小结
类比思想 数形结合思想
平面向量
空间向量
概念 定义 表示法 相等向量
加法 减法
加法:三角形法则或 平行四边形法则
数乘 减法:三角形法则
运算 数乘:ka,k为正数,负数,零
具有大小和方向的量 数乘:ka,k为正数,负数,零
运 加法交换律 a b b a 算 加法结合律 律 (a b) c a (b c)
数乘分配律
k(a b) ka＋kb
加法交换律 a b b a
成立吗？ 加法结合律
数乘分配律 k(a b) ka＋kb
向量加法结合律在空间中仍成立吗?
( a + b )+ c = a +( b + c )
O
O
a
a
b +c
A
CA
பைடு நூலகம்
C
bBc
b Bc
(平面向量)
空间中
向量加法结合律：
( a + b )+ c = a +( b + c )
D 1 2 3 45 6x
解：如图–1 ：以CD所在的直线为X轴，以线 段CD的中垂–2 线为Y轴，建立直角坐标系。由 CD 的长6，–3 此时的点C的坐标为（-3，0）， D（3，0）–4 CB的长为4，可以得到B，A的
坐标为，B（-3，4），A（3，4）
例3.对于边长为4的正三角
4Y A
形△ABC，建立适当的直
(2) 2AD1 BD1 xAC1 (3) AC AB1 AD1 xAC1
(2) 2AD1 BD1 AD1 AD1 BD1 AD1 (BC1 BD1) AD1 D1C1 AC1
x 1.
D1 A1
D
C1 B1
C
A
B
例2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1， 求满足下列各式的x的值。
空间向量及其加减与数乘运算
平面向量
概念 定义 表示法 相等向量
加法 减法
加法:三角形法则或 平行四边形法则
数乘 减法:三角形法则
运算 数乘:ka,k为正数,负数,零
空间向量
具有大小和方向的量
加法:三角形法则或 平行四边形法则 减法:三角形法则
数乘:ka,k为正数,负数,零
运 加法交换律 a b b a 算 加法结合律 律 (a b) c a (b c)
1、定义：既有大小又有方向的量。
几何表示法:用有向线段表示
字母表示法： 用小写字母表示，或者用表示向量的 有向线段的起点和终点字母表示。 相等向量：长度相等且方向相同的向量
B
A
D
C
2、平面向量的加法、减法与数乘运算
b a
向量加法的三角形法则
b
a
向量减法的三角形法则
b a
向量加法的平行四边形法则
a
k a (k>0)
数乘分配律
k(a b) ka＋kb
加法交换律 a b b a 加法结合律
(a b) c a (b c) 数乘分配律 k(a b) ka＋kb
我们知道平面向量还有数乘运算. 类似地,同样可以定义空间向量的数乘运算, 其运算律是否也与平面向量完全相同呢?
定义: 数乘空间向量的运算法则
3
角坐标系，写出各个顶点
B
–4 –3 –2 –1
2 1
00 1
的坐标 思考：怎样求出A
C
的纵坐标呢？
234
–1
AO 16 4 2 3
–2
–3 A（0，2 3），B（-2，0）
–4 C（2，0）
在一次“寻宝”游戏
4Y
中,寻宝人已经找到
3
了坐标为(3,2)和(3,-2)
A(3,2) 的两个标志点,并且
CC1
D1 A1
D A
C1 B1
C B
a
D
D1 A1
C1 B1
CD
C
A
BA
B
平行六面体：平行四边形ABCD平移向量 a
到A1B1C1D1的轨迹所形成的几何体. 记做ABCD-A1B1C1D1
例1：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，化简下列向量 表达式，并标出化简结果的向量。(如图)
(1) AB BC
(3) AC AB1 AD1 xAC1
O
O
a a
b +c
A
b
B
c
C
A
b
C
Bc
(空间向量)
推广:
（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始 向量的起点指向末尾向量的终点的向量； A1 A2 A2 A3 A3 A4 An1 An A1 An
（2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图 形，则它们的和为零向量。 A1 A2 A2 A3 A3 A4 An A1 0
(a) ()a 其中、是实数。
类似于平面向量,为了研究的方便起见,我们规定: 零向量、单位向量、相等向量、相反向量、平行
向量、共面向量等概念。（你认为应该怎样规定?）
定义:表示空间向量的有向线段所在直线互相平行或 重合,则称这些向量叫共线向量.(或平行向量)
思考⑴:对空间任意两个向量 a 与 b ,如果 a b ,那 么 a 与 b 有什么关系?反过来呢? 类似于平面,对于空间任意两个
-2
A -3
-4
C
12345x
B
y 4 3 2 1
-4 -3 -2 -1 0 -1
-2 -3 -4
12345x
y
能力训练
4
3
2
1
-4 -3 -2 -1 0 -1
-2 -3 -4
12345x
已知边长为 4的正方形 ABCD，在直角坐标系中， C、D两点在第二象限，AB 与 X轴的交角为 60°，求 C点的坐标。
D1
C1
(2) AB AD AA1
(3)
1 3
(AB
AD
AA1 )
(4) AB
AD
1 2
CC1
解：(1)AB BC＝AC;
A1 G
D A
B1 M
C B
(2)AB AD AA1 AC AA1 AC CC1 AC1
始点相同的三个不共面向量之和，等于以这三个向量 为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所示向量
向量 a , b ( b 0 ),
a // b 存在 R , a b . b c
a
例1：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，化简下列向量 表达式，并标出化简结果的向量。(如图)
(1) AB BC
(2) AB AD AA1
(3)
1 3
(AB
AD
AA1 )
(4) AB
AD
1 2
2
知道藏宝地点的坐标
1
为(4,4),除此以外不
–4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 x 知道其他信息,如何
–1
确定直角坐标系找到
–2
B(-3,2) “宝藏”
–3
–4
4Y
C(4,4)
3
在一次“寻宝”游
A(3,2)
戏中,寻宝人已经
2
找到了坐标为(3,2)
1
和(3,-2)的两个标
–3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 x 志点,并且知道藏
数乘分配律
k(a b) ka＋kb
C
a+b
B
b
O
A
OB OA AB
a CA OA OC
空间向量的加减法
k a (k>0)
空间向量的数乘
k a (k<0)
思考：空间任意两个向量是否可能异面？
B
b
O
A
思考：它们确定的平面是否唯一？
a
结论：空间任意两个向量都是共面向量，所以它们可用 同一平面内的两条有向线段表示。 因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向量中有 关结论仍适用于它们。
–1
点的坐标
解：如图–2 ：以C为坐标原点，分别以CD，
CB所在的直–3 线为X轴，Y轴，建立直角坐标
系。此时的–4点C的坐标为（0，0）由CD 的
长6，CB的–5长为4，可以得到D，B，A的坐
标为D（6，0），B（0，4），A（6，4）
B
A
4Y
你还可以怎
3
样建立直角
2
坐标系呢？
1
C
–4 –3 –2 –1 0
数乘分配律
k(a b) ka＋kb
D A
b
D A
C
Ba
D1 A1
C1 B1
C
D
B
A
C B
空间向量及其加减与数乘运算
平面向量
概念 定义 表示法 相等向量
加法 加法:三角形法则或 减法 平行四边形法则 数乘 减法:三角形法则 运算 数乘:ka,k为正数,负数,零
空间向量
具有大小和方向的量
运 加法交换律 a b b a 算 加法结合律 律 (a b) c a (b c)
(1) AB1 A1D1 C1C xAC
解(1) AB1 A1D1 C1C
D1
AB1 B1C1 C1C A1
C1 B1
AC x 1.
D A
(2) 2 AD1 BD1 x AC1
C B
(3) AC AB1 AD1 x AC1
例2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1， 求满足下列各式的x的值。
k a (k<0)
向量的数乘
3、平面向量的加法、减法与数乘运算律
加法交换律： a b b a 加法结合律： (a b) c a (b c) 数乘分配律： k(a b) ka＋kb