随机变量的分布函数 分布函数的性质 (1) 单调非减 若 x1 < x2 , 则 F ( x1 ) ≤ F ( x2 ); 单调非减. (2) F ( −∞ ) = lim F ( x ) = 0, F ( +∞ ) = lim F ( x ) = 1;
x → −∞ x → +∞
(3) 右连续性 即 lim F ( x ) = F ( x0 ). 右连续性. +
F(x) = ∑ p
i
3、分布函数、分布列与事件概率的关系
P{ X ≤ a} = F ( a ) =
xi ≤ a
∑
pi
P{ X > a} = 1 − P ( X ≤ a )
P{a < X ≤ b} = F (b) − F (a) =
a< xi ≤b
∑p
i
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例6．X的概率分布是：
F(x) = P{X ≤ x} =
x → x0
若一个函数具有上述性质， 若一个函数具有上述性质， 则它一定 另一方面， 另一方面， 是某个随机变量的分布函数. 是某个随机变量的分布函数
完
上投点, 例1 等可能地在数轴上的有界区间 [a , b]上投点, 为落点的位置(数轴上的坐标 数轴上的坐标), 记 X 为落点的位置 数轴上的坐标 , 求随机变量 的分布函数. X 的分布函数. 解 当 x < a 时, { X ≤ x } 是不可能事件, 于是, 是不可能事件, 于是, F ( x ) = P{ X ≤ x } = 0. 当 a ≤ x ≤ b 时, 由于 { X ≤ x } = {a ≤ X ≤ x }, 且 [a , x ] ⊂ [a , b], 由几何概率得知, 由几何概率得知,
≤ x } = 0, ≤ x } = 1 / n, ≤ x } = 2 / n, ≤ x } = k / n, ≤ x} = 1
具有离散均匀分布, 例4 X 具有离散均匀分布, 即 的分布函数. 求 X 的分布函数.
P { X = x i } = 1 / n,
i = 1,2,⋯, n,
解 将 X 所取的 n 个值按从小到大的顺序排列为
------
X p
0 0 .6
1 0 .4
则其分布函数
解：当
x<0
x ≥1
F ( x ) = P{ X ≤ x} = 0 F ( x) = P{X ≤ x} = 0.6
0 ≤ x <1
F ( x ) = P{ X ≤ x} = 1
x < 0 0 ≤ x < 1 x ≥ 1
分布函数为
0 F ( x ) = 0 .6 1
F ( −∞ ) = x→−∞ F ( x ) = 0, F ( +∞ ) = x→+∞ F ( x ) = 1, lim lim
F ( −∞ ) = x→−∞ F ( x ) = 0, F ( +∞ ) = x→+∞ F ( x ) = 1, lim lim
的分布函数. 所以 F ( x ) 是某一随机变量 X 的分布函数. 完
随机变量的分布函数 是一个随机变量， 定义 设 X 是一个随机变量，称
F ( x ) = P { X ≤ x } ( −∞ < x < +∞ ) (*)
为 X 的分布函数，有时记作 X ~ F ( x ) 或 的分布函数，
FX ( x ).
看作数轴上随机点的坐标， 注： 1. 若将 X 看作数轴上随机点的坐标， 则分布函数 F ( x ) 的值就表示 X 落在区间 的概率； ( −∞ , x ] 的概率； 2. 对任意实数 x1 , x2 ( x1 < x2 ), 随机点落在 区间 ( x1 , x2 ]的概率
F (x )
p3 p2 p1
...
( i = 1,2,⋯) 有跳跃， 有跳跃，
跳跃度恰为随机变量
O
x1 x2
x 在 x = xi 点处的概率 X pi = P{ X = xi }. 反之， 反之， 若一个随机变量 X 和分布函
x3
...
数为阶梯函数，则 X 一定是一个离散型随机变量， 一定是一个离散型随机变量， 其概率分布亦由 分布亦由 F ( x ) 唯一确定 唯一确定. 完
O
1 2
1
2
x
P{ X = 0}, P{ X = 1}, P{ X = 2}.
完
具有离散均匀分布, 例4 X 具有离散均匀分布, 即 的分布函数. 求 X 的分布函数.
P { X = x i } = 1 / n,
i = 1,2,⋯, n,
解 将 X 所取的 n 个值按从小到大的顺序排列为
x( 1 ) ≤ x( 2 ) ≤ ⋯ ≤ x( n ) x < x( 1 ) 时 , F ( x ) = P { X 则 x( 1 ) ≤ x < x( 2 ) 时 , F ( x ) = P { X x( 2 ) ≤ x < x( 3 ) 时 , F ( x ) = P { X ⋯⋯ x( k ) ≤ x < x( k +1 ) 时 , F ( x ) = P { X x ≥ x(n ) 时, F ( x ) = P{ X
例3 设随机变量 X 的分布律为
X
求 F ( x ).
0
1
2
pi
1/ 3 1/ 6 1/ 2
,
解 F ( x ) = P{ X ≤ x } 当 x < 0 时, { X ≤ x } = ∅ , 故 F ( x ) = 0 当 0 ≤ x < 1 时, F ( x ) = P { X ≤ x } = P { X = 0} = 1 3 当 1 ≤ x < 2 时,
P { X ≤ 0} = 0 . 6 = F ( 0 ) P { X ≤ 1} = 1 = F (1) P {0 < X ≤ 1} = 0 . 4 = F (1) − F ( 0 )
18
例7若X的概率分布如下，分别求其分布函数
X P 0 1/3 1 2/3
F (x) = 0 1 3 1 x < 0 0 ≤ x < 1 x ≥ 1
F ( x ) = P { X = 0} + P { X = 1} = 1 + 1 = 1 3 6 2 当 x ≥ 2 时, F ( x ) = P { X = 0} + P { X = 1} + P { X = 2} = 1 x<0 0, 1 / 3, 0 ≤ x < 1 故 F ( x) = , 1 / 2, 1 ≤ x < 2 1, x≥2
x( 1 ) ≤ x( 2 ) ≤ ⋯ ≤ x( n )
0, k / n, 故 F ( x) = 1,
当x < min( x1 ,⋯, x n )
当x ≥ min( x1 ,⋯, x n ), 且 x j ( j =
1, 2,⋯, n) 中恰有 k 个不大于 x
当x < max( x1 ,⋯, x n )
完
例5 设随机变量 X 的分布函数为
x <1 0, 9 / 19, 1 ≤ x < 2 F ( x) = , 15 / 19, 2 ≤ x < 3 1, x≥3
的概率分布. 求 X 的概率分布. 是一个阶梯型函数, 解 由于 F ( x ) 是一个阶梯型函数, 故知 X 是一 个离散型随机变量, F ( x ) 的跳跃点分别为 1, 2, 3, 个离散型随机变量, 对应的跳跃高度分别为 9/19, 6/19, 4/19, , , ,
F ( x ) = P { X ≤ x } = P {a ≤ X ≤ x } = x − a . b−a 当 x ≥ b 时, 由于 { X ≤ x } = {a ≤ X ≤ b}, 于是
上投点, 例1 等可能地在数轴上的有界区间 [a , b]上投点, 为落点的位置(数轴上的坐标 数轴上的坐标), 记 X 为落点的位置 数轴上的坐标 , 求随机变量 的分布函数. X 的分布函数. x −a. 解 F ( x ) = 0. F ( x ) = b−a 当 x ≥ b 时, 由于 { X ≤ x } = {a ≤ X ≤ b}, 于是 F ( x ) = P { X ≤ x } = P { a ≤ X ≤ b } = b − a = 1. b−a 综上可得 X 的分布函数为 x<a 0, x − a F ( x) = , a ≤ x < b. b−a 1, x≥b 完
⋯⋯ 当 xn−1 ≤ x < xn 时，F ( x ) = p1 + p2 + ⋯ + pn−1 ,⋯⋯
离散型随机变量的分布函数 当 xn−1 ≤ x < xn 时，F ( x ) = p1 + p2 + ⋯ + pn−1 ,⋯⋯ 如图， 如图， ( x ) 是一个阶 F 它在 x = xi 梯函数， 梯函数，
解
x<0 0, 1 / 3, 0 ≤ x < 1 F ( x) = , 1 / 2, 1 ≤ x < 2 x≥2 1,
F ( x)
1 1/3 1/6 1/6

F ( x ) 的图形是阶
梯状的图形, 梯状的图形, 在 跃, 其跃度分别 等于
x = 0, 1, 2 处有跳 1/2
离散型随机变量的分布函数 设离散型随机变量的概率分布为
X pi
x1 p1
x2 p2
⋯ ⋯

xn pn
⋯ ⋯
则 X 的分布函数为
∑ F ( x ) = P{ X ≤ x } = ∑ P{ X = xi } = x ≤ x pi
xi ≤ x