1、 A B AB A AB;AB A (B A)例： 证明：A B)B A AB AB A B.第一部分 概率论基本公式 概率论与数理统计基本公式证明： 由(A B) B ，知 B 不发生， A 发生，则 AB 不发生，从而 A B) B A AB 成立，也即 A B 成立，也即 A B 成立。

得证。

2、对偶率： A B A B ；A B A B.3、概率性率： (1) 有限可加： A 1、 A 2为不相容事件，则 P(A 1 A 2) P(A 1) P(A 2)P(A B)P(A)P(B);P(A) P(B)(3) 对任意两个事件有： P(AB) P(A)P(B) P(AB)例：已知： P(A) 0.5， P(AB) 0.2，P(B) 0.4.求：(1)P(AB);P(A B);P(A解： AB AB B,且B 、AB 是不相容事件， P(AB) P(AB) P(B) 即P(AB) 0.2.,又 P(A) 0.5, P(A B) P(A) P(AB) 0.3 P(A B) P(A) P(B) P(AB)0.7, P( AB) PA B 1 P(A B) 0.3.4、古典概P(A B) P(A) P(AB),特别， B A 时有： (2) B); P( AB )例： n 双鞋总共 2n 只，分为 n 堆，每堆为 2只，事件 A 每堆自成一双鞋的概率 2n (2-n 2))!！2！,自成一双为： n! C 22n解：分堆法： C 22n n ！，则P(A) 5、条件概率 P(B| A)P(AB),称为在事件 A 条件下，事件 B 的条件概率， P(A)P(B)称为无条件概率。

乘法公式： P(AB) P(A)P(B |A) P(AB) P(B)P(A |B) 全概率公式：P(B) P(A i )P(B| A i ) i贝叶斯公式： P(A i |B)P(A i B)P(A i )P(B|A i )i P(B)P(A j )P(B |A j )j例：有三个罐子， 1号装有 2红1黑共 3个球， 2号装有 3红1黑 4个球， 3号装有 2红2黑 4 个球，某人随机从其中一罐，再从该罐中任取一个球， (1)求取得红球的概率； ( 2)如 果取得是红球，那么是从第一个罐中取出的概率为多少？解：(1)设B i ｛球取自 i 号罐 ｝，i 1,2,3。

A ｛取得是红球 ｝，由题知 B 1、B 2、B 3是一个完备事件231 由全概率公式 P(B) P (A i )P(B| A i )，依题意，有： P(A|B 1) ;P(A|B 2) ;P(A|B 3) .i 3 4 2 1P(B 1) P(B 2 ) P(B 3) ， P(A) 0.639.3( 2)由贝叶斯公式： P(B1| A) P(A|B1)P(B1) 0.348.1 P(A)6、独立事件(1)P(AB)=P(A)P(B), 则称 A 、 B 独立。

(2)伯努利概型 如果随机试验只有两种可能结果：事件 A 发生或事件 A 不发生，则称为伯努利试验，即：P(A)=p, P(A) 1 p q (0<p<1,p+q=1) 相同条件独立重复 n 次，称之为 n 重伯努利试验，简称伯努利概型。

伯努利定理： b(k;n, p) C n k p k (1 p)n k ( k=0,1,2 ⋯⋯)事件 A 首次发生概率为： p(1 p)k 1例：设事件 A 在每一次试验中发生的概率为 0.3，当 A 发生不少于 3 次时，指示灯发出信号 (1)进行 5 次重复独立试验，求指示灯发出信号的概率； (2)进行了 7 次重复独立试验， 求指示灯发出信号的概率。

解：(1)设 B “5次独立试验发出指示信 号”，则由题意有：5P(B) C 5k p k (1 p)5 k ，代入数据得： P(B) 0.163i3 (2)设C “7次独立试验发出指示信 号”，则由题意有： 7P(C)C 7k p k (1i37kp) 7 k 12C 7k p k (1 p)n k ，代入数据，得： P(C) 0.353i0第二章7、常用离散型分布(1)两点分布：若一个随机变量 X 只有两个可能的取值，且其分布为 ： P{ X x 1} p;P{ X x 2} 1 p (0<p<1)则称 X 服从 x 1、 x 2处参数为 p 的两点分布。

特别地，若 X 服从 x 1 1，x 2 0处 参数为 p 的两点分布，即：则称 X 服从参数为 0—1 分布。

其中期望 E( X )=p,D(X)=p(1-p)2)二项 分布 ：若一 个随 机 变量 X 的概 率分布 由 P ｛X k ｝ C n k p k (1- p)n k(k=0,1,2 ⋯⋯)给出，则称 X 服从参数为 n，p 的二项分布，记为：X~b(n,p) (或 B(n ，p)n 其中P{X k0 k} 1 ，当 n=1 时变为：P{ X k} p k (11kp)1 k(k=0,1),此时为 0—1分布。

其期望 E(X )=np ，方差 D(X)=n(1-p)(3)泊松分布：若一个随机变量 X 概率分布为：P{ X k} ek,k 0,1,2k!则称 X 服从参数为的泊松分布，记为：X ~ P( )(或X ~ ( ),其中P{X k} 1，k0 称为泊松流强度。

泊松定理：在 n 重伯努利试验中，事件 A 在每次试验中发生的概率为P n,如果n 时，nP n ( 0的常数) ，则对任意给定的 k，k有lim b(k;n,p) lim C n k p n k (1 p n)n k e ，这表明，当 n很大时， p接近 0或1 n n k!k时，有C n k p n k (1 p n)n k e ( np )。

k!其期望方差相等，即： E(X)=D(X)= 。

8、常用连续型分布1)均匀分布：若连续随机变量X的概率密度为f(x) 1/(b a),a x b0,其他则称 X 在区间a， b)上服从均匀分布，记为X~U(a,b) 。

其中f (x)dx 1，分布函数为：0,x aF(x) (x a)/(b a),a x1,x b.b.其期望 E(X)= a b，方差 D(X)=2 (b a)2122)指数分布：若随机变量的概率为f(x) e x,x0,其他0，0，则称 X 服从参数为的指数分布，简记为 X~e( ).其分布函数：xx,x1eF(x)0,其他，0，11 其期望 E(X)= ,方差 D(X)=2.(3) 正态分布：若随机变量 X 的概率密度为f(x) 1 e(x22)2 e2，则称 X服从参数为μ和2的正态分布，记为 X~N( 2), 其中μ和>0)都是常数。

分布函数为：F(x) 1x (t22)21 xe22dt,.。

当0, 1时，称为标准正态分布，概率密度函数为：x) 定理：设X ~ N( , 2),则Y12eX~x222, 分布函数(x)t2 e 2dt.其期望 E(X)= μ ,D(X)= 2。

9、随机变量函数的分布( 1)离散型随机变量函数分布一般方法：先根据自变量X 的所有可能取值确定因变量 Y 的所有可能值，然后通过 Y 的每一个可能的取值y i(i=1,2, ⋯⋯ )来确定Y 的概率分布。

2)连续型随机变量函数分布方法：设已知 X 的分布函数F X (x)或者概率密度f X(x) ，则随机变量 Y=g(X) 的分布函数F Y(y) P{Y y} P{g(X) y} P{X C Y} ,其中C y {x|g(x) y}，F Y(y) P{X C Y} Cyf X(x)dx，进而可通过Y 的分布函数F Y (y) ，求出 Y 的密度函数。

例：设随机变量 X 的密度函数为f X(x) 1 | x|, 1 x0,其他1，求随机变量Y X 2 1的分布函数和密度函数f X (x)解：设 F Y (y)和f Y ( y)分别是随机变量 Y 的分布函数和概率密度 函数，则由 1 x 1得：1y 2,那么当 y 1时F Y (y) P{Y y} P{X 2 1 y}P( ) 0,当1 y 2时，得：2y10 (1 x)dx Y (y) P{Y y} P{ X 2 1 y} P{ y1 x y 1 y 1(1 |x|)dx y1y11y 1(1x)dx 2 y 1 (y1),当y 2时， F Y (y) P{Y y} P{ X 2 1y} 0dx0,y 11(1|x|)dx 1 0dx 1,所以， F Y (y)2y1(y 1),1 y 2,1, y 211,1 y 2f X (x) F Y (y)'y10,其他10 、设随机 变量 2X~N( , 2 ),Y= aX b 也服从正态分布.即Y aX b ~ N(a b,(a )2) 。

11、联合概率分布 (1) 离散型联合分布： P ij 10,其他求 f(x), f(y),E(X),E(Y),cov( X,Y)， XY ， D(X+Y).或 x>2 时，由 f X (x)0dy 0dy 0 ，所以，1/8x 2 1/ 4x,0 x 2 0,其他例：设随机变量( X ， Y )的密度函数 f(x, y) 18(x y),08 x 2,0 y 2解：①当 0≤x≤2 时由 f X (x)xx [1/8(xy)dy ，得： f X (x)21/8x 2 1/4x ，当 x<02② E(X)= xf X(x)dx 7/6 ,由对称性同理可求得， E(Y)=7/6 。

22③因为 E(XY)= xyf(x,y)dxdy002所以， cov( X,Y )= E(XY)- E(X) E(Y)=4/3-(7/6) 2=-1/36 。

⑤D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2cov(X,Y)=X的条件分布函数边缘分布概率为F X (x)、F Y(y)，若对于任意 x、y 有：P{X x,Y y} P{X x}P{Y y}，即：F(x,y) F X(x)F Y(y)，则称 X和 Y独立。

14、连续型随机变量的条件密度函数：设二维连续型随机变量 ( X,Y )的概率密度为f(x,y), 边缘概率密度函数为f X ( x)、 f Y ( y) ，则对于一切使f X(x)>0 的 x,定义在 X=x 的条件下 Y 的条件密度函数为：f Y|X(y|x) f(x,y)，同理得到定义在 Y=y 条件下 X 的条件概率密f X (x)度函数为：X|Y(x|y) f(x,y)，若f (x, y) = f X (x) f Y (y)几乎处处成立，则称 X,Y 相互f Y(y) 独立。

例：设二维随机变量(X，Y)的概率密度函数为f (x, y) ce(2x y),x 0, y 00, 其它，求( 1)确定常数 c；(2)X,Y 的边缘概率密同理可求得 : f Y(y)21/8y 21/ 4y,0 y 20，其他221/8xy(x y)dxdy 4/3.00④ D(X) E(X 2) [E(X)]2 2 220 0 x2f(x，y)dxdy (76)21136同理得D(Y)= , 所以，36 XY =cov(X,Y)D(X)D(Y)11112、条件分布：F(x| A) P{ X x| A} P{X P{A x},A},称F(x|A)为在A发生条件下，13、随机变量的独立性：由条件分布设A={Y ≤y}, 且 P{Y ≤ y}>0, 则：F(x|Y y} P{X x,Y y}P{Y y} F F(Y x(,y y))，设随机变量(X,Y )的联合分布概率为 F(x,y)，其中： X X 1 X 2Xi度函数；( 3)联合分布函数 F(x,y);(4)P{Y ≤X}; (5)条件概率密度函数 f X |Y ( x | y ) ；(6) P{X<2|Y<1}变量都有数学期望。