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初二数学培优题（一）
1．如图所示，已知△ABC中，点D为BC边上一点，∠1=∠2=∠3，AC=AE，（1）求证：△ABC≌△ADE；
E=∠CAD，求∠BC，且∠C的度数．（2）若AE∥
，∠DAE2，即∠BAC=，可得∠1+∠DAC=∠DAC+∠∠【分析】（1）由∠1=∠2=3≌ABC，已知AC=AE，即可证得：△∠3，则可得∠B=∠ADE1+又∠∠B=∠ADE+；ADE△
°，解x+4x+4x=180ABD中，可得）由题意可得，∠ADB=∠ABD=4x，在△（2答处即可；
，∠3）∵∠1=∠2=【解答】解：（1
（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个角的和），DAC+∠2DAC=∴∠1+∠∠，DAEBAC=∠即∠
，ADE∠3，则可得∠B=∠∠又∵∠1+B=∠ADE+
，ADE中在△ABC和△
；）（≌△∴△ABCADEAAS
文案．
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（2）∵AE∥BC，
∴∠E=∠3，∠DAE=∠ADB，∠2=∠C，
又∵∠3=∠2=∠1，令∠E=x，
则有：∠DAE=3x+x=4x=∠ADB，
又∵由（1）得AD=AB，∠E=∠C，
∴∠ABD=4x，
∴在△ABD中有：x+4x+4x=180°，
∴x=20°，
∴∠E=∠
C=20°．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，判定三角形全等是证明线段或角相等的重要方式，在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
2．如图，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD，AE=AC．
（1）证明：BC=DE；
（2）若AC=12，CE经过点D，求四边形ABCD的面积．
文案．
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【分析】（1）求出∠BAC=∠EAD，根据SAS推出△ABC≌△ADE，利用全等三角形的性质证明即可；
（2）由△ABC≌△ADE，推出四边形ABCD的面积=三角形ACE的面积，即可得
出答案；
【解答】（1）解：∵∠BAD=∠CAE=90°，
∴∠BAC+∠CAD=∠EAD+∠CAD，
∴∠BAC=∠EAD．
在△ABC和△ADE中，
∴△ABC≌△ADE（SAS）．
∴BC=DE
（2）∵△ABC≌△ADE，
∴S=S，ADE△ABC△
=×12=72+S+S∴S=S=S=S．2ACE△△ADE△ACD四边形ABCD△ABCACD△【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质和判定，并利用割补法求四边形ABCD的面积是解此题的关键，难度适中．
3．如图，在△ABC中，∠B=∠C，AB=8，BC=6，点D为AB的中点，点P在文案．
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线段BC上以每秒2个单位的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段CA上以每秒a个单位的速度由点C向点A运动，设运动时间为t（秒）（0≤t≤3）．（1）用含t的代数式表示线段PC的长；
（2）若点P、Q的运动速度相等，t=1时，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由．
（3）若点P、Q的运动速度不相等，△BPD与△CQP全等时，求a的
值．
的长度即可；的长度减去BCBP【分析】（1）用
的长即可判断；，CQ（2）求出PB
）根据全等三角形对应边相等，列方程即可得到结论．（3
；2t﹣BP=6﹣【解答】解：（1）PC=BC
，，CQ=2时，2）∵t=1PB=2（
，2=4﹣PC=BCPB=6﹣∴
，BD=AD=4∵
，∴PC=BD
，CQ=BP，∠∵∠C=B
文案．
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∴△QCP≌△PBD．
（3）∵点P、Q的运动速度不相等，
∴BP≠CQ，
又∵△BPD与△CPQ全等，∠B=∠C，
∴BP=PC，BD=CQ，
∴2t=6﹣2t，at=4，
a=．解得：t=，
【点评】本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
文案．
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4．如图1所示，AB=AD，AC=AE，
．∠2∠1=
．）求证：BC=DE（1
、分别为BCM、N）（2如图2，若的关系，并说明理由．与ANDE的中点，试确定AM
，根据ADE判断△ABC≌△BAC=∠DAE，利用SAS1【分析】（）根据题意证明∠全等三角形的性质证明；
即可．ADNABM≌△（2）根据全等三角形的性质得到BM=DN，证明△，∠2（1）证明：∵∠1=【解答】
．DAE．即∠BAC=∠DAC∴∠1+∠DAC=∠2+∠
中，ADE在△ABC与△
，
．≌△ADE∴△ABC
．∴BC=DE
；理由如下：AM=AN（2）
，ADE≌△由（1）△ABC
，D∠∴∠B=
文案．
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∵BC=DE，M、N分别为BC、DE的中点，
∴BM=DN，
在△ABM和△ADN中，
，
∴△ABM≌△ADN，
∴AM=AN．
【点评】本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
5．如图，△ABC中，D为AB的中点，AD=5厘米，∠B=∠C，BC=8厘米．（1）若点P在线段BC上以3厘米/秒的速度从点B向终点C运动，同时点Q 在线段CA上从点C向终点A运动，
①若点Q的速度与点P的速度相等，经1秒钟后，请说明△BPD≌△CQP；
②点Q的速度与点P的速度不相等，当点Q的速度为多少时，能够使△BPD≌△CPQ；
（2）若点P以3厘米/秒的速度从点B向点C运动，同时点Q以5厘米/秒的速度从点C向点A运动，它们都依次沿△ABC三边运动，则经过多长时间，点Q第一次在△ABC的哪条边上追上点P？
文案．
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【分析】（1）①根据等腰三角形的性质得到∠B=∠C，再加上BP=CQ=3，
PC=BD=5，则可判断△BPD与△CQP全等；
②设点Q的运动速度为xcm/s，则BP=3t，CQ=xt，CP=8﹣3t，当△BPD≌△CQP，则BP=CQ，CP=BD；然后分别建立关于t和v的方程，再解方程即可；（2）设经过x秒后，点Q第一次追上点P，由题意得5x﹣3x=2×10，解方程得到点P运动的路程为3×10=30，得到此时点P在BC边上，于是得到结果．【解答】解：（1）①∵BP=3×1=3，CQ=3×1=3，
∴BP=CQ，
∵D为AB的中点，
∴BD=AD=5，
∵CP=BC﹣BP=5，
∴BD=CP，
在△BPD与△CQP中，
，
∴△BPD≌△CQP；
②设点Q运动时间为t秒，运动速度为vcm/s，
∵△BPD≌CPQ，
∴BP=CP=4，CQ=5，
文案．
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t=，∴
=∴；v==
（2）设经过x秒后，点Q第一次追上点P，由题意得5x﹣3x=2×10，
解得：x=10，
∴点P运动的路程为3×10=30，
∵30=28+2，
∴此时点P在BC边上，
∴经过10秒，点Q第一次在BC边上追上点P．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，找准对应边是解题的关键．
6．如图，已知l∥l，射线MN分别和直线l，l交于A、B，射线ME分别和2121直线l，l交于C、D，点P在A、B间运动（P与A、B两点不重合），设∠PDB=21α，∠PCA=β，∠CPD=γ．
（1）试探索α，β，γ之间有何数量关系？说明理由．
（2）如果BD=3，AB=9，AC=6，并且AC垂直于MN，那么点P运动到什么位置时，△ACP≌△BPD说明理由．
（3）在（2）的条件下，当△ACP≌△BPD时，PC与PD之间有何位置关系，说明理由．
文案．
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，∠DPFlPF∥，故可得出∠α=作PF∥l，根据l∥l，可知）过点【分析】（1P2112，由此即可得出结论；∠CPF∠β=
，根据全等三角形的性质即可得到结论；⊥MN（2）根据平行线的性质得到BD 根据垂直的定义即可得到结论．DPB，根据全等三角形的性质得到∠ACP=∠（3）∠β，+）∠γ=α解：【解答】（1
，）l（如图1理由：过点P作PF∥1，ll∥∵21，lPF∥∴2，∠CPF∠DPF，∠β=∴∠α=
∠β；+∠CPF=α∠∴∠γ=DPF+
，BPDACP≌△（2）当AP=BD=3，△
，MN，lAC垂直于∥∵l21，⊥BDMN∴
°，PBD=90∴∠CAP=∠
，AB=9∵
文案．
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∴PB=6，
∴AC=PB，
中，，与△PBD在△CAP
，≌△BPD∴△ACP
；BPDAP=3时，△ACP≌△∴当
，PD）CP⊥（3
，ACP≌△BPD理由：∵△
，∠DPB∴∠ACP=
°，APC=90ACP+∵∠∠
°，DPB=90∴∠APC+∠
°，∴∠CPD=90
．PDCP∴⊥
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
文案．。