∞
f ( x)
a.e.于
且存在非负可积函数F(x)，使得|fn(x)| ≤F(x) a.e. 于E， 则f(x)在E上可积且 lim∫E fn (x)dx = ∫E lim fn (x)dx n→∞ n→∞ 证明：显然f(x)为E上可测函数 （可测函数列的极限函数是可测函数） 且由|fn(x)| ≤F(x) a.e.于E，知|f(x)| ≤F(x) a.e.于E， 所以fn(x)， f(x)都为E上可积函数
n→∞ E
lim ∫
n →∞ E
f n ( x)dx ≤ ∫
E
f ( x)dx = ∫
E
lim f n ( x)dx
n →∞
下证大于等于号
E 引理1：设{En}是递增集列， = ∪ En , ϕ ( x) 是Rn上的非负可测简单 n =1 函数，则
∞
lim ∫ ϕ ( x)dx = ∫ ϕ ( x)dx
n →∞ En E
φ(x)
Levi逐项积分定理的证明
En = {x ∈ E | f n ( x) ≥ cϕ ( x)}
f(x) φ(x) fn(x) cφ(x)
于是从（应用引理2）
∫
E
f n ( x)dx ≥ ∫ f n ( x) χ En ( x)dx
E En En En
= ∫ f n ( x)dx ≥ ∫ cϕ ( x)dx = c ∫ ϕ ( x)dx,
湖南理工学院 数学学院 精品课程
第五章 积分论
第五节 积分的极限定理
1.Levi逐项积分定理 若fn(x)为E上非负可测函数列，
f1 ( x ) ≤ f 2 ( x ) ≤ f 3 ( x ) ≤
n →∞ E E n →∞
≤ f n ( x) ≤
, 且 lim f n ( x ) = f ( x )
∫
a
例
试从
证明
1 = (1 − x) + ( x 2 − x 3 ) + … + ( x 2 n − 2 − x 2 n −1 ) + … ,0 < x < 1 1+ x
1 1 1 ( − 1) n +1 ln 2 = 1 − + − + … + + … 2 3 4 n
解：令 f n ( x ) = x 2 n − 2 − x 2 n −1 , x ∈ ( 0 ,1), n = 1, 2 ,3,
得到 lim ∫ f n ( x)dx ≥ c ∫ ϕ ( x)dx
n →∞ E E
令c → 1, 则有 lim f n ( x)dx ≥ ϕ ( x)dx
n →∞ E E
∫
∫
再由的积分定义知 lim ∫E f n ( x)dx ≥ ∫E f ( x)dx n →∞
所以 lim ∫ f n ( x)dx = ∫ f ( x)dx
n →∞ E E
对Levi逐项积分定理的说明
若fn(x)为E上非负可测函数列，
f1 ( x ) ≤ f 2 ( x ) ≤ f 3 ( x ) ≤
n →∞ E E n →∞
≤ f n ( x) ≤
, 且 lim f n ( x) = f ( x)
n →∞
则 lim ∫ f n ( x)dx = ∫ lim f n ( x)dx
∞
1
= (L )∫
[ − 1 ,1 ]
∑
∞
n =1
x2 dx 2 n (1 + x )
= (L)∫
[ − 1 ,1 ]
1dx = 2
定理：若f(x)在[a,b]上Riemann可积，则f(x)在 [a,b]上Lebesgue可积，且 ( L) f ( x)dx = ( R) b f ( x)dx
∫
[ a ,b ]
n →∞
则 lim ∫ f n ( x)dx = ∫ lim f n ( x)dx
说明：小于等于显然成立， 因为fn(x)总在f(x)的下方, 只要证明大于等于，但一般而 言fn(x)不会跑到f(x)上方,所以 我们有必要先把f(x)下移一点。 注意：当fn(x)一致收敛f(x)时， fn(x)才会整体跑到f(x)上方。 cf(x) fn(x)
例 试求 lim ( R) 1 nx2 2 sin nxdx ∫0 n→∞
1+ n x
nx 证明：令 f n ( x) = sin nx 2 2 1+ n x
则fn(x)为可测函数且 | f n ( x ) |≤ F ( x ) =
从而Lebesgue控制收敛定理知：
1 2
nx nx lim ( R ) ∫ sin nxdx = lim ( L) ∫ sin nxdx 2 2 2 2 0 1+ n x [ 0 ,1] 1 + n x n →∞ n →∞ nx = ( L) ∫ lim sin nxdx =( L) ∫ 0dx =0 2 2 [ 0 ,1] n → ∞ 1 + n x [ 0 ,1]
n →∞ En E
引理2：设f(x)是E上的非负可测函数，A是E中可测子集，则
∫
A
f ( x)dx = ∫ f ( x) χ A ( x)dx
E
Levi逐项积分定理的证明
∫
E
f ( x)dx = sup{∫ ϕ ( x)dx : ϕ ( x)为E上的简单函数，≤ ϕ ( x) ≤ f ( x)} 0
n→∞
对应于测度的可数可加性 m ( ∪ A i ) = i=1
∞
∑
∞
mA
i=1
i
例 试求 ∑
∞
n =1
(R )∫
1
−1
x2 dx 2 n (1 + x )
解 : 令f n ( x) =
x2 (1+ x 2 ) n
, x ∈ [−1,1]
则f n (x) 为非负连续函数，当然为非负可测函数，
∞ x2 x2 dx dx = ∑ ( L) ∫ 从而 ∑ ( R ) ∫ 2 n [ −1,1] (1 + x 2 ) n − 1 (1 + x ) n =1 n =1
E n n→∞
1/ n 0
x∈[ 0 , n ] x∈( n , +∞ )
∫ lim f ( x)dx = 0 < 1 = lim∫
n→∞
E
f n ( x)dx
注：fn(x)为E上非负可测函数列且一致收敛到0.
5.Lebesgue控制收敛定理 设fn(x)为E上可测函数列， lim f n ( x) = n →∞ E，
积分的几何意义（函数非负）： fn+1(x) fn(x)
f(x)
( L) ∫ f ( x)dx = mG( E; f )
E
G ( E ; f n )为递增集列
m(lim G ( E; f n ) = lim mG ( E; f n )
n →∞ n →∞
单调增集列测度的性质
2.Lebesgue逐项积分定理（级数形式） 若fn(x)为E上非负可测函数列， 则
En E
及f ( x ) = Σ f ( x ) χ E n ( x )
n =1
∞
然后利用Lebesgue
逐项积分定理即可
∞
对应于测度的可数可加性 m ( ∪ A i ) = i=1
∑
∞
mA
i=1
i
推论：在一零测度集上改变函数的取值，不影响其可 积性且积分值不变
注：在一零测度集上改变函数的取值不影响函数的可测性 即： 设f(x)=g(x) a.e.于E， f(x)在E上可积，则g(x)在E上也可积且
解 ： 令 Gn 为 Cantor 集 P 的 余 集 中 长 度 为 1/3n的构成区间的并，由条件知f(x)是[0,1] 上的非负可测函数，根据积分的可数可加性 知 f ( x ) dx = f ( x ) dx
∫
[ 0 ,1 ]
∫
P0 ∪ ( ∪ G
n =1
∞
n
)
=
∫
P0
f ( x ) dx + ∑
∫
∫
E
E
f ( x)dx = ∫ g ( x)dx
E
证明：令E 1= E[f≠g]， E 2= E[f=g]，则m E1=0 从而
f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx
E1 E2 E1 E2
= ∫ g ( x)dx + ∫ g ( x)dx = ∫ g ( x)dx
E
例 设[0,1]上的函数f(x)在Cantor集P上定义为0，在Cantor 集余集中长度为1/3n的构成区间上定义为n(n=1,2,3，…) ， 求f(x)在[0,1]上的Lebesgue积分值
=
∑ (R)∫ ( x
1 n =1 0
∞
2n−2
−x
2 n −1
) dx =
∑
∞
n =1
1 1 ( − ) 2n − 1 2n
1 1 1 ( − 1) n + 1 = 1− + − +… + +… 2 3 4 n
1 1 1 dx = ( R ) ∫ dx = ln 2 另外( L) ∫ (0,1) 1 + x 0 1+ x