淄博五中高二数学月考试题一、单选题（9个小题，每小题5分）1.下列式子不．正确的是（ ） A. ()23cos 6cos sin x x x x x x x '+=+-B.23112ln x x x x '+=-（） C. ()sin 22cos 2x x '= D. 2sin cos sin x x x x x '-⎛⎫= ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】利用导数的运算法则以及复合函数的求导法则对各选项逐一验证.【详解】对于A 选项，()()()223cos 3cos 6cos sin x x x x x x x x x x '''+=+=+-，A 选项正确；对于B 选项，23112ln x x x x '⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，B 选项正确； 对于C 选项，由复合函数的求导法则得()()sin 2cos 222cos 2x x x x ''=⋅=，C 选项正确；对于D 选项，()22sin sin sin cos sin x x x x x x x x x x x '''⋅--⎛⎫== ⎪⎝⎭，D 选项错误.故选D. 【点睛】本题考查导数的计算，解题的关键就是导数的运算法则以及复合函数求导法则的应用，考查计算能力，属于基础题. 2.已知曲线()ln a f x x x=+在点(1,(1))f 处的切线的倾斜角为3π4，则a 的值为（ ）A. 2-B. 0C. 1D. 2【答案】D 【解析】 【分析】利用导数求出()1f '，由()31tan14f π'==可求出a 的值． 【详解】()ln a f x x x =+，()21af x x x'∴=-，由题意可得()311tan 14f a π'=-==-，因此，2a =，故选D ．【点睛】本题考查导数的几何意义，考查导数的运算、直线的倾斜角和斜率之间的关系，意在考查函数的切线斜率与导数之间的关系，考查计算能力，属于中等题．3.已知函数()f x 的导函数为()()()2,232ln f x f x x xf x ''=-+，则()2f '=（ ）A.92B.94C.174D.178【答案】D 【解析】 【分析】求导数，将2x =代入导函数解得()2f '【详解】()()()()21232ln '432f x x xf x f x x f x''=-+⇒=-+将2x =代入导函数()()()117'2832'228f f f '=-+⇒= 故答案选D【点睛】本题考查了导数的计算，把握函数里面()2f '是一个常数是解题的关键. 4.“1a >”是“函数()cos f x ax x =+在(),-∞+∞上单调递增”的（ ）． A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】求出函数()f x 的导数，利用函数单调性和导数之间的关系求出a 的取值范围，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】()'sin f x a x =-，当1a >时， ()'0f x >恒成立，即()f x 递增，但当1a =时，()'0f x ≥恒成立， ()f x 也递增，因此题中应是“充分不必要条件”.故选A ．【点睛】充分条件、必要条件的判定主要有以下几种方法： ①定义法：若p q ⇒，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件；②构造命题法：“若p ，则q ”为真命题，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件； ③数集转化法：p ：x A ∈，q ：x B ∈，若A B ⊆，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件.5.已知函数()f x 的导函数为()f x '，在()0,∞+上满足()()'>xf x f x ，则下列一定成立的是（ ）A. ()()2019202020202019f f >B. ()()20192020f f > C ()()2019202020202019f f < D. ()()20192020f f <【答案】A 【解析】 【分析】 构造函数()()f xg x x=，利用导数判断函数()y g x =在()0,∞+上的单调性，可得出()2019g 和()2020g 的大小关系，由此可得出结论.【详解】令()()()0f x g x x x =>，则()()()2xf x f x g x x'-'=. 由已知得，当0x >时，()0g x '>.故函数()y g x =在()0,∞+上是增函数，所以()()20202019g g >，即()()2020201920202019f f >，所以()()2019202020202019f f >. 故选：A.【点睛】本题考查利用构造函数法得出不等式的大小关系，根据导数不等式的结构构造新函数是解答的关键，考查推理能力，属于中等题. 6.若函数21()ln 2f x x x bx =+-存在单调递减区间,则实数b 的取值范围为( ) A. [2,)+∞ B. (2,)+∞C. (,2)-∞D. (,2]-∞【答案】B 【解析】 【分析】求出()f x 的导数2'1()0x bx f x x-+=<，由其存在单调递减区间可得b 的取值范围.【详解】解：由21()ln 2f x x x bx =+-，可得2'1()(0)x bx f x x x-+=>，由题意可得存在0x ＞，使得2'1()0x bx f x x-+=<，即存在0x >，使得210x bx -+<，等价于1b x x>+，由对勾函数性质易得2b >， 故选B.【点睛】本题主要考查利用导数及利用函数的单调性求参数，属于中档题.7.设函数2()(,,)f x ax bx c a b c R =++∈，若1x =-为函数()x f x e 的一个极值点，则下列图像不可能为()y f x =的图像是（ ）A.B.C.D.【答案】D 【解析】 【详解】()2f x ax b'=+，令()()xg x f x e =则()()()x x g x f x e f x e +''=()(())x f x f x e =+'22(2)[(2)()]x x ax b ax bx c e ax a b x b c e =++++=++++，因为1x =-为函数()g x 的一个极值点，所以1x =-是2(2)()0ax a b x b c ++++=的一个根，即2(2)(1)()0(2)4()0a a b b c a b a b c ++-++=⎧⎨=+-+>⎩于是0a cb =⎧⎨≠⎩，()12f a bc a b -=-+=-，22244(2)(2)b ac b a b a b a =-=-=-+()120f a b -=-=则0=故A 、B 可能；对于D ，()120f a b -=->，0a >，则12ba->-，与图矛盾，不可能，故选D8.已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则实数a 的取值范围是（ ） A. －1＜a ＜2 B. －3＜a ＜6C. a ＜－3或a ＞6D. a ＜－1或a ＞2【答案】C 【解析】 【分析】易得()'f x 有两个不相等的实数根,再根据二次函数的判别式求解即可. 【详解】由题()2'326f x x ax a =+++有两个不相等的实数根,故()()()244360360a a a a ∆=-⨯+>⇒+->,解得3a <-或6a >.故选：C【点睛】本题主要考查了根据极值点的个数求解参数的问题,属于基础题.9.已知变量1x ，()()20,0x m m ∈>，且12x x <，若2112x x x x <恒成立，则m 的最大值为（ ） A. eB.C.1eD. 1【答案】A 【解析】 【分析】由2112x xx x <可化为1212ln ln x x x x <，设函数()ln x x x =，()21ln 00x f x x e x>⇒'-=<<，可得答案.【详解】解：2112x x x x <即2112ln ln x x x x <化为1212ln ln x x x x <， 故()ln x f x x =在()0,m 上为增函数，()21ln 00xf x x e x>⇒'-=<<， 故m 的最大值为e . 故选A .【点睛】本题主要考查函数的单调性及导数的应用，由已知构造出()ln xx x=后求导是解题的关键.二、多选题（3个小题，每小题5分）10.已知数列{}n a 的前n 项和为()0n n S S ≠，且满足11140(2),4n n n a S S n a -+=≥=，则下列说法正确的是（ ）A. 数列{}n a 的前n 项和为1S 4n n=B. 数列{}n a 的通项公式为14(1)n a n n =+C. 数列{}n a 为递增数列D. 数列1{}nS 为递增数列 【答案】AD 【解析】 【分析】先根据和项与通项关系化简条件，再构造等差数列，利用等差数列定义与通项公式求S n ，最后根据和项与通项关系得n a . 【详解】11140(2),40n n n n n n n a S S n S S S S ---+=≥∴-+= 11104n n n S S S -≠∴-= 因此数列1{}n S 为以114S =为首项，4为公差的等差数列，也是递增数列，即D 正确； 所以1144(1)44n n n n S S n=+-=∴=，即A 正确； 当2n ≥时111144(1)4(1)n n n a S S n n n n -=-=-=--- 所以1,141,24(1)n n a n n n ⎧=⎪⎪=⎨⎪-≥-⎪⎩，即B ，C 不正确；故选：AD【点睛】本题考查由和项求通项、等差数列定义与通项公式以及数列单调性，考查基本分析论证与求解能力，属中档题. 11.的椭圆为“黄金椭圆”.如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，1212,,,A A B B 为顶点，12,F F 为焦点，P 为椭圆上一点，满足下列条件能使椭圆C 为“黄金椭圆”的有（ ）A. 111222||,||,||A F F F F A 为等比数列B. 11290F B A ∠=︒C. 1PF x ⊥ 轴，且21//PO A BD. 四边形1221A B A B 的内切圆过焦点12,F F 【答案】BD 【解析】 【分析】利用椭圆的简单性质分别求出离心率，再利用黄金椭圆的定义求解．【详解】解：2222:1(0)x y C a b a b+=>>()()()()1212,0,,0,0,,0,A a A a B b B b ∴--，()()12,0,,0F c F c -对于A ：111222||,||,||A F F F F A 为等比数列则2112212||||||A F F A F F ⋅=()()222a c c ∴-=2a c c ∴-=13e ∴=不满足条件，故A 错误； 对于B ：11290F B A ∠=︒222211112A F B F B A ∴=+()2222a c a a b ∴+=++220c ac a ∴+-=即210e e ∴+-=解得e =或e =（舍去）满足条件 故B 正确；对于C ：1PF x ⊥ 轴，且21//PO A B2,b P c a ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭21POA B k k =即2b c ab a =--解得bc =222a b c =+2c e a ∴===不满足题意，故C 错误； 对于D ：四边形1221A B A B 的内切圆过焦点12,F F 即四边形1221A B A B 的内切圆的半径为c ，ab ∴=422430c a c a ∴-+=42310e e ∴-+=解得232e +=（舍去）或232e =e ∴=故D 正确 故选：BD【点睛】本题考查椭圆的离心率的计算问题，属于中档题.12.过抛物线24y x =的焦点F 作直线交抛物线于A ，B 两点，M 为线段AB 的中点，则（ ） A. 以线段AB 为直径的圆与直线32x =-相离 B. 以线段BM 为直径的圆与y 轴相切 C. 当2AF FB =时，92AB =D. AB 的最小值为4【答案】ACD 【解析】 【分析】根据抛物线的定义和直线与圆的相切关系对四个选项逐一判断即可.【详解】对于选项A ，点M 到准线1x =-的距离为()1122AF BF AB +=，于是以线段AB 为直径的圆与直线1x =-一定相切，进而与直线32x =-一定相离：对于选项B ，显然AB 中点的横坐标与12BM 不一定相等，因此命题错误.对于选项C ，D ，设()11,A x y ，()22,B x y ，直线AB 方程为1x my =+，联立直线与抛物线方程可得 2440y my --=，124y y =-，121=x x ，若设()24,4A a a ，则211,4B aa ⎛⎫-⎪⎝⎭，于是21221424AB x x p a a=++=++，AB 最小值为4；当2AF FB =可得122y y =-， 142a a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，所212a =，92AB =.故选:ACD.【点睛】本题考查了抛物线的定理和圆的切线的性质，属于基础题.三.填空题13.函数()y f x =的导函数的图象如图所示，则下列命题正确的有______.①()1,0-为函数()y f x =的单调递增区间； ②()3,5为函数()y f x =的单调递减区间； ③函数()y f x =在0x =处取得极大值； ④函数()y f x =在5x =处取得极小值. 【答案】②④ 【解析】【分析】由导函数图象可知()1,3-为()f x 的单调递增区间，()3,5为()f x 的单调递减区间，可知①错误，②正确；由()00f '≠可知③错误；根据()50f '=且在5x =处函数单调性发生变化，由极小值定义可确定④正确.【详解】①当()1,3x ∈-时，由图象知()0f x '>，可知()f x 的一个单调递增区间为()1,3-()f x 在()1,0-上单调递增，但()1,0-并非完整的单调递增区间，①错误；②当()3,5x ∈时，由图象知()0f x '<，可知()f x 的一个单调递减区间为()3,5，②正确； ③由图象知()00f '≠ 0x ∴=不是()f x 的极值点，③错误； ④由图像知()50f '=，且在()3,5上()0f x '<，在()5,+∞上()0f x '>即()f x 在()3,5上单调递减，在()5,+∞上单调递增 5x ∴=是()f x 的极小值点. 故答案为：②④【点睛】本题考查根据导函数图象研究原函数的性质，涉及到单调区间的判断、极值点的确定等知识；关键是能够熟练掌握导函数与原函数单调性之间的关系以及极值点的定义. 14.函数()321f x x x =--的图象在点()()0,0f 处的切线方程为________.【答案】10x y ++= 【解析】 【分析】求出()0f 和()0f '的值，利用点斜式可得出所求切线的方程，化为一般式即可.【详解】由题知()261f x x '=-，()01f '∴=-，又()01f =-，所以函数()y f x =的图象在点()()0,0f 处的切线方程为1y x +=-,即10x y ++=.故答案为：10x y ++=.【点睛】本题考查利用导数求函数的切线方程，考查导数几何意义的应用，属于基础题. 15.对于函数()f x ，将满足()00f x x =的实数0x 称为()f x 的不动点.若函数()log a f x x=（0a >且1a ≠）有且仅有一个不动点，则a 的取值范围是_________ 【答案】()10,1e e ⎧⎫⎨⎬⎩⎭【解析】 【分析】由题可知()log a f x x =与y x =有且仅有一个公共点,分01a <<与1a >两种情况分别讨论求解即可.【详解】由题()log a f x x =与y x =仅有一个公共点. ①当01a <<时,根据函数图像的性质易得显然成立.②当1a >时, ()log a f x x =与y x =相切.设切点为(),m m ,则1'()ln f x x a=. 故111ln 1ln log m m e a m e a m a a m a e m m⎧=⎧⎧==⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨=⎩⎪⎪==⎩⎩,即1e a e =. 综上, a 的取值范围是01a <<或1e a e =. 故答案：()10,1ee ⎧⎫⎨⎬⎩⎭【点睛】本题主要考查了数形结合求解参数范围的问题.需要根据题意分两种情况进行求解,同时也考查了直线与函数相切时的求解方法.属于中档题.16.已知定义在R 上的函数()f x 是奇函数，且(2)0f =，当0x >时，有2()()0xf x f x x-<'，则不等式2()0x f x ⋅>的解集是_________ 【答案】()(),20,2-∞-【解析】 【分析】 根据2()()0xf x f x x -<'构造函数()()f x g x x=,分析()g x 的单调性,得出正负区间再求解即可.【详解】构造函数()()f x g x x=,因为当0x >时,()2()(')0xf x f x x x g =-<',故当0x >时()g x 为减函数.又定义在R 上的函数()f x 是奇函数,故()()f xg x x=为偶函数.故()()f xg x x=在当0x <时为增函数.又(2)0f =,故()()220g g =-=. 画出()()f xg x x=简图如图所示.又2()0x f x ⋅>即()0f x >,()0x ≠.故当0x <时, ()()0f x g x x=<,此时(),2x ∈-∞-. 当0x >时, ()()0f x g x x=>,此时()0,2x ∈. 故2()0x f x ⋅>的解集为()(),20,2-∞-.故答案为：()(),20,2-∞-【点睛】本题主要考查了根据函数的奇偶性与单调性求解抽象函数的不等式的解集.需要根据题意确定构造的函数性质,属于中档题.四、解答题(共6个大题，第17题10分，其他5个大题每个题12分)17.已知函数()32322,,12f x x x x x ⎡⎤=+++∈-⎢⎥⎣⎦． （1）求()f x 的单调区间； （2）求()f x 的最大值和最小值．【答案】（1）见解析；（2）最大值为6，最小值为138. 【解析】 【分析】（1）求出原函数的导函数，分别利用导函数大于0和小于0，结合已知函数定义域求得原函数的单调区间；（2）求出函数在[﹣2，1]两端点的值，再求出函数在该区间上的最大值得答案．【详解】（1） f′(x)＝3x 2＋4x ＋1＝3(x ＋13)(x ＋1)．由f′(x)>0，得x<－1或x>－13； 由f′(x)<0，得－1<x<－13.因此，函数f(x)在[－32，1]上的单调递增区间为[－32，－1]，[－13，1]，单调递减区间为[－1，－13]．（2）f(x)在x ＝－1处取得极大值为f(－1)＝2；f(x)在x ＝－13处取得极小值为f(－13)＝5027. 又∵f(－32)＝138，f(1)＝6，且5027>138，∴f(x)在[－32，1]上的最大值为f(1)＝6，最小值为f 31328⎛⎫-= ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，训练了利用导数求函数在闭区间上的最值，是中档题．18.如图，三棱锥D-ABC 中，2,AB AC ==23,BC =3DB DC ==，E ，F 分别为DB ，AB 的中点，且90EFC ︒∠=.（1）求证：平面DAB ⊥平面ABC ； （2）求二面角D-CE-F 的余弦值. 【答案】(1)证明见解析；(2) 37028-.【解析】 【分析】（1）取BC 的中点G ，可得BC AG ⊥，BC DG ⊥，从而得到BC ⊥平面DAG ，得到BC DA ⊥，由DA EF ∥，EF CF ⊥，得到DA CF ⊥，从而得到DA ⊥平面ABC ，所以平面DAB ⊥平面ABC ；（2）以A 为原点，建立空间直角坐标系，利用余弦定理和勾股定理，得到120BAC ︒∠=，5DA =，得到DCE 的法向量1n ，平面FCE 的法向量2n ，根据向量夹角的余弦公式，得到二面角D CE F --的余弦值 【详解】（1）如图取BC 的中点G ，连接AG ，DG ，因为2AB AC ==，所以BC AG ⊥， 因为DB DC =，所以BC DG ⊥， 又因为AGDG G =，所以BC ⊥平面DAG ，DA ⊂平面DAG所以BC DA ⊥.因为E ，F 分别为DB ，AB 的中点，所以DA EF ∥. 因为90EFC ︒∠=，即EF CF ⊥， 则DA CF ⊥ 又因为BCCF C =，所以DA ⊥平面ABC ， 又因为DA ⊂平面DAB ， 所以平面DAB ⊥平面ABC .（2）因为DA ⊥平面ABC ，则以A 为坐标原点，过点A 与AC 垂直的直线为x 轴，AC 为y 轴，AD 为z 轴， 建立如下图所示的空间直角坐标系.因为2,AB AC ==3,BC =3DB DC ==， 在ABC ∆中，222cos 2AB AC BC BAC AB AC+-∠=⋅4412222+-=⨯⨯12=-， 所以120BAC ︒∠=.在Rt DAB ∆中，2232DA =-5=所以点(0,0,0)A ，5),D (0,2,0),C 3,1,0)B -，315,2E -⎝⎭31,02F ⎫-⎪⎪⎝⎭. 设平面DCE 的法向量为()1111,,,n x y z =(0,2,5),DC =315,2DE ⎛=- ⎝⎭.所以1100DC n DE n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即111112503150222y z x y z ⎧-=--=⎩， 可取1(15,5,2)n =.设平面FCE 的法向量为()2222,,,n x y z =35,0,22FC ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭50,0,2FE ⎛= ⎝⎭. 所以2200FC n FE n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2223502250x y z ⎧-+=⎪⎪=，可取2(5,3,0)n =，则12cos ,n n <>==因为二面角D CE F --为钝二面角，所以二面角D CE F --的余弦值为. 【点睛】本题考查线面垂直的性质和判定，面面垂直的判定，利用空间向量求二面角的夹角余弦值，属于中档题.19.已知函数f (x )＝32(1)ln (1)x ax bx x c x x ⎧-++<⎨≥⎩的图象在点(－2，f (－2))处的切线方程为16x ＋y ＋20＝0.（1）求实数a 、b 的值；（2）求函数f (x )在区间[－1，2]上的最大值；【答案】(1)1,0a b ==;(2)当2ln 2c ≤时,()f x 在[]1,2-上的最大值为2；当2ln 2c >时, ()f x 在[]1,2-上的最大值为ln 2c .【解析】 【分析】(1)利用函数图象在点()()2,2f --处的切线方程为16200x y ++=,结合导数的几何意义列出关于,a b 的关系式再求解即可.(2)根据分段函数,分类讨论c 的范围,利用函数的单调性,即可求()f x 在[]1,2-上的最大值； 【详解】(1)当1x <时,()2'32f x x ax b =-++,因为函数图象在点()()2,2f --处的切线方程为16200x y ++=,所以切点坐标为()2,12-，所以()()284212'212416f a b f a b ⎧-=+-=⎪⎨-=--+=-⎪⎩,解得1,0a b ==； (2)由(1)得,当1x <时,()32f x x x =-+,令()2'320f x x x =-+=可得0x =或23x =,故函数在()1,0-和2,13⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减,在20,3⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增. ∴1x <时,()f x 的最大值为()()2max 1,123f f f ⎧⎫⎛⎫-=-=⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭；当12x ≤≤时,()ln f x c x =.当0c ≤时,ln 0c x ≤恒成立, ()02f x ≤<,此时()f x 在[]1,2-上的最大值为()12f -=； 当0c >时,()f x 在[]1,2-上单调递增,且()2ln 2f c = 令ln 22c =,则2ln 2c =, ∴当2ln 2c >时,()f x 在[]1,2-上的最大值为()2ln 2f c =； 当02ln 2c <≤时, ()f x 在[]1,2-上的最大值为()12f -= 综上,当2ln 2c ≤时, ()f x 在[]1,2-上的最大值为2,当2ln 2c >时, ()f x 在[]1,2-上的最大值为ln 2c .【点睛】本题主要考查了导数的几何意义求解参数的问题,同时也考查了分类讨论分析函数的最值问题等.属于中档题.20.在正项等比数列{}n a 中，已知133510,40a a a a +=+=. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令2log n n b a =，求数列{}2(1)n n b -的前100项的和100S . 【答案】（1）2nn a =；（2）5050.【解析】 【分析】（1）根据题意，求得首项1a 和公比q ，即可得到数列{}n a 的通项公式；（2）由（1）求得2log n n b a n ==，写出数列{}2(1)n n b -的前100项的和，即可求解.【详解】（1）设公比为q ，则由题意可知21221(1)10(1)40a q a q q ⎧+=⎨+=⎩ 又0q >，解得122a q =⎧⎨=⎩，所以112n nn a a q -==.（2）由（1）可得22log log 2nn n b a n ===，则数列{}2(1)n nb -的前100项的和()()()222222222222100123499100123499100S b b b b b b =-+-+--+=-++-+-+-+3711195199=++++50(3199)50502+==.【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式的求解，以及数列的分组求和的应用，其中解答中熟记等比数列的基本量的运算，以及合理分组求和是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.21.已知函数()2(ln )x e f x x x x=--，向量(),e xx =a ，(sin ,cos )x x =-b ，函数()g x a b =⋅. （1）求()f x 的极值；（2）判断()g x 在区间,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭内的零点个数.【答案】(1) ()f x 的极小值为2e -,无极大值；(2) ()g x 在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭内有一个零点【解析】 【分析】(1)利用导数研究函数()f x 的单调性,由此可求得()f x 的极值.(2)求出()g x 的解析式,利用导数判断函数()g x 在区间,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭的单调性,结合零点存在性定理即可判断出函数()g x 在区间,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭的零点个数.【详解】(1)函数()2(ln )xe f x x x x=--的定义域为()0,∞+,()()()()222211212'()2x xx x e x x e x x xe e f x x x x x x -----=-+=-=,令()()20xx e x x ϕ=->,则()'2xx e ϕ=-,令()'2ln 2xx e x ϕ=-⇒=,令()'0x ϕ>得ln 2x >,令()'0x ϕ<有0ln 2x <<,所以函数()y x ϕ=在()0,ln 2上单调递减,在()ln 2,+∞上单调递增. 所以()()ln 222ln 20x ϕϕ≥=->.故当()'0f x >时解得1x >,当()'0f x <时解得01x <<, 所以,函数()y f x =()0,1上单调递减,在()1,+∞上单调递增.故()y f x =的极小值为()12f e =-,无极大值. (2) ()sin cos x g x a b x x e x =⋅=-+,故()()'()sin cos cos sin cos 1sin xxxxg x x x x e x e x e x x e x =--+-=--+, 当,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时,0x e x ->, 10x e +>,所以()cos 0x e x x ->,()1sin 0xe x +<,故'()0g x >,所以函数()g x 在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增,又因为()010,022g g ππ⎛⎫=>-=-< ⎪⎝⎭,故()g x 在,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭内有一个零点. 【点睛】本题主要考查了利用导数求解函数的单调性与极值的问题.同时也考查了利用导数与三角函数的性质以及零点存在性定理判断函数的零点个数问题.属于难题.22.已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的右焦点为F ，过点20,9P ⎛⎫- ⎪⎝⎭的直线l 与E 交于A ，B 两点.当l 过点F 时，直线l 的斜率为29，当l 的斜率不存在时，4AB =. （1）求椭圆E 的方程.（2）以AB 为直径的圆是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由.【答案】（1）22154x y +=.（2）以AB 为直径的圆恒过定点()0,2.【解析】 【分析】（1）根据直线的斜率公式求得c 的值，由24b =，即可求得a 的值，求得椭圆方程； （2）当直线的斜率存在，设直线AB 的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及以AB 直径的圆的方程，令0x =，即可求得2y =，即可判断以AB 为直径的圆过定点(0,2)．【详解】（1）设椭圆半焦距为c ，由题意202909AF k c ⎛⎫-- ⎪⎝⎭==-，所以1c =. l 的斜率不存在时，24AB b ==，所以2b =，a =所以椭圆E 的方程为22154x y +=. （2）以AB 为直径的圆过定点()0,2Q .理由如下：当直线l 的斜率存在时，设l 的方程29y kx =-，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ， 联立方程组2229154y kx x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去y ， 整理得22201600(45)0981k k x x +--=， 所以122209(45)k x x k +=+，122160081(45)x x k =-+， 所以12122416()99(45)y y k x x k +=+-=-+，22121212224161620()98181(45)k k y y k x x x x k -=-++=+， 以AB 为直径的圆的方程：1212()()()()0--+--=x x x x y y y y ，即2212121212()()0x x x x x x y y y y y y -+++-++=，令0x =，则2222164(4544)09(45)9(45)y k y k k ++-=++， 解得2y =或222(4544)9(45)k y k +=-+， 所以AB 为直径的圆过定点(0,2)．当直线l 斜率不存在时，()0,2A ，()0,2B -，此时以AB 为直径的圆的方程为224x y +=.显然过点(0,2)．综上可知，以AB 为直径的圆过定点(0,2)．【点睛】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理及圆的标准方程，考查转化思想，分类讨论思想，考查计算能力，属于中档题．。