V
ij

1 2 1 2 1 2
V

V
ij d V
s (
i0
x n
j

1 2
s (u

0 j

x
in ni
j

) ds
u
jn i
V [ (
i0
x
),
j (
0 j

x
), i
] dV
V
(
i0
0 i
dV
x
,j
V
0
3D knitted composites for bicycle helmets
(a) cylinder and flange; (b) egg crate structures; (c) turbine rotors woven by Techniweave Inc.;
and (d) various
利用散度定理可以证明复合材 料的应变能和余能分别是
ij eij i*j
第二章 复合材料有效性能
第一节 Eshelby等效夹杂理论
1957年Eshelby在英国皇家学会会刊 发表了关于无限大体内含有椭球夹杂弹性 场问题的文章，证明了在均匀外载作用时， 椭球夹杂内部弹性场亦均匀。（椭圆积分 形式）
复合材料性能和损伤破坏规律取决于
组分材料性能 微细观结构特征
u
i
(
s
)


0 ij
x
j
Ti
(
s
)


0 ij
n
j
复合材料结构设计
复合材料本身是非均质、各向异性材料， 因此复合材料力学在经典非均匀各向异性 弹性力学基础上迅速发展。复合材料不仅 是材料，更确切的说是结构
以纤维增强的层合板结构为例，复合材料 设计可分为三个阶段：
2.1Eshelby相变问题
将应变分解为两部分
ijCijk(l k lk*)l
扰动应变 本征应变
根据虎克定律，弹性体应力场
ij , j 0
将上式代入平衡方程
C C * ijklk,lj ijklk,lj
ui VCmjklk*,ljGim(x,x')dV (x') VCmjklk*G l im,j(x,x')dV (x')
追溯到19世纪爱因斯坦关于两种不同介电性能的电介 质组成的复合电介质等效介电常数预报问题。
50年代----70年代 80年代快速发展 90年代不可缺少
参考教程
杜善义、王彪 《复合材料细观力学》科学出版社 2019 Mura T. Micromechanics of defects
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按纤维种类分类
玻璃纤维复合材料 碳纤维复合材料 有机纤维复合材料 金属纤维复合材料（钨丝、不锈钢丝） 陶瓷纤维复合材料（硼纤维、碳化硅纤维） 混杂纤维复合材料（两种以上纤维）
按基体材料分类
聚合物基复合材料（热固性、热塑性树脂） 金属基复合材料（铝、钛、镁） 无机非金属基复合材料（陶瓷、水泥） 碳碳复合材料
分布体力问题
利用格林函数方法和高斯定理：
Gim(x, x')
ij 12(ui,j uj,i) 格林函数，表示在x’处沿方向作用 单位集中力，点x处产生的位移i分量
i
0 j

x , i ) dV
) ds
证明
n
Ci*jklk0lf0i0j frirj
r1
n
n
Ci0jklk0l fr(Cirjkl Ci0jk)lkrl f0 fr1
r1
r1
n
S* i j kl
0 kl

f0
0 ij

fr
r ij
成熟的细观力学方法
Eshelby 等效夹杂理论 自洽理论（自相似理论） Mori-Tanaka方法（背应力法） 微分法 Hashin 变分原理求解上下限方法 其他方法
复合材料有效弹性模量定义
两类均匀边界条件
ijCi*jkl ijSi*jkkll
在均匀边条作用下，除边界点附近可能有扰动存在， 统计均匀复合材料应力场和应变场也是统计均匀的。 即，代表性体积单元内场量=复合材料体积平均值
按材料作用分类
结构复合材料 （卫星承力筒） 功能复合材料 （导电、换能、防热）
复合材料的基本特点 共同特点：
可综合发挥各种组成材料优点，使一种材料 具有多种功能
可按对材料性能需要进行材料的设计和制造 可制成所需要任意形状产品，避免多次加工
工序
一般优点：
比强度、比刚度、轻质、耐疲劳、减震性好、 抗冲击、耐高温、耐腐蚀等等
r1
n

S0 i j kl
0 kl

fr (Sirjkl Si0jkl)
r kl
r1
式中上标0代表复合材料基体相，r代表复合材料第r类增强相
U1
2
VijijdV
12Ci*jkl i0jk0ldV
Uc

1 2
VijijdV
12Si*jkl i0jk0ldV
复合材料细观力学(1)
第一章 绪 论
定义：根据国际标准化组织为复合材 料所下的定义，复合材料是由两种或 两种以上物理和化学性质不同的物质 组成的一种多相固体材料。
连续体：基体 分散体：增强材料 两相之间存在界面相
复合材料的分类 按增强相材料形态分类
连续纤维复合材料 短纤维复合材料 晶须增择增强材料、基体材 料、配比关系
2、铺层设计 铺层方案 3、结构设计 产品结构的形状、尺寸、使
用环境
分析角度
复合材料具有非均匀性和各向异性 特点，这种差别属于物理方面
弹性模量、拉压强度、剪切强度、 热膨胀系数等
复合材料细观力学的核心任务
建立复合材料宏观性能同其组分性能及其细观结构之 间的定量关系，并揭示复合材料结构在一定工况下的 响应规律及其本质，为复合材料优化设计、性能评价 提供必要的理论依据及手段。
in solids. 1987 杨卫 《宏微观断裂力学》国防工业出版社 2019 基础教程 《弹性力学》、《复合材料力学》
复合材料有效性能
有效弹性模量的影响因素
组分材料的弹性常数
基体 -各向同性 纤维 -横观各向同性
微结构特征
夹杂形状（纤维、颗粒、晶须、孔洞、裂纹） 几何尺寸、分布 体积含量 等等