n =1 n =1
∞
∞
，j = 1, 2,
）
组成的级数（按任意排法）均绝对收敛到 AB 。
证明：首先：将无穷级数按任意排法排列为： 则其部分和为： Cs =
∑a
k =1
∞
mk nk
b （ mk 和 nk 独立取遍自然数），
∑a
k =1
s
mk nk
b 。
要证该级数绝对收敛，考虑到：
∑a
k =1
s
mk nk
∑a
n =1
∞
n
收敛，由级数收敛
的四则运算法则，可以推出级数
∑ an+ 与 ∑ an− 均发散。
n =1 n =1
证毕 我们再回到级数的交换律的问题上来。级数和中，两项交换次序表示级数“更序”，下 面就来讨论一个级数“更序”以后得到的“更序级数”的性质：
5.1
收敛级数的性质
′ 是指： 定义： 级数 ∑ an 的更序级数 ∑ an
高等微积分讲义
例1. Leibniz 级数
∑
n =1
∞
( −1)
n
n −1
= ln 2 是条件收敛的，它不能重排。
解：
考虑上述级数的重排： 1 − 其部分和：
1 1 1 1 1 1 1 1 − + − − + − − + 2 4 3 6 8 5 10 12
（一正两负）
S 3n = 1 −
1 1 1 1 1 1 1 1 − + − − + + − − 2 4 3 6 8 2n − 1 4n − 2 4n 1 1 1 1 1 1 = − + − + + − 2 4 6 8 4n − 2 4 n 1⎛ 1 1 1 1 1 ⎞ = ⎜1 − + − + + − ⎟ 2⎝ 2 3 4 2n − 1 2n ⎠
∞
同理：
∑ an′− = ∑ an− 。
n =1 n =1
∞
因此：
∑ an′ = ∑ an′+ + ∑ an′− = ∑ an+ + ∑ an− = ∑ an 。
n =1 n =1 n =1 n =1 n =1 n =1
∞
∞
∞
∞
∞
∞
证毕
附注：若
∑a
n =1
∞
n
是条件收敛的，则上述结论不能成立。
5.2
an − an − − 级数 ∑ an 称为级数 ∑ an 的负部，其中 an = 。 2 n =1 n =1
显然，我们有：
+ − 引理： 级数 ∑ an 绝对收敛 ⇔ ∑ an 及 ∑ an 均收敛； ∞ ∞ ∞
+ − 级数 ∑ an 条件收敛 ⇒ ∑ an 及 ∑ an 均发散。 n =1 n =1 n =1
n =1 ∞
n =1 ∞
n =1 ∞
证明： 1)
级数
∑ an 绝对收敛 ⇔ ∑ an 及 ∑ an 均收敛，由级数收敛的四则运算
n =1
∞
∞
∞
法则，这等价于级数
∑a
n =1
∞
+ n
与
∑a
n =1
n =1 ∞
n =1
− n
均收敛；
∞
2)
级数
∑a
n =1
∞
n
条件收敛 ⇔ 级数
∞
∑a
n =1
n
发散，级数
∞
b = am1 bn1 + am2 bn2 + ≤ a1b1 + ⎛ p = ⎜ ∑ ak ⎝ k =1
1≤ k ≤ s
+ ams bns + a p b2 + ⎞⎛ ∞ ⎞ ⎟i⎜ ∑ bk ⎟ ⎠ ⎝ k =1 ⎠ + a1bq + + a p bq
+ a p b1 + a1b2 + ⎞⎛ q ⎟i⎜ ∑ bk ⎠ ⎝ k =1 ⎞ ⎛ ∞ ⎟ ≤ ⎜ ∑ ak ⎠ ⎝ k =1
高等微积分讲义
第5讲
收敛级数的性质
§1 结合律
收敛级数的结合律在叙述级数的性质时就已经讲到了， 这里为了统一起见， 我们仍将这 一性质列在这里。 一个收敛的级数对其相邻的项进行任意方式的结合以后， 新级数仍然收敛到原来的级数 和。 特别需要强调的是，该命题的逆命题不成立。
§2 交换律、Riemann 定理
∃m1 ，使得： a1+ + ∃m2 ，使得： a1+ +
以此类推， ∃ml ，使得：
a1+ +
+ + am + a1− + am + 1 1 +1
+ − + am + a2 + 2
+ + am + l −1 +1
+ + am > l − al− ， l
这样经过重排的级数：
a1+ +
+ + + am + a1− + am + 1 1 +1
+ − am + a2 + 2
+ + am + l −1 +1
+ + am + al− + l
发散到 +∞ 。 3)
A = −∞ ，与 2)同理。
证毕
§3 分配律
考虑两个级数的乘积：
∑ an × ∑ bn 。它是否与有限项和数的乘积一样，有对加法的分
n =1 n =1
∞
∞
配律呢？我们先来看这两个级数逐项相乘一共有多少项：
+ − + −
显然：Leabharlann ∑ an′+ 是 ∑ an+ 的重排，而 ∑ an′− 是 ∑ an− 的重排，
n =1 n =1 n =1 n =1
∞
∞
∞
∞
有引理知：
∑a
n =1
∞
+ n
是绝对收敛的，
∞ ∞
又由 1)知级数
∞
∑ an′+ 绝对收敛，并且： ∑ an′+ = ∑ an+ ，
n =1 n =1 n =1
其中： p = max mk ， q = max nk 。由于级数
1≤ k ≤ s ∞
∑ an 与 ∑ bn 均为绝对收敛的，
n =1 n =1
∞
∞
因而上式右端有界，即级数
∑a
k =1
mk nk
b 是绝对收敛的。
其次，由于级数是绝对收敛的，由 Riemann 定理，任意排法的级数和均为同一 和数，因此我们可以按正方形排法来计算级数和如下：
− + + an + am + 1 1 +1
+ − am + an + 2 1 +1
− + an 2
+ + am + l −1 +1
+ − + am + an + l l −1 +1
− + an + l
收敛至 A 。 2)
A = +∞ 。
与 1)同理，由
∑a
n =1
∞
+ n
= +∞ ，
+ am > 1 − a1− ， 1 + + am + a1− + am + 1 1 +1 + − + am > 2 − a2 ， 2
n =1 n =1
m1
∞
于零的项），则我们有：
+ ∃m1 ，使得： A ≤ ∑ ak+ < A + am ，（加到第 m1 项刚刚比 A 大） 1 k =1 m1 n1
同理， ∃n1 ，使得： A + an 1 <
−
∑a + ∑a
k =1 + k k =1
− k
≤ A，
依次继续下去， ∃ml , nl ，使得：
2） 正方形排法
a1b1 a1b2 a1b3
a2b1 a2b2 a2b3
a3b1 a3b2 a3b3
a1b1 a1b2 a1b3
a2b1 ↓ ← a2b2 ← a2b3
a3b1 ↓ a3b2 ↓ ← a3b3
在什么条件下这些不同排法组成的级数收敛？下面的定理部分地回答了这一问题：
定理 3： 设级数 ∑ an = A ， 则由 ai b j（ i = 1, 2, ∑ bn = B 均绝对收敛，
∑a
k =1
∞
mk nk
b = a1b1 + a2b1 + a2b2 + a1b2 + = a1b1 + ( a2b1 + a2b2 + a1b2 ) + ( a3b1 + a3b2 + a3b3 + a2b3 + a1b3 ) + = lim ∑ ( ak b1 + ak b2 +
n →∞ k =1 n
n n ⎛ k ⎞ Sn = ∑ ck = ∑ ⎜ ∑ ai bk +1−i ⎟ k =1 k =1 ⎝ i =1 ⎠ n ⎛ n ⎞ n ⎛ n ⎞ n ⎛ n +1−i ⎞ n = ∑ ⎜ ∑ ai bk +1−i ⎟ = ∑ ai ⎜ ∑ bk +1−i ⎟ = ∑ ai ⎜ ∑ b j ⎟ = ∑ ai Bn +1−i i =1 ⎝ k =i ⎠ i =1 ⎝ k =i ⎠ i =1 ⎝ j =1 ⎠ i =1