数字信号处理
习题解答
第1章 时域离散信号与时域离散系统
2． 给定信号：
2n+5
－4≤n≤－1
x(n)= 6
0≤n≤4
0
其它
(1) 画出x(n)序列的波形， 标上各序列值；
(2) 试用延迟的单位脉冲序列及其加权和表示x(n)序列；
（3） 令x1(n)=2x(n－2)， 试画出x1(n)波形； （4） 令x2(n)=2x(n+2)， 试画出x2(n)波形； （5） 令x3(n)=x(2－n)， 试画出x3(n)波形。
bT［x2(n)］=bx2(n)+2bx2(n－1)+3bx2(n－2)
T［ax1(n)+bx2(n)］=aT［x1(n)］+bT［x2(n)］ 故该系统是线性系统。
第1章 时域离散信号与时域离散系统
6． 给定下述系统的差分方程， 试判定系统是否是因果稳定系统， 并 说明理由。
（2） y(n)=x(n)+x(n+1) 解： 该系统是非因果系统， 因为n时间的输出还和n时间以后（（n+1） 时间）的输入有关。如果|x(n)|≤M, 则|y(n)|≤|x(n)|+|x(n+1)|≤2M, 因此 系统是稳定系统。
（2） 写出 xˆa (t) 和x(n)的表达式；
（3） 分别求出 xˆa (t) 的傅里叶变换和x(n)序列的傅里叶变换。
解:(1)X a ( j)

xa (t)ejtdt


2
c
os(0t
)e

jt
dt
[e j0t e j0t ]e jtdt
（1） （2） 如果输入信号波形如题14图所示，试求出y(n)并画出它的波形。 解： （1） 将题中差分方程中的x(n)用δ(n)代替， 得到该滤波器的单位脉 冲响应， 即
第1章 时域离散信号与时域离散系统
h(n) 1[ (n) δ(n 1) δ(n 2) δ(n 3) δ(n 4)]
1 xe (n) 2 (x(n) x(n))
第2章 时域离散信号和系统的频域分析
按照上式画出xe(n)的波形如题5解图所示。
题15解图
6． 试求如下序列的傅里叶变换：
x2
(n)

1 2
δ(n
1)

δ(n)

1 2
δ(n
1)
第2章 时域离散信号和系统的频域分析
解：(2)
X 2 (e j )
应相乘， 再相加和平均， 得到相应的y(n)。 “滑动
平均”清楚地表明了这种计算过程。 最后得到的输
出波形如前面图1.3.2所示。 该图清楚地说明滑动平
均滤波器可以消除信号中的快速变化， 使波形变化 缓慢。
题14图
第1章 时域离散信号与时域离散系统
第2章 时域离散信号和系统的频域分析
5. 设题5图所示的序列x(n)的FT用X(ejω)表示， 不直接求出X(ejω)， 完成下列运算或工作：
解： (1) x(n)序列的波形如题2解图（一）所示。 (2) x(n)=－3δ(n+4)－δ(n+3)+δ(n+2)+3δ(n+1)+6δ(n) +6δ(n－1)+6δ(n－2)+6δ(n－3)+6δ(n－4)
第1章 时域离散信号与时域离散系统
（3） x1(n)的波形是x(n)的波形右移2位，再乘以2， 画出图形如题2解图 （二）所示。
xo
(n)

1 2
(R4
(n)

R4
(n))
第2章 时域离散信号和系统的频域分析
xe(n)和xo(n)的波形如题8解图所示。
题8解图
第2章 时域离散信号和系统ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ频域分析
13． 已知xa(t)=2 cos(2πf0t)， 式中f0=100 Hz， 以采样频率fs=400 Hz对xa(t)进行
采样， 得到采样信号 xˆa (t和) 时域离散信号x(n)， 试完成下面各题： （1） 写出 xa (t) 的傅里叶变换表示式Xa(jΩ)；
第1章 时域离散信号与时域离散系统
8. 设线性时不变系统的单位脉冲响应h(n)和输入x(n)分别有以下三种情况， 分别求出输出y(n)。
（1） h(n)=R4(n), x(n)=R5(n) （2） h(n)=2R4(n), x(n)=δ(n)－δ(n－2) （3） h(n)=0.5nu(n), xn=R5(n)
题2解图（三）
题2解图（四）
3． 判断下面的序列是否是周期的; 若是周期的， 确定其周期。
(1) x(n) Acos 3 πn A是常数
7 8
3
解： （1） 因为ω= 期序列， 周期T=14
7π, 所以
2π
14 3
,
这是有理数，
因此是周
第1章 时域离散信号与时域离散系统
y(n)

n
0.5n 0.5m
m0

1 0.5n1 1 0.51
=－(1－0.5－n－1)0.5n=2－0.5n
第1章 时域离散信号与时域离散系统
③ n≥5时
y(n)

4
0.5n 0.5m
m0

1 0.55 1 0.51
0.5n

31 0.5n
最后写成统一表达式：
(4) x2(n)的波形是x(n)的波形左移2位，再乘以2， 画出图形如题2解图 （三）所示。
(5) 画x3(n)时， 先画x(－n)的波形(即将x(n)的波形以纵轴为中心翻转 180°)， 然后再右移2位， x3(n)波形如题2解图（四）所示。
题2解图（一）
题2解图（二）
第1章 时域离散信号与时域离散系统
y(n)的波形如题8解图（2）所示
题8解图（2）
第1章 时域离散信号与时域离散系统
(3) y(n)=x(n)*h(n)

=
R5(m)0.5n－mu(n－m)
m

=0.5n R5(m)0.5－mu(n－m)
m
y（n）对于m 的非零区间为
0≤m≤4, m≤n
① n<0时， y(n)=0 ② 0≤n≤4时，
5
（2） 已知输入信号， 用卷积法求输出。 输出信号y(n)为 y(n) x(k)h(n k) k
表1.4.1表示了用列表法解卷积的过程。 计算时， 表
中x(k)不动， h(k)反转后变成h(－k)， h(n－k)则随着n
的加大向右滑动， 每滑动一次， 将h(n－k)和x(k)对
n
1=n+1
m0
3
1=8－n
mn4
④ n>7时， y(n)=0
题8解图（1）
最后结果为 0 n<0或n>7
y(n)= n+1 0≤n≤3 8－n 4≤n≤7
y(n)的波形如题8解图（1）所示。 (2) y(n) =2R4(n)*［δ(n)－δ(n－2)］=2R4(n)－2R4(n－2) = 2［δ(n)+δ(n－1)－δ(n+4)－δ(n+5)
上式中指数函数的傅里叶变换不存在，引入奇异函数δ函数，它的傅里叶变
换可以表示成：
X a ( j ) 2π[δ( 0 ) δ( 0 )]
第2章 时域离散信号和系统的频域分析
（2）


xˆa (t) xa (t)δ(t nT ) 2cos(0nT )δ(t nT )
n
n
（3） x(n)的数字频率ω=0.8π， 故 2π 5， 因而周期N=5， 所以 2
x(n)=cos(0.8πn+π/2)
画出其波形如题13解图所示。
第1章 时域离散信号与时域离散系统
题13解图
14. 已知滑动平均滤波器的差分方程为
y(n) 1 (x(n) x(n 1) x(n 2) x(n 3) x(n 4)) 5
=y′(n)
故该系统是非时变系统
第1章 时域离散信号与时域离散系统
因为
y(n)=T［ax1(n)+bx2(n)
=ax1(n)+bx2(n)+2［ax1(n－1)+bx2(n－1)］+3［ax1(n－2)+bx2(n－2)］
a T［x1(n)］=ax1(n)+2ax1(n－1)+3ax1(n－2)
所以
式中 s 2πfs 800π rad/s
第2章 时域离散信号和系统的频域分析



X (e j ) x(n)e jn 2 cos(0nT )e jn 2 cos(0n)e jn
n
n
n

[e j0n e j0n ]e jn

解： （1） y(n)=x(n)*h(n)= R4(m)R5(n－m) m
先确定求和域。 由R4(m)和R5(n－m)确定y（n）对于m的非零区间如下: 0≤m≤3 n－4≤m≤n
根据非零区间， 将n分成四种情况求解：
第1章 时域离散信号与时域离散系统
① n<0时， y(n)=0
② 0≤n≤3时， y(n)= ③ 4≤n≤7时， y(n)=


x2 (n)e jn
n

1 2
e j
1
1 e j 2
1 1 (e j e j ) 1 cos
2
8． 设x(n)=R4(n)， 试求x(n)的共轭对称序列xe(n)和共轭反对称序列xo(n)，