【解析】
【分析】
设出原数，表示出新数，利用解方程和函数性质即可求解．
【详解】
解：设原数为m，则新数为 ，
设新数与原数的差为y
则 ，
易得，当m＝0时，y＝0，则A错误
∵
当 时，y有最大值．则B错误，D正确．
当y＝21时， ＝21
解得 ＝30， ＝70，则C错误．
故答案选：D．
【点睛】
本题以规律探究为背景，综合考查二次函数性质和解一元二次方程，解题时要注意将数字规律转化为数学符号．
8．定义[a，b，c]为函数y=ax2+bx+c的特征数，下面给出特征数为[2m，1-m，-1-m]的函数的一些结论，其中不正确的是（）
A．当m=-3时，函数图象的顶点坐标是（ ， ）
B．当m>0时，函数图象截x轴所得的线段长度大于
C．当m≠0时，函数图象经过同一个点
D．当m<0时，函数在x> 时，y随x的增大而减小
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
分三种情况求出y与t的函数关系式.当0≤t≤2.5时：P点由B到A；当2.5≤t≤4时，即P点在AD上时；当4≤t≤6时，即P点从D到C时.即可得出正确选项．
【详解】
解：作AE⊥BC于E，根据已知可得，
AB2=42+（6-3）2，
解得，AB=5cm．
下面分三种情况讨论:
当0≤t≤2.5时：P点由B到A， ,y是t的二次函数.最大面积= 5 cm2;
当2.5≤t≤4时，即P点在AD上时， , y是t的一次函数且最大值= ;
当4≤t≤6时，即P点从D到C时， y是t的二次函数
故符合y与t的函数图象是B．
故选：B．
【点睛】
此题考查了函数在几何图形中的运用.解答本题的关键在于分类讨论求出函数解析式，然后进行判断.
3．对于二次函数 ，下列说法正确的个数是（ ）
①对于任何满足条件的 ，该二次函数的图象都经过点 和 两点；
②若该函数图象的对称轴为直线 ，则必有 ；
③当 时， 随 的增大而增大；
④若 ， 是函数图象上的两点，如果 总成立，则 ．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【解析】
【分析】
根据二次函数的图象与性质（对称性、增减性）逐个判断即可．
详解：
因为函数y=ax2+bx+c的特征数为[2m，1﹣m，﹣1﹣m]；
A、当m=﹣3时，y=﹣6x2+4x+2=﹣6（x﹣ ）2+ ，顶点坐标是（ ， ）；此结论正确；
B、当m＞0时，令y=0，有2mx2+（1﹣m）x+（﹣1﹣m）=0，解得：x1=1，x2=﹣ ﹣ ，
|x2﹣x1|= + ＞ ，所以当m＞0时，函数图象截x轴所得的线段长度大于 ，此结论正确；
解得 ，则说法④正确
综上，说法正确的个数是2个
故选：B．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象与性质（对称性、增减性），熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．
4．已知抛物线 与 轴的一个交点坐标为 ，其部分图象如图所示，下列结论：①抛物线一定过原点；②方程 的解为 或4；③ ；④当 时， ；⑤当 时， 随 增大而增大．其中结论正确的个数有（）
C、当x=1时，y=2mx2+（1﹣m）x+（﹣1﹣m）=2m+（1﹣m）+（﹣1﹣m）=0即对任意m，函数图象都经过点（1，0）那么同样的：当m=0时，函数图象都经过同一个点（1，0），当m≠0时，函数图象经过同一个点（1，0），故当m≠0时，函数图象经过x轴上一个定点此结论正确．
D、当m＜0时，y=2mx2+（1﹣m）x+（﹣1﹣m）是一个开口向下的抛物线，其对称轴是：直线x= ，在对称轴的右边y随x的增大而减小．因为当m＜0时， ，即对称轴在x= 右边，因此函数在x= 右边先递增到对称轴位置，再递减，此结论错误；
③对称轴：直线 ， ，所以 ， ，故③错误；
④对称轴为直线 ，抛物，故④正确．
【详解】
解：①∵抛物线与x轴由两个交点，
∴ ，
即 ，
所以①正确；
②由二次函数图象可知，
， ， ，
∴ ，
故②错误；
③∵对称轴：直线 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
， ，
∴ ，
根据上面的分析，①②③都是正确的，④是错误的．
故选D．
点睛：考查二次函数的性质，顶点坐标，两点间的距离公式，以及二次函数图象上点的坐标特征．
9．将抛物线y＝x2﹣4x+1向左平移至顶点落在y轴上，如图所示，则两条抛物线.直线y＝﹣3和x轴围成的图形的面积S（图中阴影部分）是（ ）
A．5B．6C．7D．8
②由图可知：当x=−1时，y＞1，∴a−b+c＞1，正确；
③abc=2a2＞0，正确；
④由图可知：当x=−3时，y＜0，∴9a−3b+c＜0，正确；
⑤c−a=1−a＞1，正确；
∴①②③④⑤正确．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了抛物线的函数图像性质的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键．
11．抛物线 （ 是常数）， ，顶点坐标为 .给出下列结论：①若点 与点 在该抛物线上，当 时，则 ；②关于 的一元二次方程 无实数解，那么（）
A．①②B．①③④C．①②③④D．①②③④⑤
【答案】D
【解析】
【分析】
根据抛物线的开口方向可得出 的符号，再由抛物线与 轴的交点可得出 的值，然后进一步根据对称轴以及抛物线得出当 、 、 时的情况进一步综合判断即可．
【详解】
由图象可知，a＜0，c=1，
对称轴：x= ，
∴b=2a，
①由图可知：当x=1时，y＜0，∴a+b+c＜0，正确；
C．向右平移1个单位，再向上平移2个单位D．向右平移1个单位，再向下平移2个单位
【答案】A
【解析】
【分析】
原抛物线顶点坐标为（0，0），平移后抛物线顶点坐标为（-1，2），由此确定平移办法．
【详解】
y=x2+2x+3=（x+1）2+2，该抛物线的顶点坐标是（-1，2），抛物线y=x2的顶点坐标是（0，0），
∴一元二次方程ax2-bx+c-m+1=0无实数解，故此小题正确；
故选A．
【点睛】
本题主要考查了二次函数图象与二次函数的系数的关系，第①小题，关键是通过抛物线的对称性把两点坐标变换到对称轴的一边来，再通过二次函数的增减性进行比较，第②小题关键是判断一元二次方程根的判别式的正负．
12．如图，坐标平面上，二次函数y＝﹣x2+4x﹣k的图形与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，其顶点为D，且k＞0．若△ABC与△ABD的面积比为1：4，则k值为何？( )
A．①正确，②正确B．①正确，②错误C．①错误，②正确D．①错误，②错误
【答案】A
【解析】
【分析】
①根据二次函数的增减性进行判断便可；
②先把顶点坐标代入抛物线的解析式，求得m，再把m代入一元二次方程ax2-bx+c-m+1=0的根的判别式中计算，判断其正负便可判断正误．
【详解】
解：①∵顶点坐标为 ,
人教版初中数学二次函数基础测试题附答案
一、选择题
1．如图是二次函数 的图象，有下面四个结论： ； ； ； ，其中正确的结论是
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据抛物线开口方向得到 ，根据对称轴 得到 ，根据抛物线与 轴的交点在 轴下方得到 ，所以 ； 时，由图像可知此时 ，所以 ；由对称轴 ，可得 ；当 时，由图像可知此时 ，即 ，将 代入可得 .
【详解】
①根据抛物线开口方向得到 ，根据对称轴 得到 ，根据抛物线与 轴的交点在 轴下方得到 ，所以 ，故①正确.
② 时，由图像可知此时 ，即 ，故②正确.
③由对称轴 ，可得 ，所以 错误，故③错误；
④当 时，由图像可知此时 ，即 ，将③中 变形为 ，代入可得 ，故④正确.
故答案选D.
【点睛】
本题考查了二次函数的图像与系数的关系，注意用数形结合的思想解决问题。
【详解】
对于
当 时， ，则二次函数的图象都经过点
当 时， ，则二次函数的图象都经过点
则说法①正确
此二次函数的对称轴为
，则说法②错误
由二次函数的性质可知，抛物线的开口向下，当 时，y随x的增大而增大；当 时，y随x的增大而减小
因
则当 时，y随x的增大而增大；当 时，y随x的增大而减小
即说法③错误
由 总成立得，其对称轴
则平移的方法可以是：将抛物线y=x2向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度．
故选：A．
【点睛】
此题考查二次函数图象与几何变换．解题关键是将抛物线的平移问题转化为顶点的平移，寻找平移方法．
7．如图，在四边形 中， ， ， ， ， ，动点 ， 同时从点 出发，点 以 的速度沿折线 运动到点 ，点 以 的速度沿 运动到点 ，设 ， 同时出发 时， 的面积为 ，则 与 的函数图象大致是( )
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意，求得 ，根据二次函数的图像和性质，结合选项进行逐一分析，即可判断.
【详解】
由题可知 ，与 轴的一个交点坐标为 ，则另一个交点坐标为 ，
故可得 ， ，
故可得
①因为 ，故①正确；
②因为二次函数过点 ，故②正确；
③当 时，函数值为 ，故③正确；
④由图可知，当 时， ，故④正确；
【答案】B
【解析】
【分析】
B，C分别是顶点，A是抛物线与x轴的一个交点，连接OC，AB，阴影部分的面积就是平行四边形ABCO的面积.