2013年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（湖南卷）本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分，时量120分钟，满分150分。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数()()1z i i i =+ 为虚数单位在复平面上对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】 B【解析】 z = i ·(1+i) = i – 1,所以对应点(-1,1).选B 选B2.某学校有男、女学生各500名.为了解男女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是A ．抽签法B ．随机数法C ．系统抽样法D ．分层抽样法【答案】 D 【解析】 因为抽样的目的与男女性别有关，所以采用分层抽样法能够反映男女人数的比例。

选D3.在锐角中ABC ∆，角,A B 所对的边长分别为,a b .若2sin ,a B A 则角等于 A ．12π B ．6π C ．4π D ．3π 【答案】 D【解析】 3=A 223=sinA sinB 3 = sinB 2sinA :得b 3=2asinB 由ππ⇒<⇒⋅⋅A ， 选D4.若变量,x y 满足约束条件211y xx y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，2x y +则的最大值是A ．5-2B ．0C ．53D ．52【答案】 C【解析】 区域为三角形，直线u = x + 2y 经过三角形顶点最大时，35)32,31(=u 选C5.函数()2ln f x x =的图像与函数()245g x x x =-+的图像的交点个数为A ．3B ．2C ．1D ．0【答案】 B【解析】 二次函数()245g x x x =-+的图像开口向上，在x 轴上方，对称轴为x=2，g(2) = 1； f(2) =2ln2=ln4>1.所以g(2) < f(2), 从图像上可知交点个数为2选B6. 已知,a b 是单位向量，0a b =.若向量c 满足1,c a b c --=则的取值范围是A ．⎤⎦B ．⎤⎦C ．1⎡⎤⎣⎦D ．1⎡⎤⎣⎦【答案】 A 【解析】的向量与即一个模为单位2.1|-)(||-|,2||向量，是,=+=-=+∴ 的模为1，可以在单位圆中解得12||1-2+≤≤c 。

选A7．已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能．．．等于A ．1BC ．2 D ．2【答案】 C【解析】 由题知，正方体的棱长为1，121-2.]2,1[]2,1[1<而上也在区间上，所以正视图的面积，宽在区间正视图的高为。

选C8.在等腰三角形ABC 中，=4AB AC =，点P 是边AB 上异于,A B 的一点，光线从点P 出发，经,BC CA 发射后又回到原点P （如图1）.若光线QR 经过ABC ∆的中心，则AP 等 A ．2 B ．1C ．83D ．43【答案】 D【解析】 使用解析法。

).34,34(32).2,2(),0,(O O ABC D BC x P ∴∆处，在中线的的重心的中点设))1(3)12(4,)1(3)2(4()),1(34,0(34)34(,++++-⇒+-=k k k k Q k R x k y k RQ 则其方程为的斜率为设直线。

0)1)(12(1,0,)1(3)2(4)12(4,3)1(4=--⇒=⋅=++-++=-=k k k k k k k x k k k k k QP RP QP RP 由题知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⎩⎨⎧==⇒3421(01x k x k ，舍） 选D二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分.（一）选做题（请考生在第9、10、11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题计分）9.在平面直角坐标系xoy 中，若,3cos ,:(t )C :2sin x t x l y t a y ϕϕ==⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩为参数过椭圆 ()ϕ为参数的右顶点，则常数a 的值为 3 .【答案】 3 【解析】303)0,3(149,:22=⇒-=-⇒-=+-=a a y x C a x y l 的右顶点程：椭圆方方程直线10.已知222,,,236,49a b c a b c a b c ∈++=++则的最小值为 12 .【答案】 12【解析】 .考察柯西不等式12943631211))3()2(()111(2222222222≥++⇒=⋅+⋅+⋅≥++⋅++c b a c b a c b a ）（时，取最小值且当32,1,2===c b a .11.如图2O 中,弦,,2,AB CD P PA PB ==相交于点1PD O =，则圆心到弦CD 的距离为 .【答案】 23【解析】23)2(5,422=-===⇒⋅=⋅PC r d CD DC PC PC DP PB AP 的距离，圆心到由相交弦定理得（一） 必做题（12-16题） 12.若209,Tx dx T =⎰则常数的值为 3 .【答案】 3【解析】393330302=⇒===⎰T T x dx x TT13.执行如图3所示的程序框图，如果输入1,2,a b a ==则输出的的值为 9 .【答案】 9【解析】 922221=++++=a14．设12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两个焦点，P 是C 上一点，若216,PF PF a +=且12PF F ∆的最小内角为30 ，则C 的离心率为___。

【答案】3【解析】 设P 点在右支上，a n a m an m an m PF n PF m 2,426|,||,|21==⇒⎩⎨⎧=-=+==则23)3(4182441630cos :.302222121=+=⋅-+=︒︒=∠∆a c c a ac a c a F PF F PF 由余弦定理得中，由题知，3==⇒ace15．设n S 为数列{}n a 的前n 项和，1(1),,2nn n n S a n N *=--∈则 （1）3a =_____；（2）12100S S S ++⋅⋅⋅+=___________。

【答案】3【解析】 设P 点在右支上，a n a m a n m an m PF n PF m 2,426|,||,|21==⇒⎩⎨⎧=-=+==则16．设函数(),0,0.x x x f x a b c c a c b =+->>>>其中（1）记集合{}(,,),,M a b c a b c a =不能构成一个三角形的三条边长，且=b ，则(,,)a b c M ∈所对应的()f x 的零点的取值集合为__]10(，__。

【答案】 ]10(，【解析】ac x a c c a c c a x f a b a c a c x x x x x ln 2ln 2)(0]1)(2[2)(2,=⇒=⇒=-=-==+≥>，令由题知]10(ln 2ln ,0ln 2ln 2ln 2ln 02ln ln .2，又∈=∴>≥⇒>≥≥⇒ax a a c a c 。

所以f(x)的零点集合为]10(，（2）若,,a b c ABC ∆是的三条边长，则下列结论正确的是 ①②③ .（写出所有正确结论的序号） ①()(),1,0;x f x ∀∈-∞>②,,,x x x x R xa b c ∃∈使不能构成一个三角形的三条边长；③若()()1,2,0.ABC x f x ∆∃∈=为钝角三角形，则使【答案】 ①②③ 【解析】1)()(1)()(),1,(,1,1],1)()[()(11>-+=-+>-+-∞∈∀∴<<-+=ccb ac b c a c b c a x c b c a c b c a c x f x x x x x 1所以①正确。

.2,1,1,2,1,1边长不能构成三角形的三条则令=======x x x c b a c b a x 所以②正确。

0-)2(,0)1(;0-222222<+=>-+=<+c b a f c b a f c b a ，则令若三角形为钝角三角形0)(),2,1(=∈⇒x f x 使。

所以③正确。

三、解答题：本大题共6小题，共75分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（本小题满分12分） 已知函数2()sin()cos().()2sin 632xf x x xg x ππ=-+-=。

（I ）若α是第一象限角，且()f α=()g α的值； （II ）求使()()f x g x ≥成立的x 的取值集合。

【答案】 （I ）51 （II ）Z k k k ∈+],322,2[πππ 【解析】 （I ）533sin 3)(sin 3sin 23cos 21cos 21sin 23)(==⇒=++-=ααf x x x x x x f . 51cos 12sin 2)(,54cos )2,0(,53sin 2=-===⇒∈=⇒ααααπααg 且（II ）21)6sin(cos 21sin 23cos 1sin 3)()(≥+=+⇒-≥⇒≥πx x x x x x g x f Z k k k x k k x ∈+∈⇒++∈+⇒],322,2[]652,62[6ππππππππ.(完)18．（本小题满分12分）某人在如图4所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点（指纵、横的交叉点记忆三角形的顶点）处都种了一株相同品种的作物。

根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量（I ）从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率； （II ）从所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望。

【答案】 （Ⅰ） 92=p （Ⅱ）46)(=Y E 【解析】 (Ⅰ) 由图知，三角形边界共有12个格点,内部共有3个格点.从三角形上顶点按逆时针方向开始，分别有0,0,1,1,0,1,1,0,0,1,2,1对格点，共8对格点恰好“相近”。

所以，从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，它们恰好“相近”的概率923128=⋅=P（Ⅱ）三角形共有15个格点。

与周围格点的距离不超过1米的格点数都是1个的格点有2个，坐标分别为(4,0),(0,4)。

154)51(==Y P 所以与周围格点的距离不超过1米的格点数都是2个的格点有4个，坐标分别为(0,0),(1,3), (2,2),(3,1)。

154)48(==Y P 所以与周围格点的距离不超过1米的格点数都是3个的格点有6个，坐标分别为(1,0),(2,0), (3,0),(0，1,) ,(0，2),(0，3,)。