第八章二重积分习题答案
练习题8.1
1.设D
：0y ≤，0x a ≤≤，由二重积分的几何意义
计算d D
x y
解：d D
x y
=200
d π
θ⎰⎰
=2220
01()2d a r π
θ=--⎰⎰
332012236
a d a ππ
θ==⎰ 2. 设二重积分的积分区域为2214x y ≤+≤，则2dxdy =⎰⎰ 解：2dxdy =
⎰⎰22
1
26d rdr π
θπ=⎰
⎰
练习题8.2
1.2d D
x σ⎰⎰其中D 是两个圆,y x 122=+与,y x 422=+围成的环型区域.
解：2d D
x σ⎰⎰=22
222301001515
cos [cos2]84
d r dr d d πππθθθθθπ=
+=⎰⎰⎰⎰ 2计算二重积分σd y
x D
)3
41(--
⎰⎰，其中D 是由直线2,,2=-=x x ；1,1=-=y y 围成的矩形。

解：σd y
x D
)341(--⎰⎰= 221211212(1)[(1)]4346x y x y dx dy y dx ------=--⎰⎰⎰
=2
22
(1)84x dx --=⎰
3. 应用二重积分，求在xy 平面上由曲线224x x y x y -==与所围成的区域D 的面积.
解：
2
2
2
42
20
2320(42)
28
(2)|33
x x x
D
A dxdy dx dy x x x x -===-=-
=⎰⎰⎰⎰⎰
4. 求旋转抛物面224z x y =--与xy 平面所围成的立体体积
解： 22
222
2
(4)(4)48D
V x y d d r rdr d ππ
σθθπ=--=-==⎰⎰⎰⎰⎰
习 题 八
一．判断题
1.d D
σ⎰⎰等于平面区域D 的面积.（√）
2.二重积分 100f(x,y)d y
dy x ⎰⎰交换积分次序后为1
1
f(x,y)d x
dx x ⎰
⎰ （×）
二．填空题
1.二重积分的积分区域为2214x y ≤+≤，则4dxdy =
⎰⎰
12π12π.
2.二重积分d d D
xy x y ⎰⎰的值为
112
，其中2:0D y x ≤≤，01x ≤≤.
112
3.二重积分
10
(,)y
dy f x y dx ⎰⎰
交换积分次序后为
11
(,)x
dx f x y dy
⎰⎰
.
11
(,)x
dx f x y dy ⎰⎰
4.设区域D 为1x ≤，1y ≤，则⎰⎰（sin x x -）d d x y =0
.0
5.
交换积分次序
1
d (,)y f x y dx ⎰
=
2
1
1
(,)(,)x dx f x y dy f x y dy
+⎰⎰
.
2
1
1
(,)(,)x dx f x y dy f x y dy +⎰⎰
6.设D 是由221x y +≤所确定的区域。

则22
1D
dxdy
x y ++⎰⎰
=_ln 2πln 2π
三. 选择题
1.设1ln D
I =⎰⎰（x y +）d d x y ，2D
I =⎰⎰（x y +）2d d x y ，3D
I =⎰⎰（x y +）d d x y ，其中D
是由直线0x =，0y =，12
x y +=，1x y +=所围成的区域，则1I ，2I ，3I 的大小顺序为（ B ）.
A 321I I I <<
B 123I I I <<
C 132I I I <<
D 312I I I <<
2.设 1 1
2 0 d sin d y I y x x =⎰⎰，则I 等于（ A ）.
A
)1cos 1(2
1
- B 1cos 1-
C 1sin 1+
D 积不出来
3.设D
f ⎰⎰（x ，y ） 1
1 0 0
d d d x
x y x f -=⎰⎰（x ，y ）d y ，则改变其积分次序后应为（ D ）.
A 1 1
0 0d x
y f -⎰⎰（x ，y ）d x
B 1 1 0 0d x
y f -⎰⎰（x ，y ）d x
C 1
1
0 0d y f ⎰⎰（x ，y ）d x
D . 1 1 0 0
d y
y f -⎰⎰（x ，y ）d x
4.设D 是由22x y a +≤所确定的区域，当a =（ B ）时D
π=
A 1
B
C
D 四 计算二重积分
1.计算二重积分2D
dxdy ⎰⎰，其中D 是由2214x y ≤+≤围成.
解：2dxdy =
⎰⎰22
1
26d rdr π
θπ=⎰
⎰
2.计算二重积分(6)D
x y dxdy +⎰⎰，其中D 是由,5,1y x y x x ===所围成的区域。

解：150
(6)(6)x
x
D
x y dxdy dx x y dy +=+⎰⎰⎰⎰
1
23100
76767633
x dx x ==
=⎰
120
dy xy dx
⎰3.求积分
解：
1
2
00
3dy xy dx ⎰1
23033()22y y dy =-⎰34103111
()2348
y y =-= 4.()D
x y d σ+⎰⎰计算二重积分，
2,1,D y x x x ==其中由曲线轴围成. 解：
2
1
()()x o
D
x y d dx x y dy σ+=+⎰⎰⎰⎰
1
344510
1117
()()241020
x x dx x x =+
=+=⎰ xy D
xe d σ⎰⎰5.计算二重积分，
{(,)|01,01}D x y x y =≤≤≤≤其中
解：
110
xy xy o
D
xe d dx xe dy σ=⎰⎰⎰⎰1
1
00
(1)()2x x e dx e x e =-=-=-⎰ 6.
x y D
e dxdy +⎰⎰其中区域 D 是由 0,1,0,1x x y y ==== 围成的矩形； 解：
21
1
)1(-==⎰⎰⎰⎰+e dy e dx e dxdy e
o
y x
D
y
x
,D
xdxdy ⎰⎰
7.计算二重积分
2
4y x y x x =-2其中D为=与所围成的区域。

解：
2
2
2
40
x x x
D
xdxdy dx xdy -=⎰⎰⎰
⎰2
23342
0418(43)()
32
3
x x dx x x =-=-=
⎰
8. ()D
x y d σ+⎰⎰计算二重积分，
1,1D y x ≤≤其中由曲线围成. 解：
1
1
1
1
()()D
x y dxdy dx x y dy --+=+⎰⎰⎰
⎰
1
2
1
1
1
20xdx x --===⎰
2,2,0,1D
x ydxdy D y x y x ===⎰⎰9.求二重积分其中是由围成的区域。

解：
1
2220
x
D
x ydxdy dx x ydy =⎰⎰⎰⎰1
45
10
2225
5
x dx x ==
=
⎰ 10.2,D
xy dxdy ⎰⎰计算二重积分
()202
p
y x x p =>其中D 为=2p 与所围成的区域。

解：2
22
2p
D
xy dxdy dx xy dy =⎰⎰⎰
353722
22
2
5
20
02437
21
p p
p p x dx p x ===⎰。