一． 坐标表示的焦半径公式1、 椭圆（一类） |PF 1|=r 1=√(x +c )2+y 2 由y 2=b 2−b 2x 2a 2代入整理得r 1=√(ca x)2+2cx +a 2=√(a +ex )2=a +ex ,同理，|PF 2|=r 2=√(x −c )2+y 2=⋯=a −ex可以假想点P 在y 轴右边，r 1>r 2且x>0 帮助，显然总有r 1+r 2=2a 符合椭圆定义。

公式常见应用：（1） 椭圆上点到焦点最远距离a+c,最近距离a-c（2） 椭圆上三点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),C (x 3,y 3)，若x 1 ,x 2 ,x 3成等差数列，则到同一个焦点的焦半径r A ,r B ,r C 也成等差数列。

（3） 定义直线 x =∓a 2c 为椭圆x 2a 2+y 2b 2=1 的左右准线。

由焦半径公式，椭圆上任意一点 P(x,y) 到对应焦点和对应准线的距离之比(r 1d 1=r 2d 2=e)总等于离心率e.2. 双曲线x 2a 2−y 2b 2=1|PF 1|=r 1=√(x +c )2+y 2 由y 2=b 2x 2a 2−b 2代入整理得r 1=√(ca x)2+2cx +a 2=√(a +ex )2=|a +ex | ,由双曲线上点|x |≥a ,若点P 在右支上，r 1=ex +a . 同理，r 2=ex −a .总有r 1−r 2=若点P 在左支上，r 1=ex −a . 同理，r 2=ex +a .总有r 2−r 1=公示的应用：（1）若双曲线上同一支上的三点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),C (x 3,y 3)，有x 1 ,x 2 ,x 3成等差数列，则它们到同一个焦点的焦半径r A ,r B ,r C 也成等差数列。

（2）定义直线 x =∓a 2c 为双曲线x 2a 2−y 2b 2=1 的左右准线。

由焦半径公式，双曲线上任意一点 P(x,y) 到对应焦点和对应准线的距离之比(r 1d 1=r2d 2=e)总等于离心率e.3.抛物线 y 2=2Px |MF |=r =x +p2公式的应用：抛物线上三点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),C (x 3,y 3)， 若x 1+x 3=2x 2，则r A +r C =2r B 。

二． 1、 统一定义：平面上到定点F 与定直线l 距离之比等于常数e 的点轨迹。

若0<e<1,轨迹为椭圆。

若e=1，则轨迹为抛物线。

若e>1，则轨迹为双曲线。

（2）公式：r=eP1−e cosθe:离心率，对于椭圆，双曲线，eP=ba.（3）公式的应用：焦点弦长公式|MN|=r M+r N=eP1−e cosθ−eP1−e cos(θ+π)=2eP1−e2cos2θ说明：（1）焦点弦长公式中，方向角θ以平方形式出现，不影响计算，可将方向角改为焦点弦和对称轴夹角：θϵ（0，π2].（2）有对称性θ（3）对于双曲线当1−e2cos2θ=0时，θ所决定的焦点弦与渐近线平行，在实际上不存在。

若θ较小，使1−e2cos2θ<0时，此时公式应表为|MN|=2eP|1−e2cos2θ|，此时焦点弦的两个端点分在两支上。

（4）对于抛物线y2=2Px，∵e=1 ,|MN|=2P1−cos2θ=2P1−sin2θ.θ为焦点弦与对称轴夹角。

（5）通径：垂直对称轴的焦点弦称通径，在|MN|=2P1−cos2θ中，令θ=900，得通径的统一表示2eP.对于椭圆，双曲线: 2eP=2b2a；对于抛物线: 2eP=2P.（6）以上结论容易推广到二类圆锥曲线，比如x2=Ky焦点弦与对称轴夹角θ，则有|MN|=|K|sin2θ.三．相交弦长公式将直线y=Kx+d 代入椭圆b2x2+a2y2=a2b2(b2+a2K2)x2+2aKdx+a2d2−a2b2=0.若∆=4a2b2(a2K2+b2−d2)>0存在相交弦A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,|AB|=√(x1−x2)2−(y1−y2)2=√1+K2|x1−x2|在(b2+a2K2)x2+2aKdx+a2d2−a2b2=0中，由求根公式|x1−x2|=√∆b2+a2K2，|AB|=√∆b2+a2K2√1+K2在具体问题，只要已知直线斜率和求得的代入后方程可直接写出相交弦长表达式，完全可以略去中间过程。

上面的观点对于双曲线，抛物线和直线产生的相交弦长也完全用类似的方法推导。

只是对于双曲线，直线不能与渐近线平行；对于抛物线，直线不能与对称轴平行。

四． 焦点三角形问题对于椭圆和双曲线存在焦点三角形对于焦点三角形问题，应注意两条：一是用定义：椭圆：r 1+r 2=2a ；双曲线：|r 1−r 2|=2a 。

二是用正余弦定理：举例：已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1 ，(a >b >0) ，点P 位其上一点，点P 对F 1,F 2张角 （即∠F 1PF 2=θ） ，试求S ∆PF 1F 2的θ 表示式。

解：由余弦定理：4c 2=r 12+ r 22−2r 1r 2cos θ=(r 1+r 2)2−2r 1r 2−2r 1r 2cos θ=4a 2−2r 1r 2(1+cos θ)=4a 2−2r 1r 2∙2cos 2θ2 移项，消去4：r 1r 2cos 2θ2=a 2−c 2=b 2 又 S ∆PF 1F 2=12r 1r 2sin θ=r 1r 2sin θ2∙cos θ2=r 1r 2∙cos2θ2∙sinθ2cosθ2=b 2说明：上面这个例子完全适用双曲线中的焦点三角形。

请你推导右面双曲线的图，若∠F 1PF 2=θ，求S ∆PF 1F 2 。

五．其他有关知识点：1. 椭圆中的基本Rt∆OBF:BF =a,BO =b,FO =c .令∠BFO =θ,则cos θ=ca =e.可以通过三角函数对椭圆中的a,b,c,e 进行相互转换。

比如：由e =√32可推知θ=300，a =2b .椭圆的方程便可以假设为：4b 2+b 2=12. 双曲线中的基本矩形：x 2a 2−y 2b 2=±1称为是相互共轭两条双曲线，作x =±a ,y =±b ,四条直线构成一个矩形，称作是这两条双曲线的基本矩形（如图）：基本矩形的对角线定是这两条双曲线的渐近线。

基本矩形中Rt∆OAD 是x 2a 2−y 2b 2=1的一个基本Rt∆： OA=a ,AD=b, OD=c .令∠DOA=θ,则θ就是其一条渐近线的倾斜角。

设斜率K ，则tan θ=K . 由e =c a知cos θ=a c=1e或e =1cos θ可以利用三角函数在双曲线的a,b,c,e,K 之间进行过渡。

对于x 2a 2−y 2b 2=−1，则Rt∆OBD 是它的基本Rt∆：|OB |=实半轴b ，|BD |=虚半轴a,|OD |=c . 令∠BOD =θ∗，则e ∗=1cos θ∗ 。

θ与θ∗互余，在共轭双曲线之间e 与e ∗有关系(1e )2+(1e ∗)2=1. 3. 双曲线x 2a 2−y 2b 2=m ,(m ≠0)渐近线m>0为一类双曲线，m<0为二类双曲线，不论一类，二类，令m=0得到的两条直线定为双曲线的渐近线，具体运作时，移项，开方：x 2a 2=y 2b 2 →y =±ba x 。

这一结果可以使双曲线方程和它的渐近线方程，两者相互反馈。

例：已知双曲线以坐标轴为对称轴，一条渐近线的方程为y =−34x ，且过点（6，−4）。

试求该双曲线方程。

由y =−34x 可得3x +4y =0及3x −4y =0.于是9x 2−16y 2=K 。

代入(6,−4)求K得9x 268−16y 268=1 .4. 有关抛物线的知识点：（1）四类抛物线：y 2=±2Px ,x 2=±2Py 可以简化为两大类：y 2=Kx ,x 2=Ky . 焦点(K4,0) ,(0，K4) ,准线x =−K4 ,y =−K4。

（2）焦点弦端点坐标公式如图，A (x 1,y 1) ,B(x 2,y 2) 为y 2=2Px 的焦点弦，则有： x 1∙x 2=P 24y 1y 2=−P 2练习题：由焦点弦的一个端点B 做准线x =−P2 的垂线，垂足E 。

证明：A,O,E 三点共线。

上面的性质可以推广到其他类型的抛物线。

x =−2 （3）抛物线上两点连线斜率公式对于一类抛物线 y 2=Kx 上两点A (x 1,y 1) ,B(x 2,y 2)，K AB =2Py 1+y 2关于圆锥曲线的切线1. 椭圆1） 若点P (x 1,y 1)为椭圆x 2a 2+y 2b 2=1上一点，则椭圆过点P 的切线方程为x 1xa 2+y 1y b 2=1同一法证明：由x 12a 2+y 12b 2=1 （1） 知点P (x 1,y 1)为椭圆与直线的公共点，若椭圆与直线还有一个公共点Q(x 2,y 2) ， 则 x 22a 2+y 22b 2=1 （2）x 1x 2a 2+y 1y 2b 2=1 （3）（1）+（2）－2（3）： x 12a 2+y 12b 2+x 22a 2+y 22b 2−2( x 1x 2a 2+y 1y 2b 2)=1+1−2=0即(x 1−x 2)2a 2+(y 1−y 2)2b 2=0，即P =Q ，直线与椭圆仅有一个公共点，故为切线。

2） 椭圆切线的一般表示点P (a cos θ,b sin θ)为椭圆x 2a2+y 2b 2=1上点的一般表示，代入上面的切点公式得x cos θa+y sin θb=1 . 此为椭圆切线的一般表示。

练习题：求椭圆x 29+y 216=1上点与直线距离的最大值。

设椭圆切线x cos θ4+y sin θ3=1 ，令其斜率K =−34∙cos θsin θ=−34 得θ=π4，5π4。

得d max =6√23） 切点弦直线点P (x 0,y 0)为椭圆x 2a 2+y 2b 2=1 外一点，由P 两条切线PA ，PB ，切点A,B 。

直线AB 称为切点弦直线。

容易证明点P (x 0,y 0)的切点弦直线方程为x 0x a 2+y 0y b 2=1 。

设切点A (x 1,y 1) ,B(x 2,y 2) ，则切线PA: x 1xa 2+y 1y b 2=1，由切线过P (x 0,y 0)，则x 1x 0a 2+y 1y 0b 2切线PB:x 2x a 2+y 2y b 2=1，由切线过P (x 0,y 0)，则x 2x 0a 2+y 2y 0b 2=1 。

（2）由（1），（2），直线x 0x a 2+y 0y b 2=1 过 A (x 1,y 1) ,B(x 2,y 2)。