四面体外接球的球心、半径求法
在立体几何中，几何体外接球是一个常考的知识点，对于学生来说这是一个难点，一方面图形不会画，另一方面在画出图形的情况下无从下手，不知道球心在什么位置，半径是多少而无法解题。

本文章在给出图形的情况下解决球心位置、半径大小的问题。

一、出现“墙角”结构利用补形知识，联系长方体。

【原理】：长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为c b a ,,，则体对角线长为
2
2
2
c b a l ++=，几何体的外接球直径R 2为体对角线长l 即2
2
22c b a R ++=
【例题】：在四面体ABCD 中，共顶点的三条棱两两垂直，其长度分别为3,61，，若该四面体的四个顶点在一个球面上，求这个球的表面积。

解：
因为：长方体外接球的直径为长方体的体对角线长 所以：四面体外接球的直径为AE 的长 即：22224AD AC AB R ++=
1663142
2
22=++=R 所以2=R 球的表面积为ππ1642==R S
二、出现两个垂直关系，利用直角三角形结论。

【原理】：直角三角形斜边中线等于斜边一半。

球心为直角三角形斜边中点。

【例题】：已知三棱锥的四个顶点都在球O 的球面上，BC AB ⊥且7=PA ，
5=PB ，51=PC ，10=AC ,求球O 的体积。

解：BC AB ⊥且7=PA ，5=PB ，51=PC ，10=AC , 因为22
2
10517=+ 所以知222PC PA AC +=
所以 PC PA ⊥ 所以可得图形为： 在ABC Rt ∆中斜边为AC 在PAC Rt ∆中斜边为AC 取斜边的中点O ，
在ABC Rt ∆中OC OB OA ==
在PAC Rt ∆中OC OB OP ==
所以在几何体中OA OC OB OP ===，即O 为该四面体的外接球的球心
52
1
==
AC R 所以该外接球的体积为3
500343π
π==R V
【总结】斜边一般为四面体中除了直角顶点以外的两个点连线。

三、出现多个垂直关系时建立空间直角坐标系，利用向量知识求解 【例题】：已知在三棱锥BCD A -中，ABC AD 面⊥，︒=∠120BAC ，
2===AC AD AB
解：由已知建立空间直角坐标系
)000(
，，
A )002(，，
B )200(，，D (C
设球心坐标为),,(z y x O 则DO CO BO AO ===,由空间两点间距离公式知
222222)2(z y x z y x ++-=++ 222222)2(-++=++z y x z y x 222222)3()1(z y x z y x +-+-=++
解得 13
3
1==
=z y x
A
C
C
y
所以半径为3
21
1331222=
++=）（
R 【结论】：空间两点间距离公式：2
21221221)()()(z z y y x x PQ -+-+-=
四、四面体是正四面体
处理球的“内切”“外接”问题
与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接。

作为这种特殊的位置关系在高考中也是考查的重点，但同学们又因缺乏较强的空间想象能力而感到模糊。

解决这类题目时要认真分析图形，明确切点和接点的位置及球心的位置，画好截面图是关键，可使这类问题迎刃而解。

一、棱锥的内切、外接球问题
例1.正四面体的外接球和内切球的半径是多少？
分析：运用正四面体的二心合一性质，作出截面图，通过点、线、面关系解之。

解：如图1所示，设点O 是内切球的球心，正四面体棱长为a ．由图形的对称性知，点O 也是外接球的球心．设内切球半径为r ，外接球半径为R ．
正四面体的表面积22
34
34a a S =⨯
=表． 正四面体的体积222212
34331BE AB a AE a V BCD A -=⨯⨯=
- 322212
233123a a a a =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=
BCD A V r S -=⋅表31
，a a
a
S V r BCD
A 1263122332
3
=⨯==∴-表
在BEO Rt ∆中，2
22EO BE BO +=，即22
233r a R +⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=，得a R 46=，得r R 3= 【点评】由于正四面体本身的对称性可知，内切球和外接球的两个球心是重合的，为正四面体高的四等分点，即内切球的半径为
4h ( h 为正四面体的高)，且外接球的半径4
3h
，从而可以通过截面图中OBE Rt ∆建立棱长与半径之间的关系。

例2．设棱锥ABCD M -的底面是正方形，且MD MA =，AB MA ⊥，如果AMD ∆的面积为1，试求能够放入这个棱锥的最大球的半径.
解： ⊥∴⊥⊥AB MA AB AD AB ,, 平面MAD ，
图2
图1
由此，面⊥MAD 面AC .记E 是AD 的中点， 从而AD ME ⊥.⊥∴ME 平面AC ，EF ME ⊥
设球O 是与平面MAD 、平面AC 、平面MBC 都相切的球.如图2，得截面图MEF ∆及内切圆O
不妨设∈O 平面MEF ，于是O 是MEF ∆的内心. 设球O 的半径为r ，则MF
EM EF S r MEF
++=
∆2，设a EF AD ==,1=∆AMD S .
2
22,2⎪⎭
⎫
⎝⎛+==∴a a MF a EM ,122
222222
2
2-=+≤
⎪
⎭
⎫
⎝⎛+++=
a a a a r
当且仅当a
a 2
=
，即2=a 时，等号成立. ∴当2=
=ME AD 时，满足条件的球最大半径为12-.
练习：一个正四面体内切球的表面积为π3，求正四面体的棱长。

（答案为：2） 【点评】根据棱锥的对称性确定内切球与各面的切点位置，作出截面图是解题的关键。

二、球与棱柱的组合体问题 1． 正方体的内切球： 球与正方体的每个面都相切，切点为每个面的中心，显然球心为正方体的中心。

设正方体的棱长为a ，球半径为R 。

如图3，截面图为正方形
EFGH 的内切圆，得2
a
R =
； 2． 与正方体各棱相切的球：球与正方体的各棱相切，切点为各棱的中点，如图4作截面图，圆O 为正方形EFGH 的外接圆，易得a R 2
2
=。

3． 正方体的外接球：正方体的八个顶点都在球面上，如图5，以对角面1AA 作截面图得，圆O 为矩形C C AA 11的外接圆，易得a O A R 2
3
1=
=。

例3.在球面上有四个点P 、A 、B 、C .如果PA 、PB 、PC 两两互相垂直，且
a PC PB PA ===,那么这个球的表面积是______.
图3
图4
图5
解：由已知可得PA 、PB 、PC 实际上就是球内接正方体中交于一点的三条棱，正方体的对角线长就是球的直径，连结过点C 的一条对角线CD ，则CD 过球心O ，对角线
a CD 3= 22
3234a a S ⋅=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛⋅=∴ππ球表面积
练习：一棱长为a 2的框架型正方体，内放一能充气吹胀的气球，求当球与正方体棱适好接触但又不至于变形时的球的体积。

（答案为()
3
3
2
624
3
a a V =
=
） 4．构造直三角形，巧解正棱柱与球的组合问题
正棱柱的外接球，其球心定在上下底面中心连线的中点处，由球心、底面中心及底面一顶点构成的直角三角形便可得球半径。

例 4.已知三棱柱111C B A ABC -的六个顶点在球1O 上，又知球2O 与此正三棱柱的5个面都相切，求球1O 与球2O 的体积之比与表面积之比。

分析：先画出过球心的截面图，再来探求半径之间的关系。

解：如图6，由题意得两球心1O 、2O 是重合的，过正三棱柱的一条侧棱1AA 和它们的球心作截面，设正三棱柱底面边长为a ，则a R 6
3
2=
，正三棱柱的高为a R h 3
3
22=
=，由O D A Rt 11∆中，得 22
2
222
2
1125
633333a a a R a R =⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=，
a R 12
5
1=
∴ 1:5::2
22121==∴R R S S ，1:55:21=V V
练习：正四棱柱1111D C B A ABCD -的各顶点都在半径为R 的球面上，求正四棱柱的侧面积的最大值。

（答案为：2
24R ）
【点评】“内切”和“外接”等有关问题，首先要弄清几何体之间的相互关系，主要是指特殊的点、线、面之间关系，然后把相关的元素放到这些关系中解决问题，作出合适的截面图来确定有关元素间的数量关系，是解决这类问题的最佳途径。

勾股定理知，假设正四面体的边长为a 时，它的外接球半径为
a 4
6。

图6。