习题1.1解答1. 将一枚均匀的硬币抛两次，事件C B A ,,分别表示“第一次出现正面”，“两次出现同一面”，“至少有一次出现正面”。

试写出样本空间及事件C B A ,,中的样本点。

解：{=Ω(正，正)，（正，反），（反，正），（反，反）}{=A (正，正)，（正，反）}；{=B （正，正），（反，反）}{=C (正，正)，（正，反），（反，正）}2. 在掷两颗骰子的试验中，事件D C B A ,,,分别表示“点数之和为偶数”，“点数之和小于5”，“点数相等”，“至少有一颗骰子的点数为3”。

试写出样本空间及事件D C B A BC C A B A AB ---+,,,,中的样本点。

解：{})6,6(,),2,6(),1,6(,),6,2(,),2,2(),1,2(),6,1(,),2,1(),1,1( =Ω； {})1,3(),2,2(),3,1(),1,1(=AB ；{})1,2(),2,1(),6,6(),4,6(),2,6(,),5,1(),3,1(),1,1( =+B A ；Φ=C A ；{})2,2(),1,1(=BC ；{})4,6(),2,6(),1,5(),6,4(),2,4(),6,2(),4,2(),5,1(=---D C B A3. 以C B A ,,分别表示某城市居民订阅日报、晚报和体育报。

试用C B A ,,表示以下事件：（1）只订阅日报； （2）只订日报和晚报；（3）只订一种报； （4）正好订两种报；（5）至少订阅一种报； （6）不订阅任何报；（7）至多订阅一种报； （8）三种报纸都订阅；（9）三种报纸不全订阅。

解：（1）C B A ； （2）C AB ；（3）C B A C B A C B A ++； （4）BC A C B A C AB ++;（5）C B A ++； （6）C B A ； （7）C B A C B A C B A C B A +++或C B C A B A ++（8）ABC ； （9）C B A ++ 4. 甲、乙、丙三人各射击一次，事件321,,A A A 分别表示甲、乙、丙射中。

试说明下列事件所表示的结果：2A , 32A A +, 21A A , 21A A +, 321A A A ,313221A A A A A A ++.解：甲未击中；乙和丙至少一人击中；甲和乙至多有一人击中或甲和乙至少有一人未击中；甲和乙都未击中；甲和乙击中而丙未击中；甲、乙、丙三人至少有两人击中。

5. 设事件C B A ,,满足Φ≠ABC ，试把下列事件表示为一些互不相容的事件的和：C B A ++，C AB +，AC B -.解：如图：6. 若事件C B A ,,满足C B C A +=+，试问B A =是否成立？举例说明。

解：不一定成立。

例如：{}5,4,3=A ，{}3=B ，{}5,4=C ，那么，C B C A +=+，但B A ≠。

7. 对于事件C B A ,,，试问C B A C B A +-=--)()(是否成立？举例说明。

解：不一定成立。

例如：{}5,4,3=A ，{}6,5,4=B ，{}7,6=C ，那么{}3)(=--C B A ，但是{}7,6,3)(=+-C B A 。

8. 设31)(=A P ，21)(=B P ，试就以下三种情况分别求)(A B P ： （1）Φ=AB ， （2）B A ⊂， （3）81)(=AB P . 解： （1）21)()()()(=-=-=AB P B P AB B P A B P ； （2）61)()()()(=-=-=A P B P A B P A B P ； （3）838121)()()()(=-=-=-=AB P B P AB B P A B P 。

9. 已知41)()()(===C P B P A P ，161)()(==BC P AC P ，0)(=AB P 求事件C B A ,,全不发生的概率。

解：())(1)(C B A P C B A P C B A P ++-=++==[])()()()()()()(1ABC P BC P AC P AB P C P B P A P +---++-83016116104141411=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+---++-= 10. 每个路口有红、绿、黄三色指示灯，假设各色灯的开闭是等可能的。

一个人骑车经过三个路口，试求下列事件的概率：=A “三个都是红灯”=“全红”； =B “全绿”； =C“全黄”； =D “无红”； =E “无绿”； =F “三次颜色相同”； =G “颜色全不相同”； =H “颜色不全相同”。

解：271333111)()()(=⨯⨯⨯⨯===C P B P A P ；278333222)()(=⨯⨯⨯⨯==E P D P ； 91271271271)(=++=F P ；92333!3)(=⨯⨯=G P ； 98911)(1)(=-=-=F P H P . 11. 设一批产品共100件，其中98件正品，2件次品，从中任意抽取3件（分三种情况：一次拿3件；每次拿1件，取后放回拿3次；每次拿1件，取后不放回拿3次），试求：（1） 取出的3件中恰有1件是次品的概率；（2） 取出的3件中至少有1件是次品的概率。

解：一次拿3件：（1）0588.0310012298==C C C P ； （2）0594.031001982229812=+=C C C C C P ； 每次拿一件，取后放回，拿3次：（1）0576.0310098232=⨯⨯=P ； （2）0588.010098133=-=P ； 每次拿一件，取后不放回，拿3次：（1）0588.03989910097982=⨯⨯⨯⨯⨯=P ； （2）0594.098991009697981=⨯⨯⨯⨯-=P 12. 从9,,2,1,0 中任意选出3个不同的数字，试求下列事件的概率：{}501与三个数字中不含=A ，{}502或三个数字中不含=A 。

解：157)(310381==C C A P ； 15142)(31038392=-=C C C A P 或15141)(310182=-=C C A P 13. 从9,,2,1,0 中任意选出4个不同的数字，计算它们能组成一个4位偶数的概率。

解：9041454102839=-=P P P P 14. 一个宿舍中住有6位同学，计算下列事件的概率：（1）6人中至少有1人生日在10月份；（2）6人中恰有4人生日在10月份；（3）6人中恰有4人生日在同一月份；解：（1）41.01211166=-= P ； （2）00061.012116246=⨯= C P ； （3）0073.012116246112== C C P 15. 从一副扑克牌（52张）任取3张（不重复），计算取出的3张牌中至少有2张花色相同的概率。

解：602.03521392131431314=+= C C C C C C P 或602.0135211311311334=-= C C C C C P 习题1.2解答1. 假设一批产品中一、二、三等品各占60%，30%、10%，从中任取一件，结果不是三等品，求取到的是一等品的概率。

解：令=i A “取到的是i 等品”，3,2,1=i329.06.0)()()()()(3133131====A P A P A P A A P A A P 。

2. 设10件产品中有4件不合格品，从中任取2件，已知所取2件产品中有1件不合格品，求另一件也是不合格品的概率。

解：令=A “两件中至少有一件不合格”，=B “两件都不合格”511)(1)()()()|(2102621024=-=-==C C C C A P B P A P AB P A B P 3. 为了防止意外，在矿内同时装有两种报警系统I 和II 。

两种报警系统单独使用时，系统I 和II 有效的概率分别0.92和0.93，在系统I 失灵的条件下，系统II 仍有效的概率为0.85，求（1） 两种报警系统I 和II 都有效的概率；（2） 系统II 失灵而系统I 有效的概率；（3） 在系统II 失灵的条件下，系统I 仍有效的概率。

解：令=A “系统（Ⅰ）有效” ，=B “系统（Ⅱ）有效” 则85.0)|(,93.0)(,92.0)(===A B P B P A P（1）)()()()(B A P B P B A B P AB P -=-= 862.085.0)92.01(93.0)|()()(=⨯--=-=A B P A P B P（2）058.0862.092.0)()()()(=-=-=-=AB P A P AB A P A B P（3）8286.093.01058.0)()()|(=-== B P B A P B A P 4. 设1)(0<<A P ，证明事件A 与B 独立的充要条件是证：⇒：A 与B 独立，A ∴与B 也独立。

)()|(),()|(B P A B P B P A B P ==∴ )|()|(A B P A B P =∴⇐： 1)(01)(0<<∴<<A P A P又)()()|(,)()()|(A P B A P A B P A P AB P A B P ==而由题设)()()()()|()|(A P B A P A P AB P A B P A B P =∴= 即)]()()[()()](1[AB P B P A P AB P A P -=-)()()(B P A P AB P =∴，故A 与B 独立。

5. 设事件A 与B 相互独立，两个事件只有A 发生的概率与只有B 发生的概率都是41，求)(A P 和)(B P . 解：41)()(==B A P B A P ，又 A 与B 独立 ∴41)()](1[)()()(=-==B P A P B P A P B A P 41)](1)[()()()(=-==B P A P B P A P B A P 41)()(),()(2=-=∴A P A P B P A P 即21)()(==B P A P 。

6. 证明 若)(A P >0，)(B P >0，则有（1） 当A 与B 独立时，A 与B 相容；（2） 当A 与B 不相容时，A 与B 不独立。

证明：0)(,0)(>>B P A P（1）因为A 与B 独立，所以0)()()(>=B P A P AB P ，A 与B 相容。

（2）因为0)(=AB P ，而0)()(>B P A P ，)()()(B P A P AB P ≠∴，A 与B 不独立。

7. 已知事件C B A ,,相互独立，求证B A 与C 也独立。