07年考题
0 1 0 0
设矩阵
A
0 0
0 0
1 0
0 1
，则A3
的秩为
0
0
0
0
06 年考题：
1.
（数四，4 分）设A
2 1
1
2 ,
且 BA B 2E ,则 B=
2. （数一二三四，4 分）设 A 是三阶方阵，将 A 的第二行加到第一行得 B, 再将 B 的第一列
的-1
倍加到第二列得
如 A 与 B 是同阶阵，则 A、B 等价 存在可逆阵 P、Q，使得 PAQ=B；
注意
• 等价，相似与合同三者的区别联系
矩阵的秩：
• 非0子式的最大阶数
秩为 r 的 m n 阶矩阵的 等价标准型
Er 0
0 0mn
07年考题
0 1 0 0
设矩阵
A
0 0
0 0
1 0
0 1
，则A3
的秩为
假设 A
aij
,B
sn
bij
。
nt
AB A(1, 2 , , t ) ( A1, A2 ,
是有意义的；
, At )
B1 AB1
AB
A
B2
AB2
有意义吗？
Bs
ABs
常见分块
1．
2
2
分块
A1 A3
A2 A4
；2．对角分块
A1
Ak
A1 A2
3．行、列分块
C,P
1 0
1 1
0
0 ,
0
0
1
则 (A) C= P1AP , (C) C=PT AP ,
(B) C=PAP1 , (D) C=PAPT
05 年考题: 1. （数四，4 分）设 A,B,C 均为 n 阶矩阵,E 为 n 阶单位矩阵，如 B=E+AB,C=A+CA,则 B-C= (A) E, (B) –E, (C) A, (D), -A
初等阵与初等变换的关系 左乘------行变换 右乘------列变换
倍法阵:
1
1
Pi (k)
k
(i )
1
1
消法阵:
1
Pij (k)
1
k
1
(i )
(
j)
1
04 年考题：
1． (数一、二)设 A 是三阶方阵，将 A 的第一，
二列互换得 B，将 B 的第二列加到第三列得 C，
c11 c12
c21
c22
cm1 cm2
a1n b11 b12
a2n
b21
b22
amn bn1 bn2
c1s
c2 s
cms
b1s
b2 s
bns
其中： cij ai1b1 j ai2b2 j ainbnj
注意：矩阵的乘积
(1) 不能交换： AB BA （2）不能消去：AB AC B C
注意（1）一般先演算，再计算；
（2）AX=B 用（A，B） 行变换 E , X ，
XA=B 用
则满足 AQ C 的可逆阵 Q 为：
（A）
0 1
1 0
0 0
1 0 1
（C）
0 1
1 0
0 0
0 1 1
（B）
0 1
1 0
0 1
0 0 1
（D）
0 1
1 0
1 0
0 0 1
2．（数四，4 分）设
0 A 1
1 0
0 0
，
0 0 1
B P1AP ，其中 P 为可逆阵，
则 B2004 2 A2
11、如 P、Q 可逆，则秩（PAQ） =秩（A）。
例、（９６）设 A 是 4×3 阵, 秩 A=2,
1 0 2
B=
0 1
2 0
0 3
,则秩
AB=
.
12、秩（AB） min｛秩（A），秩（B）｝。
13、max﹛秩（A），秩（B）﹜≤秩(A│B)
≤秩（A）+秩（B），
max﹛秩（A），秩（B）﹜≤秩
第二章、矩阵
考试要求： 1．理解矩阵的概念，了解单位阵、对角 阵、数量阵、（上、下）三角阵、（反） 对称阵，以及其性质； 2．掌握矩阵的线性运算、乘法、转置， 以及它们的运算规律，了解方阵的幂与方 阵乘积的行列式；
3 理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性 质，以及矩阵可逆的充分必要条件，理 解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求逆 矩阵； 4 掌握矩阵的初等变换，了解初等阵的 性质和矩阵等价的概念，理解矩阵秩的 概念，掌握用初等变换求矩阵的秩和逆 矩阵的方法； 5 了解分块矩阵及其运算。
问：何时能交换？何时能消去？
逆矩阵：
• 如A、B是同阶方阵，AB=BA=E， 则称A是B的逆矩阵
（注：只要AB=E或BA=E）
伴随阵：
A A ji ，其中 A a ij , Aij
是 aij 的代数余子式
换位阵: Pij
1
1
0
1
(i)
1
1
1
0
(
j)
1
1
注意
考点总结
• 矩阵运算(含分块,逆运算和 矩阵方程)
• 初等阵与初等变换 • 矩阵的秩
概念
单位阵；对角阵；数量阵；（上、下）三 角阵；（反）对称阵；逆矩阵;、伴随阵 ; 初等阵;初等变换：（1）换位；（2）倍法； （3）消去（注：左（右）乘相应的初等阵相 当于进行相 应 的初等行（列）变换）；
矩阵等价; 矩阵的秩；矩阵的运算（加、数 乘、乘、转置）；矩阵的分块运算。
a b b
例：设
A
b b
a b
b a
，若
A
的伴随阵的秩
为 1，则必有
（A） a b 或 a 2b 0 ，
（B） a b 或a 2b 0
（C） a b 且 a 2b 0 ， （D） a b 且 a 2b 0
10、如 A、B 是同阶阵，则秩（A） =秩（B） A 与 B 等价。
则 An
。
1 0 1
例、（99） A 0 2 0 ，n 2,
1 0 1
则 An 2An1
例、设 A 是 3 阶方阵，A =1/2， 求 (3 A) 1 2 A 。
例：若三阶阵 A，B 满足 A2B A B E ，
1 0 1
且 A 0 2 0 ，求B 。
2
0
1
例：设 为 3 维列向量，如
1 1 1
T
1
1
1 ，则
1 1 1
T
。
例、设 3 阶实矩阵 A aij ，满足：
（1） aij Aij , (i, j 1,2,3) ，
（2） a11 0 ，计算A 。
例、（94） (1,2,3), (1,1/ 2,1/ 3), A T ，
3．（
数三，4 分）设矩阵A
aij
满足
33
A* AT ，如 a11, a12.a13 为相等的正数，则
a11, a12 .a13 为
（A） 3 。（B）3。（C）1。（D） 3 。 3
04 年考题：
1． (数一、二)设 A 是三阶方阵，将 A 的第一，
二列互换得 B，将 B 的第二列加到第三列得 C，
0
0
0
0
0 1 0 0
A
0
0
1
0
，如何计算
A3
？
0 0 0 1
0
0
0
0
例：设 n(n 3) 阶矩阵
1
A
a
a
a 1 a
a
a 1
的秩为
n
1
则 a 必为
(A) 1; (B) 1/(1-n); (C) –1; (D) 1/(n-1)
分块运算
• 数乘 • 加法 • 乘法
• 分块后将每一块看成数，然后按一般矩阵进行 运算。
则满足 AQ C 的可逆阵 Q 为：
（A）
0 1
1 0
0 0
1 0 1
（C）
0 1
1 0
0 0
0 1 1
（B）
0 1
1 0
0 1
0 0 1
（D）
0 1
1 0
1 0
0 0 1
0
例、P1 1
1 0
0
1
0 ,P2 0
0 1
0 0
,
A
a11 a21
a12 a22
a13 a23 ，
例：若三阶阵 A，B 满足 AB 2 A B,
2 0 2
B 0 4 0 求( A E ) 1
2
0
2
基本题型:求逆矩阵
基本方法 （1）用定义； （2）用伴随矩阵（要注意符号和排列方式）； （3）初等变换； （4）用性质、结构（对角、次对角、
分块等） 、矩阵运算。
解矩阵方程：基本方法是初等变换.
3．（数三四，4 分）设 n 阶方阵 A，B 等价，则必有： （A） 当 A a, (a 0) 时， B a
（B） 当 A a, (a 0) 时， B a （C） 当 A 0 时， B 0 （D） 当 A 0 时， B 0
基本题型：
矩阵运算（加、数乘、乘、转置、伴随； 与行列式、向量等相结合）；
4. (kA)* k n1A*, (A*)* A n2 A 其中 A 为 n 阶可逆方阵。
5、 CA
0 B
1
A1 B1CA1
0 B1
，
0A
CB1
A1 0