数学物理方程第二版答案第一章． 波动方程§1 方程的导出。

定解条件4. 绝对柔软逐条而均匀的弦线有一端固定，在它本身重力作用下，此线处于铅垂平衡位置，试导出此线的微小横振动方程。

解：如图2，设弦长为l ，弦的线密度为ρ，则x 点处的张力)(x T 为)()(x l g x T -=ρ且)(x T 的方向总是沿着弦在x 点处的切线方向。

仍以),(t x u 表示弦上各点在时刻t 沿垂直于x 轴方向的位移，取弦段),,(x x x ∆+则弦段两端张力在u 轴方向的投影分别为)(sin ))(();(sin )(x x x x l g x x l g ∆+∆+--θρθρ其中)(x θ表示)(x T 方向与x 轴的夹角又 .sin x u tg ∂∂=≈θθ 于是得运动方程x u x x l t u x ∂∂∆+-=∂∂∆)]([22ρ∣xux l g x x ∂∂--∆+][ρ∣g x ρ利用微分中值定理，消去x ∆，再令0→∆x 得])[(22x ux l x g t u ∂∂-∂∂=∂∂。

5. 验证 2221),,(y x t t y x u --=在锥222y x t -->0中都满足波动方程222222y u x u t u ∂∂+∂∂=∂∂证：函数2221),,(yx t t y x u --=在锥222y x t -->0内对变量t y x ,,有二阶连续偏导数。

且t y x t tu⋅---=∂∂-23222)( 2252222322222)(3)(t y x t y x t t u ⋅--+---=∂∂--)2()(22223222y x t y x t ++⋅--=-x y x t xu⋅--=∂∂-23222)(()()22522223222223x y x t y xt xu ----+--=∂∂()()222252222y x t y x t -+--=-同理 ()()22225222222y x t y x t yu+---=∂∂-所以 ()().222222252222222tu y x t y x t yu xu ∂∂=++--=∂∂+∂∂- 即得所证。

§2 达朗贝尔公式、 波的传抪3.利用传播波法，求解波动方程的特征问题（又称古尔沙问题）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==∂∂=∂∂=+=-).()(0022222x u x u x u atu at x at x ψϕ ())0()0(ψϕ= 解：u(x,t)=F(x-at)+G(x+at) 令 x-at=0 得 )(x ϕ=F （0）+G （2x ） 令 x+at=0 得 )(x ψ=F （2x ）+G(0)所以 F(x)=)2(x ψ-G(0). G （x ）=)2(xϕ-F(0).且 F （0）+G(0)=).0()0(ψϕ= 所以 u(x,t)=(ϕ)2at x ++)2(atx -ψ-).0(ϕ 即为古尔沙问题的解。

8．求解波动方程的初值问题⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂==∂∂-∂∂==x t u u xt x u t u t t sin |,0sin 002222 解：由非齐次方程初值问题解的公式得τξξτααττd d d t x u t t x t x tx t x ⎰⎰⎰-+--+-+=0)()(sin 21sin 21),(=⎰----+---+-td t x t x t x t x 0))](cos())([cos(21)]cos()[cos(21ττττ=⎰-+td t x t x 0)sin(sin sin sin τττ=tt t x t x 0)]sin()cos([sin sin sin τττ-+-+ =x t sin 即 x t t x u sin ),(= 为所求的解。

§3混合问题的分离变量法 1. 用分离变量法求下列问题的解：(1)⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==<<-=∂∂=∂∂=∂∂==0),(),0()0()1(,3sin 022222t l u t u l x x x t u l x u x u a t u ot t π解：边界条件齐次的且是第一类的，令)()(),(t T x X t x u =得固有函数x ln x X n πsin)(=，且 t lan B t l an A t T n n n ππsin cos )(+=，)2,1(Λ=n于是 ∑∞=+=1sin )sin cos(),(n n n x ln t l an B t l an A t x u πππ今由始值确定常数n A 及n B ，由始值得∑∞==1sin 3sin n n x l n A l x ππ ∑∞==-1sin )(n n x l n B l an x l x ππ 所以 ,13=A ,0=n A 当3≠n⎰-=ln xdx l n x l x an B 0sin )(2ππ⎩⎨⎧ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=x l n x n l x l n n l x l n x n l l an πππππππcos sin cos 22222 )}))1(1(4cos 2sin 2443333222n lan l xl n n l x l n n x l --=--πππππ 因此所求解为∑∞=--+=1443sin sin )1(143sin 3cos ),(n n x l n t l an n a l x l t l a t x u πππππ(2) ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=∂∂==∂∂==∂∂-∂∂0)0,(,)0,(0),(0),0(022222x tux l h x u t l t ut u x u a t u 解：边界条件齐次的，令 )()(),(t T x X t x u =得：⎩⎨⎧='==+''0)(,0)0(0l X X X X λ (1)及 )2(02=+''X a T λ。

求问题(1)的非平凡解，分以下三种情形讨论。

ο1 0<λ时，方程的通解为xxe C eC x X λλ---+=21)(由0)0(=X 得021=+c c 由0)(='l X 得021=------lle C eC λλλλ解以上方程组，得01=C ，02=C ，故0<λ时得不到非零解。

ο2 0=λ时，方程的通解为x c c x X 21)(+=由边值0)0(=X 得01=c ，再由0)(='l X 得02=c ，仍得不到非零解。

ο30>λ时，方程的通解为x c x c x X λλsin cos )(21+=由0)0(=X 得01=c ，再由0)(='l X 得0cos 2=l c λλ为了使02≠c ，必须 0cos =l λ，于是2212⎪⎭⎫⎝⎛+==πλλl n n )2,1,0(Λ=n且相应地得到x ln x X n π212sin)(+= )2,1,0(Λ=n 将λ代入方程(2)，解得t a ln B t a l n A t T n n n ππ212sin 212cos)(+++= )2,1,0(Λ=n 于是 ∑∞=++++=0212sin )212sin 212cos(),(n n n x ln t a l n B t a l n A t x u πππ 再由始值得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=+=∑∑∞=∞=00212sin 2120212sin n n n n xl n B a l n x l n A x l hπππ 容易验证⎭⎬⎫⎩⎨⎧+x l n π212sin)2,1,0(Λ=n 构成区间],0[l 上的正交函数系： ⎪⎩⎪⎨⎧=≠=++⎰n m l nm xdx l n x l m l当当20212sin 212sin 0ππ利用⎭⎬⎫⎩⎨⎧+x l n π212sin正交性，得 xdx ln x l h l A ln π212sin 20+=⎰lx l n n l x l n x n l l h 022212sin )12(2212cos )12(22⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++-=ππππn n h)1()12(822-+=π0=n B所以 ∑∞=+++-=022212sin 212cos )12()1(8),(n n x l n t a l n n ht x u πππ 2。

设弹簧一端固定，一端在外力作用下作周期振动，此时定解问题归结为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂===∂∂=∂∂0)0,()0,(sin ),(,0),0(22222x t u x u t A t l u t u x u a t u ω 求解此问题。

解：边值条件是非齐次的，首先将边值条件齐次化，取t x lAt x U ωsin ),(=，则),(t x U 满足0),0(=t U ，t A t l U ωsin ),(=令),(),(),(t x v t x U t x u +=代入原定解问题，则),(t x v 满足)1()0,(0)0,(0),(,0),0(sin 222222⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=∂∂===+∂∂=∂∂x l A x t v x v t l v t v t x l A x v a t v ωωω),(t x v 满足第一类齐次边界条件，其相应固有函数为x ln x X n πsin)(=，)2,1,0(Λ=n 故设 )2(sin)(),(1∑∞==n n x ln t T t x v π将方程中非齐次项t x l A ωωsin 2及初始条件中x l A ω-按⎭⎬⎫⎩⎨⎧x l n πsin 展成级数，得 ∑∞==12sin )(sin n n x l n t f t x l A πωω 其中 ⎰=ln xdx ln t x l A l t f 02sin sin 2)(πωωlx l n n l x l n x n l t l A 022222sin cos sin 2⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-=ππππωω x l A t n A n ωωπω--=+sin )1(212x ln n n πψsin1∑∞== 其中 n ln n A xdx l n x l A l )1(2sin 202-=-=⎰πωπωψ 将(2)代入问题(1)，得)(t T n 满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-='=-=⎪⎭⎫⎝⎛+''+nn n n nnn A T T t n A t T l an t T )1(2)0(,0)0(sin )1(2)()(122πωωπωπ解方程，得通解2212)(sin )1(2sin cos )(ϖπϖπϖππ-⋅-++=+lan tn A t l an B t l an A t T n n n n由始值，得0=n A222222231)(2)1(}))((2)1(2)1{(1l an al A l an n l A n A an B n n n n ϖπϖϖππϖπϖπ--=----=+ 所以 ∑∞=--=122sin )()(2)1({),(n n t l an l an al A t x v πϖπϖx l n t n l an l A n πϖπϖπϖsin }sin 1)()(2)1(22221⋅--++x l n t n l t l an a l an l A n πϖπϖπϖπϖsin }sin sin {)()()1(21222∑∞=---=因此所求解为∑∞=--+=1222)()()1(2sin ),(n l an l A t x l A t x u ϖπϖϖx ln t nt l t l an a πϖϖπsin }sin sin{-⨯ 3．用分离变量法求下面问题的解⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===∂∂=+∂∂=∂∂====0||0||00022222l x x t t u u t u u bshx x u a t u 解：边界条件是齐次的，相应的固有函数为 ),2,1(sin)(Λ==n x ln x X n π设 ∑∞==1sin)(),(n n x ln t T t x u π 将非次项bshx 按}{sinx ln π展开级数，得 ∑∞==1sin)(n n x ln t f bshx π 其中 shl bn l n xdx l n shx l b t f n ln πππ2)1(sin 2)(2221+-==+⎰ 将 ∑∞==1sin)(),(n n x ln t T t x u π代入原定解问题，得)(t T n 满足 ⎪⎩⎪⎨⎧='=+-=+''+0)0(,0)0(2)1()()()(22212n n n n n T T shl l n bn t T l an t T πππ 方程的通解为shl ln bn an l t l an B t l an A t T n n n n 12222)1(2)(sin cos)(+-+⋅++=πππππ 由0)0(=n T ，得：shl ln bn an l A n n 12222)1(2)(+-+-=πππ 由0)0(='n T ，得0=n B所以 )cos 1()1(2)1()(12222t lan shl l n bn an t T n n ππππ--+=+ 所求解为∑∞=+-+-=1222122sin )cos 1()()1(2),(n n x l n t l an l n n shl a bl t x u ππππ §4 高维波动方程的柯西问题1． 利用泊松公式求解波动方程 )(2zz yy xx tt u u u a u ++=的柯西问题 ⎪⎩⎪⎨⎧=+===00230t t t u zy x u解：泊松公式ds r a ds r a t u Sat M Sat M ⎰⎰⎰⎰+⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧∂∂=ψπφπ4141 现 z y x 23,0+==φψ且 ⎰⎰⎰⎰=Φ=Φππϕθθϕθ020|sin ),,(at r s d d r r ds r Mat其中 )cos ,sin sin ,cos sin (),,(θϕθϕθϕθr z r y r x r +++Φ=Φ )cos ()sin sin ()cos sin (23θϕθϕθr z y r x ++++=ϕθϕθϕθ332222223cos sin cos sin 3cos sin 3r xr r x z y x ++++=θϕθϕθcos sin sin sin sin 2222r y rz yzr +++ θϕθϕθθcos sin sin sin cos sin 2232r yr ++计算⎰⎰Φππϕθθϕθ020sin ),,(d d r r)(4)cos (2)(sin )(2302002323z y x r z y x r d d r z y x +=-⋅+=+⎰⎰πθπψθθπππ⎰⎰⎰⎰==⋅ππππϕϕθθϕθθϕθ0202022220cos sin3sin cos sin 3d d rx d d r r x⎰⎰⎰⎰=⋅ππππϕϕθθϕθθϕθ02020233222cos sin 3sin cos sin 3d d xrd d r xr ππφφθθ20033]2sin 412[]cos cos 31[3+⋅-=xr ϕθθϕθπππd d r r xr sin cos sin 4330203⋅=⎰⎰3320444cos sin xr d d rπϕϕθθππ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰==⋅ππππϕϕθθϕθθϕθ020220200sin sin2sin sin sin 2d d yzr d d r yzrz r z r d d rz d d r z r 3200332020302022234]2sin 412[]cos cos 31[sin sin sin sin sin πϕϕθθϕϕθθϕθθϕθππππππ=-⋅-==⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰==⋅ππππϕθθθϕθθθ0202202020sin cos sin cos d d r y d d r r y⎰⎰⎰⎰==⋅⋅ππππϕϕθθθϕθθϕθθ20230202sin cos sin 2sin sin sin 2d d yr d d r coc yr⎰⎰⎰⎰=⋅=⋅ππππϕϕθθθϕθθθϕθ0202340202230sin cos sin sin cos sin sin d d r d d r r所以]31[4]344)(4[2222223322z t a t xa z y x at z r r z y x r ds r SatMatr +++=+++=Φ⎰⎰=ππππu(x,y,z)=⎰⎰Φ⋅∂∂SatMr a t π41z t a x t a z y x z t a t xa z ty tx t 2222232232233]31[+++=+++∂∂=即为所求的解。