证法2:设P 到左、右准线的距离分别为
且］
a I 盟Q _ ）卜1掘Q 亠 ---------------- =17
日1 ，又 |PJ |=2a-(a +ex 0)=a -空。

-，所以
J 、，由椭圆的第二定义知 I PK 1= d,-巳=—（z n + —） = a.4 es c C ，而 椭圆焦半径公式及应用
椭圆上的任意一点到焦点F 的长称为此曲线上该点的焦半径，根据椭圆 的定义，
很容易推导出椭圆的焦半径公式。

在涉及到焦半径或焦点弦的一些问题 时，用焦半径公式解题可以简化运算过程。

、公式的推导
设P （-,门）是椭圆上的任意一点，〔-'
'分别是椭圆的左、
览2 y 3 ^-7 H --------- =l （a>b>0） |口口 1
i-rj-ri I 右焦点，椭圆
，求证 一 一「」，：'_ - - 1 ：I. 0
证法1: |PFi|= + c)2 4-y^ = + c
)a + b ：! = |a +
a + 竺^>a- c > 0
因为，所以 “
•. |FF]4—刍
又因为I 町11 +疋比4加，所以円十"％
•. IFFi 1=^* ，IPFs l =a ■空0
... 经。

，|PF? 4以・空。

0
二、公式的应用
—+
= 1 4,— 例1 椭圆二 1 上三个不同的点A （2匚）、B （ -）、C （©'厂）
到焦点F （4，0）的距离成等差数列，求
的值。

解：在已知椭圆中，右准线方程为…•，设A、B、C到右准线的距离
«< . d, = ― z! d-j = — 4 d 左=■一盘？
为，贝U 斗、'- 、•二-0
•••」• I 「，而|AF|、|BF|、|CF| 成等差数
2巴7)=力哲■街〜
-L I. •一，即、
评析：涉及椭圆上点到焦点的距离问题，一般采用焦半径公式求解，即利用焦半径公式可求出A、B C三点到焦点的距离，再利用等差数列的性质即可求出:W的值。

兰+疋=1
例2 设二V为椭圆•'的两个焦点，点P在椭圆上。

已知P、
‘-、L是一个直角三角形的三个顶点，且- ’「，求丨的值。

解：由椭圆方程可知a=3，b=2,并求得：■■，离心率-0
由椭圆的对称性，不妨设P (◎，「)(：」"’：•)是椭圆上的一点，贝U由题意知|PF】I应为左焦半径，IPFj应为右焦半径。

(1)若 / - =-一为直角，贝U '1，即
"二打-，解得''- ，故—二-I
(2)若/上二为直角，贝U “ •卜一，即
3尝唧+ (3-芈御尸
』，解得匸「故L
评析：当题目中出现椭圆上的点与焦点的距离时，常利用焦半径公式把问题转化，此例就利用焦半径公式成功地求出□值。

兰亠I
例3 已知椭圆C r -，-一 =为其两个焦点，问能否在椭圆C 上找一点M使点M到左准线的距离|MN|是丨与'"〔丨的等比中项。

若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由。

解:设存在点“)，使■■ ■-I，由已知得a=2，匚，c=1,
+ 4 P= i：a+ - es n) = = 4- g
左准线为x= —4,则，即「一■'L
12
+ 48=0,解得■■_，或’：' 。

因此，点M不存在。

评析：在涉及到椭圆上的点与其焦点的距离时，如果直接用两点间距离公式，运
算将非常复杂，而选用焦半径公式可使运算简。