《对数与对数运算》(第一课时)(人教A版普通高中课程标准实验教科书数学必修1第二章第二节)一、教学内容解析《对数与对数运算》选自人教A版高中数学必修一第二章,共分两小节,第一小节主要内容是对数的概念、对数式与指数式的互化,第二小节内容是对数的运算性质,本课时为第一小节内容.16、17世纪之交,随着天文、航海、工程、贸易以及军事的发展,改进数字计算方法成为当务之急.苏格兰数学家纳皮尔正是在研究天文学的过程中,为了简化其中的计算而发明了对数.与传统教科书相比,教材从具体问题引进对数概念,加强了对数的实际应用与数学文化背景,强调“对数源于指数”以及指数运算与对数运算的互逆关系,将对数安排在指数运算及指数函数之后进行学习,实现对数与原有知识体系的对接,有利于学生学习时发现与论证对数的运算性质.基于以上分析,本课时的教学重点是:对数概念的理解以及指数式与对数式的互化.二、教学目标设置1.感受引入对数的必要性,理解对数的概念;2.能够说出对数与指数的关系,能根据定义进行互化和求值;3.感受数学符号的抽象美、简洁美.本课时落实以上三个教学目标:通过“推断化石年代”和“解指数方程”两个实例,认识到引入对数,研究对数是基于实际需求的。
根据底数、指数与幂之间的关系,通过“知二求一”的分析,引导学生借助指数函数图象,分析问题中幂指数的存在性,以及为了表示指数的准确值,引入了对数符号,从而引出对数概念.通过图示连线,对指数式和对数式中各字母进行对比分析,来认识对数与指数的相互联系;利用指数式与对数式的互化,来帮助学生理解对数概念,体会转化思想在对数计算中的作用.对数源于指数,本课时中,对数问题往往回归本源,转化为指数问题来解决,因而要在理解对数概念的基础上学会互化和求值.恰当的数学符号,对数学发展起着巨大的推动作用,对数符号抽象而简洁,学生需要在不断的学习中逐渐体验对数符号的重要性.三、学生学情分析1.认知基础从运算的角度来讲,加、乘、乘方运算中只有乘方的逆运算对数运算还没有学习.从函数的角度来说,高一的学生刚刚学习了集合、函数的概念、函数的表示方法和函数的一般性质,对函数有了初步的认识,在此基础上又学习了指数运算和指数函数,了解了研究函数的一般方法,经历过从特殊到一般,具体到抽象的研究过程,之后将在学习对数的基础上继续学习对数函数.2.问题诊断对数的概念对于学生来说,是全新的.形式地进行指数式与对数式之间的互化是容易的,在真正理解对数概念的基础上进行解题是有一定难度的,表现在两个方面:(1)不能将对数与普通的数平等对待,不理解对数的概念,只能够进行表面上的形式转换;(2)不能把“对数的实质是指数”应用在数学问题的解决中.基于以上分析,本节的教学难点是:(1)对数概念的理解;(2)对数的常用性质的概括.为了突破第一个难点,要在引入对数概念时,通过不同的实例,让学生感受到为什么要学习对数,是基于研究指数的需求才引入对数,因此对数的实质是指数;在形成概念时,要引导学生明确“对数是数”这一事实;在引入对数概念后,学生通过自主举例,具体感知个例,从对数概念外延的角度进行理解.本节的第二个难点是:“0和负数没有对数”这一性质的深入认识.在教学中最明显的例证是涉及到求定义域时,看到对数符号,不能如同看到分母一样,瞬间闪现出真数要大于0的限制,因此应该在学习对数伊始,就打好“0和负数没有对数”的认识基础.为了突破第二个难点,不要急于将现成的结论抛出,可以让学生在自主举例(感受个例)的基础上,尝试思考(分析通例)对数中的底数和真数可以取什么样的数,引导学生思考是不是所有的实数都有对数,哪些数有对数?为什么?通过互化和求值的练习,让学生逐渐地从内涵和外延两方面加深对数概念的理解.四、教学策略分析本节教学中,学习对数概念的过程就是认识的辨证发展过程:从实践到认识:通过具体情境,具体问题,具体对数的体验感知,遵循从具体到抽象的过程,来建立对数概念,从概念内涵的角度学习;再实践:形成概念之后,遵循从一般到特殊的思路,进行自主举例,感知个例,从概念外延的角度加深概念理解;再认识:理性分析通例(思考底数和真数的范围),又从特殊到一般进行概念的再认识;循环往复:在随后的练习巩固中,认识两种特殊的对数(常用对数和自然对数)和两种特殊的对数值(1的对数和底数的对数),来获得基于对数概念的运算性质,从而丰富学生对于对数概念的认知.突破难点的策略为:旧知新悟,适度模仿,归纳概括,自主举例.五、教学过程设计1.对数概念的形成1.1创设情境,引发思考【实际情境】网上的一则消息:有驴友挖到几枚恐龙蛋,送到权威机构做了碳14同位素鉴定,结果是白垩纪的恐龙蛋化石,现坐等博物馆上门收购.生物死亡后,它机体内原有的碳14含量,每经过大约6000年,会衰减为原来的一半,这个时间称为“半衰期”,研究人员常常根据机体内碳14的含量来推断生物体的年代,其中半衰次数x与碳14的含量P间的关系为:1()2x P.但是,当生物组织内的碳14含量低于千分之一时(这里我们按11024来计算),一般的放射性探测器就测不到碳14了.众所周知,恐龙生活在距今大约一亿年前的地球上,那么用碳14同位素法能推断出恐龙蛋化石的年代吗?问题1:(1)经过1次半衰期,碳14的含量会变为原来的多少?3次呢?(2)经过几次半衰期,一般的放射性探测器就测不到碳14了呢?(3)用碳14同位素法能推断出恐龙蛋化石的年代吗?【预设的答案】12,18;10;不能【设计意图】对数概念不是凭空产生的,用考古鉴定这一实例,让学生感受“求指数”这样的问题是客观存在的,是源于实际生活的.【数学情境】解方程:(1)2x=2;(2)2x=3;(3)2x=4.【设计意图】创设数学情境,通过指数方程的实例,让学生感受在数学学习中,“求指数”这样的问题也是存在的,有必要研究这一类问题.问题2:以上几个问题的共同特征是什么?【活动预设】引导学生归纳概括出问题的共同特征:已知底数和幂,求指数x .1.2探究典例,形成概念活动:解方程:(1)2x =2; (2)2x =3; (3)2x =4.【活动预设】感受在求指数的过程中,有的指数可以直接写出结果,有的指数却不好表示.【设计意图】为引入对数符号表示指数做铺垫.问题3:以引例中的2x =3为例,分析x 的值存在吗?如果存在,符合条件的x 的值有几个?能估计出x 的大致范围吗?【活动预设】(1)根据函数图象,思考等式2x =3中指数x 的存在性,唯一性和大致范围;(2)类比:在学习求方程x 3=2的根时,为了表示底数x ,引入了数学符号:√,表示3次方为2的数;这里,我们引入对数符号来表示指数x ,将x 记作log 23.【设计意图】从引例中的具体问题入手,思考指数x 的存在性,唯一性和大致范围,为了表示指数,引入对数符号,在具体问题中体验用对数符号表示指数的过程.问题4:结合方程2x =3来思考,x =log 23中log 23表示什么?【活动预设】(1)分析log 23表示的含义;(2)感受:以2x =4为例,分析指数x 可以怎样用对数符号表示,以及该符号表示什么. 教师讲授:若a x =N (a >0,a ≠1),那么数x 叫做以a 为底N 的对数,记作:N x a log ,其中a 叫做对数的底数,N 叫做真数.【设计意图】理解具体的对数符号所表示的含义,并且在探究特例的基础上,遵循从具体到抽象的思路,形成对数概念.问题5:指数式与对数式是等价的,但a ,x ,N 在两个式子中的名称一样吗?【预设的答案】此处画上连线图,呈现指数式与对数式之间的关系。
【设计意图】(1)体验对数式与指数式的互相转化;(2)理解两个式子从不同角度表示a ,x ,N 之间的关系;通过图示连线,认识a ,x ,N 在指数式与对数式中的名称.1.3具体感知,理性分析活动:自主举例的接龙活动.【活动要求】第一组每一排学生在四线三格中写出一个对数,其中底数与真数都是集合A 的元素; (集合A ={-1,0,1,2,3,4,5})第二组相应排学生说出这个对数的值或所表示的含义;第三组相应排学生说出对数式相应的指数式.【活动预设】如果出现真数为负数或0的情形,引导学生思考其合理性.【设计意图】在形成概念后,遵循从一般到特殊的思路,在实践活动中进行再认识,熟悉概念,从外延的角度加深概念的理解,为下一个环节作铺垫;同时也规范对数符号的书写.问题6:对数中底数和真数的范围分别是什么?【活动预设】引导学生回归指数,根据图象来判断底数、真数的范围.【设计意图】从感知个例到分析通例,遵循从特殊到一般的思路,在具体实践的基础上进行理性分析,认识底数与真数的取值范围,渗透“对数的本质是指数”这一思想,加深对数概念外延的理解,为后续对数函数的学习作铺垫.2.初步应用,理解概念例1 将下列指数式化为对数式,对数式化为指数式(1)3125log 5=; (2)4161log 2-=; (3)2100.01;(4)e 0=1(其中e=2.71828…).【预设的答案】(1)53=125;(2)2−4=116;(3)log 100.01=−2;(4)log e 1=0.【设计意图】(1)进行指数式与对数式的简单互化,熟悉指数式与对数式之间的转化.(2)认识两种特殊对数:常用对数和自然对数.例2 求值(其中a >0,a ≠1):(1)log 525;(2)log 2116; (3)lg1;(4)1log a ;(5)ln e ;(6)a a log .【预设的答案】(1)2;(2)-4;(3)0;(4)0;(5)1;(6)1.【设计意图】(1)利用对数概念以及对指互化求值,加深对数概念的理解;(2)从这个例题中归纳概括出性质:1log a =0,a a log =1.例3 求值:(1)若53log x 2(其中x >0,x ≠1),求x 的值;(2)4log 8;(3)3log 24.【预设的答案】(1)√35;(2)23;(3)9. 【设计意图】在解题中加深对概念的理解,形成解题的基本思路:对数问题指数化;形成解题的基本技能:恰当设数,变对数式为指数式,然后利用指数的相关知识解题.3.归纳小结,文化渗透思考:对于N a log ,应该怎样正确读,规范写,它的含义是什么?【活动预设】(1)归纳小结;(2)欣赏诗歌:我为自己代言(对数版)你只看到我源于指数,却没看到我比指数早一步来到这世上。
你有你的迷茫,我有我的规则。
你否定我的可爱,伽利略说,“给我时间、空间以及对数,我就可以创造一个宇宙。
”你嘲笑我面目可憎晦涩难懂,我恳请你靠近一点再多读我一遍。
懂我,是场注定孤独的旅行,路上少不了探索与思考。