n1 2n 1
n02n 1
27
f
(x)

1
(1)n n1 2n 1
x2n

(1)n n02n 1
x2n2
1 (1)n x2n (1)n1 x2n
n1 2n 1
n1 2n 1
1

(1)
n1
n

1 2n 1
习题课
级数的收敛、求和与展开
一、数项级数的审敛法 二、求幂级数收敛域的方法 三、幂级数和函数的求法 四、函数的幂级数展开法
1
求和 展开
(在收敛域内进行)
时为数项级数;
时为幂级数;
(an ,bn 为傅氏系数) 时, 为傅立叶级数.
基本问题：判别敛散； 求收敛域； 求和函数； 级数展开.
2
一、数项级数的审敛法
14
解: 因 lim un1(x) lim
x2
n un (x) n
2
当 x2 1 , 即 2 x 2 时，级数收敛; 2
当 x 2时, 一般项 un n 不趋于0, 级数发散;
故收敛区间为 ( 2 , 2 ) .
15
三、幂级数和函数的求法
• 求部分和式极限
6
利用比值判别法, 可知原级数发散.
(3)
n
n1
cos2 2n
n
3
:
用比值法, 可判断级数
收敛,
再由比较法可知原级数收敛 .
因 n 充分大时
1 n

1 ln10
n
,
∴原级数发散 .
发散,
(5)
n1
an ns
(a 0, s 0): 用比值判别法可知:
a 1 时收敛 ; a 1 时发散.

1 2x

1 2
1
1
x 2

1 2


xn
n0 2n


1 2
n1
nx n 1 2n
,
25
2. 将
在x = 0处展为幂级数.
解: 因此
2 x 3x2
ln(1

x)




n1
xn n
(1 x 1)
(1 x)(2 3x)
2
2
30
1. 利用部分和数列的极限判别级数的敛散性
2. 正项级数审敛法
必要条件
lim
n
un

0
满足
不满足 发 散
比值审敛法
lim
n
un1 un


1 不定
部分和极限 比较审敛法
根值审敛法 lim n
n
un


用它法判别 积分判别法
1
1
收敛
发散
3
3. 任意项级数审敛法
概念:
(3)

(1)
n1
n
ln
n
n
1
因
单调递减, 且
由Leibniz判别法知级数收敛 ;
但

ln
n1
n
n
1
n
lim ln(k 1) ln k
n k 1
lim ln(n 1)
n
所以原级数仅条件收敛 .
11
(4)

(1)n
n1
(n 1)! n n 1
(2)

(1)
n1
n1
sin

n1
n1
;
(3)
(1)n ln n 1 ;
n1
n
提示: (1) P >1 时, 绝对收敛 ;
0 < p ≤1 时, 条件收敛 ;
p≤0 时, 发散 .
(2) 因各项取绝对值后所得强级数 原级数绝对收敛 .
1
n1 n1
收敛 ,
故
10
ex
cos nx d
x
1

ex (n sin nx cos nx) 1 n2


0

1

e
(1)n 1 n2
1
(n 0, 1, 2, )
29
bn

1


0
ex
sin nx d
x

1


ex (sin nx n cos nx) 1 n2

0

n

1
e 1
(1)n n2
n 1
n 1

[(c n a n ) a n ]
n 1


(c n a n ) a n 收敛
n 1
n 1
5
例2. 判别下列级数的敛散性:
提示: (1) lim n n 1 , 0 , N , n 1 n n 1
因调和级数发散, 据比较判别法, 原级数发散 .
1 x
x
tn
0
d
t


1 x
x

1
t
t
d
t
0
(0 x 1)
1 1 ln (1 x)

1

(
1
1)
ln
(1
x x)
x
20
即得
1 ( 1 1) ln (1 x) , x
0 x 1
显然 x = 0 时, 和为 0 ; x = 1 时, 级数也收敛 . 根据和函数的连续性 , 有
(n 1, 2, )

f
(
x)

e
2
1

1



n1
( x k , k 0 , 1, 2 , )
思考: 如何利用本题结果求级数
提示: 根据付式级数收敛定理 , 当 x = 0 时, 有
e 1 1
2 n1
f (0 ) f (0 ) 1

ln
(1 x
x)


1
,
因此由和函数的连续性得:
1 ln(1 x) , S(x) x
1,
x [1,0) (0,1) x0
23
例8.
解:
设
S(x)

n2
n
x
2
n

1
,
则
S
(
x)



n2
12
n
1
1

n
1
1
xn
x xn1 1 xn1
13
解:

lim n
n
an
lim (1 1)n e n n
R 1 , 即 1 x 1 时原级数收敛 .
e
ee
当 x 1 时, e
un


(1

1) n
n

n
e
(1 1)n1 e n
1 1 0 (n ) e
因此级数在端点发散 , 故收敛区间为( 1 , 1 ) . ee
x
1 sin x x cos x ,
2
2
17
法2 先求出收敛区间
设和函数为 则
1 2
S(x) 1 sin x x cos x,
2
2
x sin x 2
18
例2. 求下列幂级数的和函数：
x≠0
解: (1)
原式

n1
1 2n
( x 2n 1 )

1 x

(
n1
ln(1

3 2
x)


(1) n
n1
(
3 2
x)
n
(
2 3

x

32)
n1
f (x) ln 2 xn
n1 n
n1(1n)n1(23 x)n
ln 2 n11n [1 ( 23)n ] xn
(
2 3

x

32)
26
3. 设
, 将 f (x)展开成
x2
2
)
n

1 x

1
x2
2

x2 2


x 2 x2


2 x2 (2 x2)
2
(0 x2 1) 2
显然 x = 0 时上式也正确, 而在 x 2 级数发散,
故和函数为
19

n1

1 n

1 n 1

xn
x0

n1
因
un1
un
n 2 (1 1 )n1 n n1 n1
所以原级数绝对收敛 .
12
二、求幂级数收敛域的方法
• 标准形式幂级数: 先求收敛半径 R , 再讨论 x R
处的敛散性 . 通过换元转化为标准形式
• 非标准形式幂级数 直接用比值法或根值法
例7. 求下列级数的敛散区间:
s 1 时收敛;
a 1 时, 与 p 级数比较可知 s 1 时发散.
7
例3. 设正项级数
和 都收敛, 证明级数
也收敛 .
提示:
因
lim
n
un

lim