H ( e j )
arg H (e j )


称为系统幅频特性 称为系统的相频特性
系统的频率响应反映了系统对各次谐波信号的传输能力。
9
特征函数
一个信号，若系统对该信号的输出响应仅是一个常数 （通常是复数） 乘以输入， 则称该信号为系统的特征函 数，而幅度因子称为系统的特征值。 线性非移变系统的特征函数是复指数函数。

等式右边交换求和次序
Y (e Y (e ) )
k j
x ( k ) h ( n k )e
n

k

x ( k )e
jk
n
j ( n k ) h ( n k ) e

Y (e j ) X (e j ) H (e j )
上式代入给定输入，
y ( n)
k
h(k ) Ae
jn k

j ( n k )
Ae
h( k )e
j
jk
Ae jn H (e j )
AH (e ) e
jn arg[ H ( e j )]
j j H ( e ) arg[ H ( e )]均为常数， 当 给定时， 和
18
19
20
以上分析可以得出如下结论: 采样定理(山农定理)：若x a (t ) 是个限带模拟信号，其最 高频率分量小于 0 ，如果用大于2 0 的采样频率对x a (t ) 进 行采样,则模拟信号 x a (t ) 可以由其采样值唯一地确定。
shannon theorem
假定 xa (t ) 是个限带模拟信号， 信号的最高频率分量为 0 ， 当采样频率满足
10
特征函数
已知线性非移变系统的单位样值响应为 h(n) ， 设系统的输 入为：
x(n) Ae
解：根据线性卷积有
jn
A 为常数。求系统的零状态响应 y (n) 。
y(n) x(n) * h(n) h( n ) * x ( n )


k
h(k ) x(n k )
11
特征函数
13
傅里叶变换的时域卷积定理
线性非移变系统的零状态响应
y (n) x(n) * h(n)
k
x(k )h(n k )
jn

两边取傅里叶变换
n
y ( n )e
j

jn

n k
x(k )h(n k )e
jn
则称为x(n)奇序列（odd sequence），通常用下标o表示，即xo(n) 。 任何序列都可以表示为偶序列与奇序列之和，即
x ( n) x e ( n) x o ( n)
其中
1 xe (n) [ x(n) x(n)] 2
xo (n)
1 [ x(n) x(n)] 2
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Re[ x(n)] Re[ x(n)]
Im[ x(n)] Im[ x(n)]
则称为x(n)共轭反对称序列（conjugate antisymmetric sequence）， 通常表示为： x (n) x * (n)
0 o
任何序列x(n)都可以表示为共轭对称序列与共轭反对称序列之和：
S 2 0 时，则有
1 xa (t ) 2
1 xa (t ) 2


0
0
X a ( j)e jt d
X a ( j)e jt d
（取非零值区间积分） （积分区间的零值扩展）
s 2 s 2
21
T xa (t ) 2
因为 所以
X (e

j
s 2 s 2
若 F j j ax ( n ) by ( n ) aX ( e ) bY ( e ) 则 2 时间位移特性
若 F jn0 j x ( n n ) e X ( e ) 则 0 3 频率位移特性 若 则
F x(n) X (e j )
F x(n) X (e j )
y (n)
y (t )
经处理后的数字信号 阶梯形式的连续时间信号 光滑的模拟信号(连续时间信号)
y a (t )
17
两个基本问题
1. 信号的功能是传载信息, 将一个连续时间信号转变为幅值和时间都离散的信号(数 字信号)会不会丢失原有信号中的信息? 2. 将数字信号恢复成连续时间信号能否得到原有信号的全部信息? 第一个问题的回答分两个部分研究: 一是研究时间离散是否会造成信息丢失? 二是幅值离散(量化)是否会造成信息的丢 失? 前一个问题由数字信号处理理论中的采样定理回答, 后一个问题回答是肯定的 , 信号幅值的量化总是造成某些信息的丢失, 换句话说, 量化的信号幅值是连续信号幅 值的一种近似, 它由数字信号处理论中的量化效应理论给予研究。
F x(n)e j0n X (e j ( 0 ) )
25
4对称特性 若x(n)为实数序列，即 且有
x(n) x (n)
x ( n) x ( n)
则称x(n)为偶序列（even sequence），通常用下标e表示，即xe(n)。 若x(n)为实数序列，且
x ( n) x ( n)
1 f (n) 2
n


f (n)e jn
式中 为数字角频率。



F (e j )e Байду номын сангаасn d
F (e j ) 是 的连续函数，而且是以 2 为周期的函数。
7
系统的频率响应
线性非时变连续时间系统单位冲击响应 h(t ) 的傅里叶变换
H ( j) h(t )e jt dt
n


T x ( n) 2

T

T
e j (t nT ) d
非因果系统
上式中方括弧内的积分为
sin[ (t nT )] T


T
(t nT )
，
g (t )
sin(
t
T t T
)
(称为内插函数)
而
xa (t )
n


sin[ (t nT )] T x ( n)


T
(t nT )
(称为内插公式)
22
23
离散信号的傅里叶变换 非周期序列 f(n) 的傅里叶变换的定义为:
F (e
j
)
n
f ( n) e



jn
1 f (n) 2

F (e j )e jn d
式中ω 为数字角频率。 注意:序列的傅里叶变换是ω 的连续函数，即离散信号的傅里叶 变换是频域中连续的函数。还因为
n
F e
n

jn0t
式中

f (t )e jn0t dt ， 0 2 。 T
jn 0t
即展开成基波频率 0 整倍数频率上复指数函数 e
的加权和。
2 N
一个周期序列是否也可以展开成基波频率 0 呢？ 注意到 e
jn 0t

整倍数频率上复指数 e
jk 0 n
的加权和
F x* (n) X * (e j )
上式说明反序列的共轭序列的傅里叶变换等于原序列傅里叶变换的共 轭函数。这个性质再一次表明了时域和频域的对称性。
28
周期序列的傅里叶级数
一个周期为 T 的连续时间信号 f (t ) 可以展开成傅里叶级数，即
f (t )
1 Fn T
T 2 T 2
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特征函数
以上分析说明， 线性非移变系统的特征函数为复指数序 列。复指数信号有时也称为谐波信号。 线性非移变系统在谐波信号的激励下其响应也为同频
j H ( e ) 因子（幅频特性在 率的谐波函数，但其振幅乘上
j arg[ H ( e )] 弧度（相频 该频率上的取值） ，相位增加了
特性在该频率上的取值。 ） 实际上系统的频率响应反映了系统对各次谐波的传输 能力。


称为系统的频率响应，通常 H ( j) 为复函数
H ( j)
argH ( j)
称为系统幅频特性 称为系统的相频特性
8
系统的频率响应
类似地，线性非移变离散时间系统的单位样值响应 h(n) 的 傅里叶变换

H (e j )
n
jn h ( n ) e
j H ( e ) 也是复函数 也称为系统的频率响应，通常
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采样定理
15
简单信号处理系统的基本结构
xa (t )
限带滤 波器
x(t )
A/D 转换器
x(n)
数字信号 处理器
y(n)
D/A 转换器
y(t )
平滑滤 波器
ya (t )
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x a (t ) 为模拟信号(连续时间信号),可能含有高频成分 x (t ) 也是模拟信号,但它的较高频率分量已被滤除 x ( n ) 是采样后的数字信号
F (e
j ( 2 )
)
n


f (n)e
j ( 2 ) n

n


f (n)e jn F (e j )
所以任何序列的傅里叶变换都是以2π为周期的频域连续函数。
24
序列的傅里叶变换具有如下性质：
1 线性特性
F x(n) X (e j ) F y(n) Y (e j )
3
傅里叶级数