2) β r +1 ,
, β n 线性无关. kr +1 β r +1 +
+ kn β n = 0
∴ (α 1 , α 2 ,
∵α1 , α 2 , ∴ β r +1 ,
设
, α n )( kr +1 xr +1 +
+ kn xn ) = O
, α n 线性无关，xr +1 , , β n 线性无关.
若 rank ( A) = r , 则 dim KerT = n − r ; dim Im T = r .
证明： dim Ker T = n − r ; 1. ∵ rank ( A) = r , ∴ AX = O 解空间维数为n-r. 设xr+1,…, xn 为解空间的一个基，即线性方程的一个 基础解系.令 β j = (α 1 , α 2 ,
, α n ) x j , j = r + 1,
,n
,n
即β j 在基 α 1 , α 2 ,
, α n 下的坐标为 x j .
1) β j ∈ Ker T , j = r + 1,
3
T ( β j ) = T (α 1 , α 2 , , α n ) x j = (α 1 , α 2 , , α n ) Ax j = O
4
, α n ) y0
= (α 1 , α 2 ,
, α n ) Ay0
, α n 线性无关， ∴ Ay0 = O 即 y0 为 AX =O的解，从而有
∵α1 , α 2 ,
y0 =
j = r +1
∑kx
j
n
j
∴ α = (α 1 , α 2 , = (α 1 , α 2 , =
n j = r +1 j 1
3) ∀α ∈ Ker T , k ∈ F ,
有 T ( kα ) = kT (α ) = kO = O .
问：像空间和核空间的维数分别为多少？
2
定理：设 α 1 , α 2 ,
T (α 1 , α 2 ,
, α n 是n 维线性空间V的一个基，
, αБайду номын сангаасn ) = (α 1 , α 2 ,
,α n ) A
i =1
r
i =1
6
设 k1T ( β 1 ) +
T ( k1 β 1 +
+ kr T ( β r ) = 0, 则有 + kr β r ) = 0,
+ kr β r ∈ Ker T , 从而可由 β r +1 , + k r β r = k r +1 β r + 1 + + k r β r − k r +1 β r +1 − + kn β n − kn β n = 0
为V 的一个基，即 ∀α ∈V 有 α =
n
∵ β r +1 ,
∑a β ,
i =1 i i
n
β = T (α ) = ∑ aiT ( β i ) = ∑ aiT ( β i ) ∈ Im T ,
即 Im (T ) 中任意向量可由T(βi)线性表示，i=1,2,…,r. 下面只需证T(βi)线性无关即可.
7
注： dim ImT = r 等于T 的秩， 1) dim KerT 称为T 的亏， 则n维线性空间的任一线性变换的亏与秩之和恰好为n.
2) 和空间 Im T + Ker T 一般不是直和.
例：设 D 是 R 上线性空间 P[x]4 的微分线性变换 求：1) Im D和 Ker D； 2) Im D + Ker D是否是直和? 解：方法一： P[x]4 的自然基为：1, x , x 2 , x 3 . D(1) = 0, D( x ) = 1, D( x 2 ) = 2 x , D( x 3 ) = 3 x 2
, xn 线性无关，
3) ∀α ∈ Ker T , α 可由 β r +1 ,
, β n 线性表示.
⎡ y1 ⎤ ⎢y ⎥ ⎢ 2 ⎥ = (α , α , α = (α 1 , α 2 , , α n ) 1 2 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ yn ⎥ ⎣ ⎦ 则 O = T (α ) = T (α 1 , α 2 , , α n ) y0
, α n ) y0
,α n )
2
∑ k (α , α
j = r +1
∑kx
j
n
j
,
,α n ) x j =
j = r +1
∑kβ
j
n
j
.
由 1), 2), 3) 可知 β r +1 ,
5
, β n 为KerT 的一个基，
即 dim Ker T = n − r .
2) dim ImT = r
, β n 为 KerT ⊂ V 的一个基，由基的扩充 β 定理，必存在V中向量 β 1 , , β r 使 β 1 , , β r， r +1 , , β n
3) ∀α ∈ Im T , k ∈ F , ∃α ′ ∈V , 使 T (α ′ ) = α kα = kT (α ′ ) = T ( kα ′ ) ∈ Im T .
2. KerT 为V 的子空间：
1) T ( O ) = O , ∴ O∈KerT, KerT为V的非空子集.
2) ∀α , β ∈ Ker T , 有 T ( α + β ) = T (α ) + T ( β ) = O + O = O ∴ α + β ∈ Ker T .
= (1, x , x 2 , x 3 ) Aei 2 3 = D(1, x , x , x )ei ∈ Im D, 下证 βi 线性无关. 设 k 2 β 2 + k 3 β 3 + k4 β 4 = 0
∵ 1, x , x 2 , x 3 为基 又 ∵ α 2 ,α 3 ,α 4 线性无关
A = (α1 , α 2 , α 3 , α 4 ), rank ( A) = 3
∴ k1 β 1 + k1 β 1 + k1 β 1 +
, βn
线性表示.
∵ β1 ,
, β n 为V 的基
∴ ki = 0, i = 1, 2,
n, 即T ( β i ) , i = 1, 2,
, r 线性无关.
推论：设T 是有限维线性空间V 的线性变换，则
dim Ker T + dim Im T = dim V
定义： 设T 是线性空间V 的线性变换，分别定义T 的核 KerT 与T 的像ImT
Ker T = {α ∈V T (α ) = 0} , Im T = {β ∈V ∃α ∈V 使T (α ) = β } .
性质： KerT 和ImT 均是V 的子空间，从而分别称为 T的核空间和像空间. 证明：1. ImT 为V 的子空间;
i = 2, 3, 4
(1, x , x 2 , x 3 ) ( k2α 2 + k3α 3 + k4α 4 ) = 0
∴ k2α 2 + k3α 3 + k4α 4 = 0 ∴ k 2 = k 3 = k4 = 0
∴ β 2 ,β 3 , β 4 线性无关 ∴ Im D = β 2 ,β 3 , β 4 ∵ Im D ⊆ P[ x ]3 , 且 dim Im D = 3 = dim P[ x ]3 , ∴ Im D = P[ x ] . 3
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方法二： Im D ⊆ P[ x ]3 ,
又∀f ( x ) = b0 + b1 x + b2 x 2 ∈ P[ x ]3 ,
b1 2 b2 3 ⎞ ⎛ = D ⎜ b0 x + x + x ⎟ ∈ Im D , 2 3 ⎝ ⎠
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∴ Im D = P[ x ]3 . 下面求 Ker D . 设 C ∈ R且C ≠ 0, D ( C ) = 0 ∴ C ∈ Ker D , 但 dim Ker D = 1 ∴ Ker D = C = R 2) 设 C ∈ R且C ≠ 0, C ∈ Ker D , 又C ∈ P[ x ]3 = Im D ∴不是直和. ∴ Im D ∩ Ker D ≠ {O} ,
D ( f ) = f ′( x)
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⎡0 ⎢0 D(1, x , x 2 , x 3 ) = 1, x , x 2 , x 3 ⎢ ⎢0 ⎢ ⎣0
(
)
1 0 0 0
0 2 0 0
0⎤ ⎥ 0⎥ 3⎥ ⎥ 0⎦
dim Ker D = 1, dim Im D = 3. 由定理可知： β i = (1, x , x 2 , x 3 )α i , i = 2, 3, 4
1
α + β = T (α ′ ) + T ( β ′ ) = T (α ′ + β ′ ) ∈ Im T .
1) T ( O ) = O ∈ Im T ∴ Im T 是非空子集. 2) ∀α , β ∈ Im T , ∃α ′, β ′ ∈V 使 T (α ′ ) = α，T ( β ′ ) = β .