东北大学研究生考试试卷考试科目： _________________________课程编号： ___________________阅卷人：_____________________考试日期： ___________________姓名：XI ___________学号：______________________注意事项1.考前研究生将上述项目填写清楚•2.字迹要清楚，保持卷面清洁•3.交卷时请将本试卷和题签一起上交.4.课程考试后二周内授课教师完成评卷工作，公共课成绩单与试卷交研究生院培养办公室专业课成绩单与试卷交各学院，各学院把成绩单交研究生院培养办公室.东北大学研究生院培养办公室数字滤波器设计技术指标：通带最大衰减：x p =3dB,阻带最小衰减：x s = 20dB采样频率：Fs=200Hz 通带边界频率：fp = 100Hz 阻带边界频率：f s = 200Hz目标：1、根据性能指标设计一个巴特沃斯低通模拟滤波器。
2、通过双线性变换将该模拟滤波器转变为数字滤波器。
原理: 一、模拟滤波器设计每一个滤波器的频率范围将直接取决于应用目的，因此必然是千差万别。
为了使设计规范化，需要将滤波器的频率参数作归一化处理。
设所给的实际频率为门(或f)，归一化后的频率为'，对低通模拟滤波器令’="小p，则', "、/入。
令归一化复数变量为p,p = j'，则p =「汀屮爲弋/「爲。
所以巴特沃思模拟低通滤波器的设计可按以下三个步骤来进行。
(1)将实际频率门规一化⑵求Q c和NN =lg这样Q c和N可求。
C2= 10：P/10根据滤波器设计要求=3dB ，则C = 1,这样巴特沃思滤波器的设计就只剩一个 参数N ，这时⑶确定G(s)因为p"'，根据上面公式有G(p)G(—p) I . (p/j)2N r . (J,I / 八N 2N 小 由1 (-1) p =0解得P k 二 exp(j2k ,N “2二)k ,k = 1 ,这样可得G k ( p )(p -P k )(P -P N 」 p 2 _2pcos(2k N 一1二)1 求得G(p)后，用5/'宀代替变量p ，即得实际需要得G(s)。
二、双线性变换法双线性变换法是将s 平面压缩变换到某一中介S1平面的一条横带里，再通过 标准变换关系Z 二e xp(s1*T)将此带变换到整个Z 平面上去，这样就使s 平面与z 平 面之间建立一一对应的单值关系，消除了多值变换性。
为了将s 平面的N 轴压缩到s1平面的j"轴上的- PIT 到P 「T 一段上，可以 通过以下的正切变换来实现：2 1tan(1T) T 2这样当"由—p LT 经0变化到pi T 时，"由经过0变化到* ,也映射到了整 个2轴。
将这个2 G(j ■) 11 W)2N N 2N P2,…，2N 2N 2Ns关系延拓到整个平面和s1平面，则可以得到2 T21—e$T s tan(s1 )STT T 2 T 1 e再将si 平面通过标准变换关系映射到z 平面，即令z=exp(s1*T)得到 2 1 -z 同样对Z 求解，得到 2s z —sT这样的变换叫做双线性变换。
为了验证这种映射具有s 平面的虚轴映射到z 平面 单位圆上的特性，考虑 s"「，z=e 「，得2 1 _e"J ' _T 1 e 4 '，2tan1 •T 2除了使s 平面的虚轴映射到单位圆上之外，s 平面的左半部分映射到单位圆的内 部，s 平面的右半部分映射到单位圆的外部。
设计过程 一、计算滤波器阶数N 和截止频率Q c根据公式:代入数据，计算可得:'ps =0.5ps pslg lg k 11 p11s k pspsK ps=0.99885N=3.3151所以取N=4,即滤波器为四阶滤波器计算3dB截止频率，根据公式2=112.6096 ；■：c 二-一（1（0.% _i）l/2N）计算可得二、计算系统函数已知四阶归一化低通巴特沃斯模拟滤波器系统函数为:H a s— ~4 3 2s4 2.6131s3 3.4142s2 2.6131s 1将S用S/Q c替代，求出系统函数：H a(s) = b/ (s^+a s s3+ a2s2+ a1s+ a o)其中：b=2.5063*10A(11)a3=1.8489*10A(5)a2=1.7092*10A(6)a1=9.2560*10A(8)a0=2.5063*10A(11)三、程序实现模拟滤波器（MATLAB ）clear; close allfp=100;fs=200;Rp=3;As=20; [N,fc]二buttord(fp,fs,Rp,As,'s') [B,A]=butter(N,fc,'s'); %滤波器指标%计算阶数N和3dB截至频率fc %设计低通巴特沃斯模拟滤波器plot(f,20*log10(abs(hf)), 'r') grid; xlabel('频率Hz'); ylabel('幅度dB') title('模拟低通滤波器'); axis([0,250,-25,5]) lin e([0,250],[-3,-3]);lin e([100,100],[-25,5]);lin e([0,250],[-20,-20]);lin e([200,200],[-25,5]);响应曲线如下四、通过双线性法变换将模拟滤波器转变为数字滤波器首先根据公式H(z) = H(s) 21”将H (s)转换为H(z)计算可得：H(z)分子系数为：Mz = 0.0197 H(z)分母系数为：Nz = 1.00000.0786 0.1179 0.0786-1.7271 0.0871 1.86820.0197-0.91380.0197+0.0786 Z-1+0.1179 Z-2+0.0786 Z-3+0.0197 Z-41-1.7271 Z-1+0.0871 Z-2+1.8682 Z-3- 0.9138 Z-4五、程序实现数字滤波器(MATLAB)T=0.005;M=2.5063*10八(11);N二[1,1.8489*10八(5) ,1.7092*10八(6) ,9.2560*10八(8) ,2.5063*10八(11)][Mz, Nz]=bili near(M,N,1/T); %对模拟滤波器双线性变换Mz, Nz[h1,w1]=freqz(M z,Nz); %数字滤波器的幅频响应figureplot(w1/pi,20*log10(abs(h1)), 'r'); grid;xlabel(' 3 / n ');ylabel('幅度(dB)'); title('数字低通滤波器');axis([0,1.1,-160,20])六、设计级联型滤波器根据0.0197+0.0786 Z-1+0.1179 Z-2+0.0786 Z-3+0.0197 Z-4H(z) = 7 7 ；T 1-1.7271 Z+0.0871 Z+1.8682 Z- 0.9138 Z编写matlab程序求级联型滤波器系数。
程序如下：a二[0.0197,0.0786,0.1179,0.0786,0.0197];b二[1.0000,-1.7271,0.0871,1.8682,-0.9138];[sos,g]=tf2sos(a, b) %求级联型结构系数结果如下：1.4405 1.0000 0.3905 -0.6025 sos = 1.00002.3550g = 0.0197所以可由级联型结构系数写出系统函数:级联型结构图如下图所示:结果分析1、 模拟滤波器性能分析观察响应曲线，在通带边界频率 100Hz 处，幅度最大衰减为3 dB ;在阻带 边界频率200Hz 处，幅度衰减达到20dB 。
因此模拟滤波器设计符合要求。
2、 双线性变换所得数字低通滤波器分析双线性变换优点：是频率坐标变换是线性的，即 「“叮，如果不考虑频率混叠现象，用这种方法设计的数字滤波器会很好的重现原模拟滤波器的频率特 性。
另一个优点是数字滤波器的单位脉冲响应完全模仿模拟滤波器的单位冲激 响应，时域逼近性好。
双线性变换法的缺点：数字滤波器的幅频响应相对于模拟滤波器的幅频响 应有畸变。
例如，一个模拟微分器，它的幅度与频率是线性关系，但通过双线 性变换后，就不可能得到数字微分器。
H(z) = 0.0197121+2.355Z -+1.4405Z ---------------- -11+0.3905 Z -0.6025 Z-2-1 -21+1.6348 Z +0.6942Z-1 -21-2.1176 Z +1.5166 Z丫(n)另外，一个线性相位的模拟滤波器经双线性变换后，滤波器就不再有线性 相位特性。
虽然双线性变换有这样的缺点，但它目前仍是使用得最普遍、最有成效的 一种设计工具。
这是因为大多数滤波器都具有分段常数的频响特性，如低通、 高通、带通和带阻等，它们在通带内要求逼近一个衰减为零的常数特性，在阻 带部分要求逼近一个衰减为X 的常数特性，这种特性的滤波器通过双线性变换 后，虽然频率发生了非线性变化，但其幅频特性仍保持分段常数的特性。
双线性变换比脉冲响应法的设计计算更直接和简单。
由于s 与z 之间的简单代数 关系，所以从模拟传递函数可直接通过代数置换得到数字滤波器的传递函数。
这些都比脉冲响应不变法的部分分式分解便捷得多Tl + z -1频响:时）*叫置换过程:=HaHa。