2009年第14届华杯赛小学组决赛试题及详解一、填空题（每小题10分，共80分） 1. 计算：200820072009200920082010200820091200920101+⨯+⨯+⨯-⨯-=_______；2. 如图1所示，在边长为1的小正方形组成的4⨯4方格中，共有25个格点，在以格点为顶点的直角三角形中，两条直角边长分别是1和3的直角三角形共有_______个；3. 将七位数“1357924”重复写287次组成一个2009位数“13579241357924⋯”删去这个中所有位于奇数位（从左往右数）上的数字组成一个新数，再删去新数中所有位于奇数位上的数字，按上述方法一直删下去直到剩下一个数字为止，则最后剩下的数字是______；4. 如图2所示，在由七个同样的小正方形组成的图形中，直线l 将原图形分为面积相等的两部分，l 与AB 的交点为E ，与CD 的交点为F ，若线段DF 与线段AE 的长度之和为91厘米，那么小正方形的边长是______厘米；5. 某班学生要栽一批树苗，若每个人分配k 棵树苗，则剩下38棵；若每个学生分配9棵树苗，则还差3棵，那么这个班共有_______名学生；图1AD B CEF l 图26. 已知三个合数A 、B 、C 两两互质，且1101128A B C ⨯⨯=⨯，那么A B C ++的最大值为_______；7. 方格中的图形符号“◇”、“○”、“▽”、“☆”代表填入方格内的数，相同的符号表示相同的数。

如图3所示，若第一列，第三列，第二行，第四行的四个数的和分别为36，50，41，37，则第三行的四个数的和是_______；8. 已知1+2+3+⋯+n (n >2)的和个位数字为3，十位数字为0，则n 的最小值为_______；二、解答下列各题（每题10分，共40分，要求写出简要过程）9. 六个分数111111,,,,,23571113的和在哪两个连续自然数之间？10. 2009年的元旦时星期四，问：在2009年，哪几个月的第一天也是星期四？哪几个月有5个星期日？图3◇ ◇ ◇ ◇ ◇ ◇ ▽ ▽ ○ ○ ○ ○ ○ ☆☆ ☆ 36 50 41?3711. 已知a 、b 、c 是三个自然数，且a 与b 的最小公倍数是60，a 与c 的最小公倍数是270，求b 与c 的最小公倍数。

12. 在51个连续的奇数1、3、5、⋯、101中选取k 个数，使得它们的和为1949，那么k 的最大值是_______；13. 如图4所示，在梯形ABCD 中，A B ∥CD ，对角线AC 、BC 相交于点O 。

已知AB =5，CD =3，且梯形ABCD 的面积为4，求三角形OAB 的面积。

14. 在图所示的乘法算式中，汉字代表1至9这9个数字，不同的汉字代表不同的汉字。

若“祝”字和“贺”字分别代表数字“4”和“8”，求出“华杯赛”所表示的整数。

D 图4 A B CO ⨯祝贺华杯赛＝第十四届2009年第14届华杯赛小学组决赛试题及详解一、填空题（每小题10分，共80分）1.计算：200820072009200920082010 200820091200920101+⨯+⨯+⨯-⨯-=_______；答案：（2）考点：分数的计算，换元法；解：一般地22(1)(1)11(1)11a a a a aa a a a+-⨯++-==⨯+-+-，故原式=2；2.如图1所示，在边长为1的小正方形组成的4⨯4方格中，共有25个格点，在以格点为顶点的直角三角形中，两条直角边长分别是1和3的直角三角形共有_______个；答案：（64）考点：计数问题；解：每个1⨯3的长方形中有4个这样的直角三角形，转化为在4⨯4的方格中有多少个1⨯3的长方形，共有2⨯4⨯2＝16个，根据乘法原理得到16⨯4=64个；3.将七位数“1357924”重复写287次组成一个2009位数“13579241357924⋯”删去这个中所有位于奇数位（从左往右数）上的数字组成一个新数，再删去新数中所有位于奇数位上的数字，按上述方法一直删下去直到剩下一个数字为止，则最后剩下的数字是______；答案：（3）考点：操作问题；解：对于一排数，每次删除奇数位上的数字，如果开始有2n个数，那么最后剩下一个数就是2n，考虑先删去几个数，使得剩下2n个数，可得需要删去2009-1024=985个，删去985个数，接下来的就是最后剩下第一个数，它在开始时是第2⨯985=1970，根据数的排列周期，这个数相当于循环节中的第3（1970÷7=283⋯3）个，也就是3。

当然也可以记住公式：a个数，按题目要求删去数，最后剩下的一个数在第()22na-位，其中2n是小于a最大的2的次数数；4.如图2所示，在由七个同样的小正方形组成的图形中，直线l将原图形分为面积相等的两部分，l与AB的交点为E，与CD的交点为F，若线段DF与线段AE的长度之和为91厘米，那么小正方形的边长是______厘米；答案：（26）考点：面积的分割；解：设每个小正方形的边长为a，那么由梯形AEFD的面积得到27191,26 22aa a=⨯⨯=；5.某班学生要栽一批树苗，若每个人分配k棵树苗，则剩下38棵；若每个学生分配9棵树苗，则还差3棵，那么这个班共有_______名学生；答案：（41）考点：盈亏问题；解：首先k是小于9的自然数，由盈亏问题，人数为(38+3)÷(9-k)=419k-名，根据整除性，41是质数，约数只有1、41，那么k=8，人数为414198=-名；图1ADBCEFl图26. 已知三个合数A 、B 、C 两两互质，且1101128A B C ⨯⨯=⨯，那么A B C ++的最大值为_______； 答案：（1626）考点：质数与合数；解：2221101128271113A B C ⨯⨯=⨯=⨯⨯⨯，为使得三个合数的和最大，只需一个数尽可能大，其它两个数尽可能小，得到4+49+1573=1626；7. 方格中的图形符号“◇”、“○”、“▽”、“☆”代表填入方格内的数，相同的符号表示相同的数。

如图3所示，若第一列，第三列，第二行，第四行的四个数的和分别为36，50，41，37，则第三行的四个数的和是_______；答案：（33）考点：数阵图问题；解：如图设未知数，则：8336123373411322505a ab b ac bd c b c d =⎧+=⎧=⎪⎪+=⎨⎨+==⎪⎪+==⎩⎩那么22812533a b d ++=⨯++=； 8. 已知1+2+3+⋯+n (n >2)的和个位数字为3，十位数字为0，则n 的最小值为_______； 答案：（37）考点：余数问题；解：(1)03(mod100)(1)06(mod100)2n n n n +≡+≡，连续两个数的积的末位为3的可以是2⨯3，也可以是7⨯8。

当为2⨯3时，n 最小为42；当为7⨯8时，n 最小为37。

综上所述，得到n 最小为37。

二、解答下列各题（每题10分，共40分，要求写出简要过程） 9. 六个分数111111,,,,,23571113的和在哪两个连续自然数之间？答案：（1～2） 考点：分数估算；解：311111111111111111131113236131313235711132356555=+++++<+++++<+++++=，所以在1～2之间；10. 2009年的元旦时星期四，问：在2009年，哪几个月的第一天也是星期四？哪几个月有5个星期日？ 答案：（10；3、5、8、11） 考点：日历问题； 解：（略）11. 已知a 、b 、c 是三个自然数，且a 与b 的最小公倍数是60，a 与c 的最小公倍数是270，求b 与c 的最小公倍数。

答案：（41）考点：最大公约数与最小公倍数； 解：[,]60,[,]270a b ac ==，那么2360235,270235=⨯⨯=⨯⨯，a 可以是30的任意一个约数，那么图3 ◇ ◇ ◇ ◇ ◇ ◇ ▽ ▽ ○ ○ ○ ○ ○ ☆ ☆ ☆ 3650 41?37a a a a a a c cb b b b ○ ☆d d 3650 41 ? 37[,][12,54]108b c ==或[,][60,270]540b c ==；12. 在51个连续的奇数1、3、5、⋯、101中选取k 个数，使得它们的和为1949，那么k 的最大值是_______； 答案：（43）考点：整数的分拆；解：由于1+3+5+⋯+87=1936，相差1949-1936=13，不管把哪些数加上偶数，总的所加的和为偶数，不是奇数13，所以44个奇数相加不可能成立，43个可以是：3+5+7+⋯+83+85+101=1949；13. 如图4所示，在梯形ABCD 中，A B ∥CD ，对角线AC 、BC 相交于点O 。

已知AB =5，CD =3，且梯形ABCD 的面积为4，求三角形OAB 的面积。

答案：（25/16） 考点：面积的计算；解：如图，根据梯形中的蝴蝶定理得到三角形OAB 的面积为42525915152516⨯=+++；14. 在图所示的乘法算式中，汉字代表1至9这9个数字，不同的汉字代表不同的汉字。

若“祝”字和“贺”字分别代表数字“4”和“8”，求出“华杯赛”所表示的整数。

答案：（159）考点：数字谜问题；解：首先考虑两位数乘以三位数得到的积为四位数，那么首位的乘积加上进位后也不能向前进位；再者48乘以21也要进位，故三位数的首位为1；第三，三位数的末位可以是2、6、7、9，试填十位上的数字，得到48⨯159=7632；D 图4A BC OD 3 ABCO 515 15 9 25⨯祝贺华杯赛＝第十四届。