激光原理课程设计——基于Matlab激光谐振腔模式模拟作者: 光电0905 唐世豪一、原理分析1.基本原理在分析激光器工作原理的过程中，谐振腔中的模式分布占据着重要的意义。

经典的研究激光谐振腔内激光模式分布及传播规律的方法是，运用菲涅耳—基尔霍夫衍射积分公式。

其关系式如式（1）：u(x,y)=ik4π∬u(x′,y′)e−ikρρ(1+cosθ)Sds′(1)式中，ρ为(x’,y’)与(x,y)连线的长度，θ为S面上点(x’,y’)处的法线和上述连线之间的夹角，ds’为S面上的面积元，k为波矢的模。

一般而言，腔长比镜面的线度大很多，(1+cosθ)/ρ近似取为2/L。

同时，假定腔面的线度a远大于波长，被积函数中的e−ikρ不能简单的近似，我们只能根据不同几何形状的腔型来进行合理近似。

于是，将公式（1）作用于开腔的两个镜面上的场分布，可以镜面S1上场u1(x′,y′)与镜面S2上场u2(x,y)联系起来，经过q次传播后，根据上述的假设有公式（2）：u q+1(x,y)=iλL ∬u q(x′,y′)e−ikρS1ds′(2)对于对称开腔，当光波在腔内传播足够多次后（即在稳定情况下），镜面S1上光场传播到S2，出了表示振幅衰减和相位移动常数因子 γ 外，u q+1可以再现 u q ，形成这样一种稳态场：分布不再受衍射的影响，在腔内往返一次后能够“再现”出发时的场分布，即实现了模的“自再现”。

简化后有公式（3）和（4）:u mn(x,y)=γmn∬K(x,y,x′,y′)S1u mn(x′,y′)ds′(3)K(x,y,x′,y′)=ik2πL e−ikρ(x,y,x′,y′)=iλLe−ikρ(x,y,x′,y′)(4)2.Fox-Li数值迭代法积分方程（3）和（4）的解通过数学证明是存在的，但是实际求解是很困难的，所以在大多数情况下只能使用近似方法求数值解。

Fox-Li数值迭代法就是运用标量近似来分析模场特性。

其运用的就是迭代的思想，其迭代公式为式（3）。

此方法的基本物理解释是将初始场分布视为由无数多个本征函数以一定比例叠加的结果，不同的本征函数对应不同的模式，在腔内往返渡越过程中，不同模的衍射损耗不同，经过足够多次往返渡越后，衍射损耗大的模受到的衰减程度比衍射损耗小的模大得多，当损耗大的模的贡献与损耗小的模的贡献相比可以忽略时，剩下的便是小损耗模的稳定场分布。

二、实现方案1.计算流程跟据原理进行迭代计算的设计，流程图如图（1）所示。

运用Matlab 设计实现Fox-Li 数值迭代法程序的编写。

2.矩形腔以矩形腔为例，说明Fox-Li 数值迭代法计算时的具体形式。

设矩形平面腔边长为2a*2b ，腔长为L ，它们之间满足L ≫a,b ≫λ.在上述条件下，有如式（5）的近似：ρ(x,y,x ′,y ′)=L √1+(x −x ′L )2+(y −y ′L)2≈L [1+ 12(x −x ′L )2+12(y −y ′L)2](5) 于是在菲涅耳—基尔霍夫衍射积分公式中的e −ikρ可以近似写作：e −ikρ=e −ikL[1+(x−x ′L )2+(y−y ′L )2] （6）所以式（3）可以作为： u (x,y )=γi λL e−ikL ∫∫u(x ′,y′)+b −b e −ik[(x−x ′)22L +(y−y ′)22L ]dx′dy′+a −a (7) 对于上式（7）进行变量分离，设u(x,y)=u(x)u(y),有：u (x )=γx ∫K x (x,x ′)+a −a u (x ′)dx ′u (y )=γy ∫K y (y,y ′)+b −b u(y′)dy′K x (x,x ′)=√i λLe −ikL e −ik (x−x′)22L (8) K y (y,y ′)=√i λL e −ikL e −ik (y−y′)22L根据上述的公式在初始场分布设定的情况下就可以应用迭代的方法计算出分布情况。

3.条形腔条形腔是一种理想的模型，即一个方向有限长，而另一个方向上无限延伸的腔形，与矩形腔类似。

由于只在长度有限的那个方向上发生衍射现象，迭代公式（5）为一维的菲涅耳—基尔霍夫衍射积分：u (x )=γ √i λL e −ikL ∫e −ik (x−x′)22L +a −a u(x′)dx′ （9）将条形腔的左镜面S1上沿着(-a,a)之间划分N-1等分，则有N 个点，每个区间为2a/(N-1)。

右边镜面S2上每一点的求解都需将左边镜面上的点进行逐点相加，如此循环迭代下去，最终会达到稳态分布。

否图1 计算流程图4.圆形腔圆形腔的迭代思想与矩形腔相同，只是划分与矩形腔不同。

圆形腔是按照径向和角向划分，在极坐标(r,θ)下完成数值迭代，但在最后显示的时候，需要将极坐标还原成笛卡尔坐标系。

5.倾斜腔严格的平行平面腔只是一种理想情况，实际情况下出现一定的不平行性是不可避免的，这里主要考察倾斜条形腔对自再现模的影响，如图2所示：图2 倾斜平行平面腔的示意图两个镜面相对其理想位置(即两镜面与其公共轴线严格垂直的位置) 沿相反方向偏离同样大小的微小角度β, 在镜的边缘处与理想位置的偏离线度δ。

在δ甚小的情况下,且只考虑腔的旁轴光线,镜面上两点的距离M1′M2′与理想情况下相应两点的距离M1M2之差为:I′=M′1M′2−M1M2=β(x+x′)=δa(x+x′)（10）于是有ρ=δa(x+x′)+M1M2，于是衍射积分方程变为：u(x)=γ√iλL e−ikL∫e−ik(x−x′)22L e−ikδa(x+x′)+a−au(x′)dx′（11）类似于条形腔，可以计算出倾斜条形腔的自再现模。

三、结果分析1.矩形腔模式分布在对于模式分布的分析中菲涅耳数占据着重要地位。

其定义为Fres=a^2/L/λ。

菲涅耳数是表征了衍射损耗的大小的量，菲涅尔数越大，衍射损耗越小。

当谐振腔的菲涅尔数较大时，低阶模式和高阶模式的衍射损耗非常接近，高阶模在有限的迭代次数下不能有效地消除；而谐振腔的菲涅耳数比较小时，高阶模具有更高的颜色损耗，从而更能够有效地抑制高阶模振荡。

图3是fres为6.45（a分别是1mm，b是0.5mm，L是100mm，λ是1550nm）时的模式稳态分布。

振幅分布达到了稳定状态，呈现出近似高斯分布；而稳定后的相位分布，曲线上的起伏较小，中间区域接近平面波分布。

将具有这种特征的横模称为腔的最低阶对称模或基模，方形镜腔和圆形镜腔的基模通常以符号TEM00表示。

图3、4、5是矩形腔分别是fres为6.45、2.98、0.155（a分别是1mm、0.68mm、0.15mm，b是0.5mm，L是100mm，λ是1550nm）时的模式稳态分布。

对比这几幅图，可以看出镜面中心的振幅在菲涅耳数较大时可能不是最大的；较小时，中心振幅最大。

并且振幅从中心向外是振荡下降的，菲涅耳数越大振动的越厉害；菲涅耳数越小幅度曲线越平滑，更近似高斯分布，相位接近球面波分布。

由于平行平面腔的基模振幅分布是高斯分布，相位分布近似于球面波分布。

所以可以认为，在菲涅尔数较小的情况下，高阶模的损耗远大于基模的。

图3 fres=6.45的模式稳态分布图4 fres=2.98的模式稳态分布图5 fres=0.155的模式稳态分布图6 微小倾斜的模式分布2.微小倾斜对模式分布的影响实际中的谐振腔很难做到绝对的平行，运用程序模拟倾斜的条形腔如图6所示（偏移的距离b为100λ）。

在b=100λ的情形下，模场分布可以达到稳定，但是可以看出由于微小的偏移，振幅最大值有了偏移，而且已经不再对称。

相位的分布也产生了严重的畸变。

随着偏移量b的增大，振幅到达稳定需要的迭代次数越来越大，以至于最后可能完全无法达到稳定的分布状态。

所以对于激光器谐振腔而言，这种偏移是十分有害的，应当避免发生。

3.菲涅耳数对圆形腔模式分布的影响菲涅耳数对于圆形腔的的分析类似于矩形腔。

图7、8是圆形腔半径a分别为0.5mm、1mm时候的模场分布图。

图中可以看出模场是以圆心为中心的中心对称。

圆心的振幅较大，向外延伸时，振幅下降，菲涅耳数越小，下降的越平滑。

在实验过程中，发现菲涅耳数更小0.5mm的圆形腔在试验中更快的达到稳定。

同时可以看出在0.5mm是中心场很小，是一个暗斑。

而1mm的圆形腔中心是一个亮斑。

可以通过改变几何参数来改变模场分布，以实现不同模式激光的输出。

图7 a=0.5mm是圆形腔模场分布图8 a=1mm是圆形腔模场分布4．其他参数的影响在模场分布计算中还有很多因素对最终结果有较大影响，比如划分点的个数、初始场分布等等。

对于划分点数，虽然是越多越精确，最终误差积累的越少，但是点数太多会严重影响运算速度，特别是圆形腔。

因此要选取适当的点数，兼顾精度与效率。

对于初始模场分布而言，对于能够最终稳定的结构而言，初始的模场分布的不同会使，模场演变的过程不同，也可能加长模场到达稳定的时间，但是不会影响模场最终稳定后的分布结果。

四、设计体会本次课程设计是对于激光原理的一种考查，同时对于编程方法的考查。

具体而言就是对于本次的Matlab的考查。

首先是对于激光原理部分谐振腔的原理、计算公式、典型近似都有了更为深刻地认识。

更好的是，程序生成的图像对于几种腔型的模场分布有了更加直观的认识，非常有利于理论与实际结合起来。

其次是对于Matlab软件有了初次的接触。

第一次使用这个软件，遇到了很多的问题。

但是在整个使用过程中不断感受到Matlab的强大。

在编写过程中核心算法，也就是菲涅耳-基尔霍夫衍射公式的近似积分方式，可以很快确定下来，而整个GUI界面与代码的联合是一个很耗时的过程。

但是整个完成后很有成就感。

在设计过程中遇到了很多的问题，更多的是程序编写上的问题，需要从最开始的语法等来熟悉整个编程软件。

然后在编写程序时，在最终的结果图像的显示，三维图像的显示，积分循环的实现等问题都拖后了进度。

翻阅了一些文献后，有在同学帮助下，才得以解决。

最后，有个建议。

对于这个课程设计，我觉得老师可以抽一些上机时间对于Matlab进行一些介绍，我想这个让我们编写程序时，上手更快。

也可以更节省精力。

参考文献:[1] 杨克成，激光原理与技术（原理部分）[M]，武汉：华中科技大学出版社，2000.[2] 周炳琨. 激光原理(第六版) [M] . 北京: 国防工业出版社, 2009.[3] 姜丽丽，张翔. 用Fox_Li 数值迭代法求解F-P型激光谐振腔的本征模式[J ] . 成都信息工程学院学报, 2007，22（8）：124—128.[4] 张志涌，精通MATLAB R2011a [M]，北京：北京航空航天大学出版社，2011[5] 穆尔,MATLAB实用教程（第二版）[M],北京：电子工业出版社,2010。