收敛．
非凡的结果！
第12讲 正项级数收敛性判别方法——正项级数收敛的充要条件
定理2（比较判别法的不等式形式）设 数，且 (1) 当级数 (2) 当级数 例3 证明：当 ，则有 收敛时，级数 发散时，级数 时，p-级数
和
均为正项级
也收敛； 也发散． 发散.
第12讲 正项级数收敛性判别方法——比较判别法
n 1
a
n 1
n
收敛； 柯西判别法
（2）当 q 1 时，级数 an 发散．
2 (1) n 例6 判断级数 的收敛性. n 5 n 1

第12讲 正项级数收敛性判别方法——比值判别法与根值判别法
例2 设级数
和
收敛，级数
的通项满足：
证明级数
也收敛．
第12讲 正项级数收敛性判别方法——比较判别法
定理3（比较判别法的极限形式）设 且 （1）当 （2）当 （3）当 ，则 时，级数 时，如果级数 时，如果级数 和
和
均为正项级数，
有相同的敛散性； 收敛； 发散 .
收敛，那么 发散，那么
第12讲 正项级数收敛性判别方法——比较判别法
1 n2 1 ． 例3 判断级数 n 2 的敛散性 . n 1 2 2n 1

n 1 例4 设 k 为正整数，讨论级数 k 的敛散性． n 1 n 2

第12讲 正项级数收敛性判别方法——比较判别法

定理4（比值判别法）设 an 为正项级数，且
n 1
，
则有

（1）当 0 q 1 时，级数
第12讲 正项级数收敛性判别方法——主要内容
若
，则称级数
为正项级数 为正项级数，则该 有界，即存在不依赖
定理1（正项级数收敛的充要条件）
收敛.
第12讲 正项级数收敛性判别方法——正项级数收敛的充要条件
例２ 设 p >1 为常数，则级数 p-级数
n 1
a
n 1
n
收敛； 达朗贝尔判别法
（2）当 q 1 时，级数 an 发散．
例5 利用比值判别法判断下列级数的敛散性 ．
第12讲 正项级数收敛性判别方法——比值判别法与根值判别法

定理5（根值判别法）设 an 为正项级数，且
n 1
，
则有

（1）当 0 q 1 时，级数
雅各布 ∙ 伯努利与约翰 ∙ 伯努利关于级数的研究 （1）证明调和级数 （2）证明 发散 的和小于2
雅各布 ∙ 伯努利：“如果谁能解决并告知这个迄今为止 我们还无能为力的问题，我们将不胜感谢。” 约翰 ∙ 伯努利的学生莱昂哈德 ∙ 欧拉解决了上述问题
第12讲 正项级数收敛性判别方法——问题引入
正项级数收敛的充要条件 比较判别法 比值判别法与根值判别法