基于分离变量法的波导中的电磁波研究1 空间当中的电磁波在迅变情况下，电磁场以波动形式存在，电磁场的基本方程是麦克斯韦方程组，对于在0==J σ情况下的迅变场，麦克斯韦方程组为]4[⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫=⋅∇=⋅∇∂∂=⨯∇∂∂-=⨯∇00B D t D H t B E (1)为了便于求解，通常将（1）式化为⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=∂∂-∇=∂∂-∇010122222222t BcB t E c E (2) 必须指出的是，（2）式中第一式E 的三个分量X E ，y E ，z E 虽然是三个独立方程，但是其解却是相互关联的，因为（1）式到（2）式麦克斯韦方程变为二阶的麦克斯韦方程，故解的范围变大了。

为了使波动方程（2）的解是原方程（2）的解，必须是波动方程的解满足条件 0=⋅∇E 。

求解方程（1），即为求解⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫∂∂-=⨯∇=⋅∇=∂∂-∇t BE E t Ec E 0012222(3)(3)式在给定的边界条件下，可以求得定解. 对于定态电磁波，场量可以表示为t i e z y x E E ω-=),,( (4)考虑(4)式，(3)式可表示如下：⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⨯∇-==⋅∇=+∇E iB E E k E ω0022(5)设电磁波为时谐波，并考虑到关系H B μ=，由（5）式可得到z y x ,,三个分量的6个标量方程：x y xH i E yE ωμγ-=+∂∂ (6) y x zH i E xE ωμγ-=-∂∂-(7) z xy H i yE xE ωμ-=∂∂-∂∂ (8) x y zE i H yH ωεγ=+∂∂ (9) y x zE i H xH ωεγ=-∂∂-(10) z xy E i yH xH ωε=∂∂-∂∂ (11) 以上6个方程经过简单运算，可以将横向场分量y x y x H H E E ,,,用两个纵向场分量z z H E ,来表示，即：)(12yE i x H k H zz cx ∂∂-∂∂-=ωεγ(12) )(12x E i y H k H zz cy ∂∂+∂∂-=ωεγ (13) )(12y H i x E k E z z cx ∂∂+∂∂-=ωμγ (14) )(12x H i y E k E z z cy ∂∂-∂∂-=ωμγ (15) 式中222k k c +=γεμω=kTM 波的纵向场分量与横向场分量关系[]1为：yE k i H zc x ∂∂=2ωε (12*) x E k i H zcy ∂∂-=2ωε (13*) xE k E zcx ∂∂-=2γ (14*)y E k E zcy ∂∂-=2γ (15*)TE 波的纵向场分量与横向场分量关系为[]1：xH k H zcx ∂∂-=2γ (12+)yH k H zc y ∂∂-=2γ （13+）yH k i E zc x ∂∂-=2ωμ （14+） x H k i E zcy ∂∂=2ωμ （15+） 2 波导内的电磁场 2.1波导的几个假设这里所讨论的波导,有以下假设:波导的横截面沿z 方向是均匀的,即波导内的电场与磁场只与坐标y x ,有关,与z 无关;构成波导壁的导体是理想导体,即∞=σ;波导内的介质各向同性,并且0=σ;波导内的电磁场为时谐场,角频率为ω。

2.2矩形波导中的电磁波现在我们求解矩形波导中的电磁波解。

选一直角坐标系，如图１所示。

取波导内壁面为0=x 和a ，0=y 和b ；z 轴沿电磁波传播方向。

在一定频率下，管内电磁波是方程（5）的解。

次解在管壁上还满足边界条件0=⨯E n ]4[，即电磁场在管壁上的切向 分量为零。

由于电磁波沿z 轴方向传播，它应有传播因子t i ik z e ω-。

因此，我们把电场E 取为E (x,y,z)= E (x,y)z ik ze . (16)将（16）代入（5）式得()()()0,,222222=-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂y x E k k y x E y x z ]4[ (17) 用直角坐标分离变量]12[，设()y x u ,为电磁场的任一直角分量，它满足方程(17)。

设()y x u ,)()(y Y x X = (18) 从而方程（17）可以分解为两个方程0222=+X k dxX d x (19) 0222=+Y k dy Y d y (20) 2222k k k k z y x =++ (21) 求解方程（19）式和方程（20），得()y x u ,的特解()()y k D y k C x k D x k C y x u y y x x sin cos sin cos ),(2211++= (22)其中，1C ，1D ，2C ，2D 为任意实数，当()y x u ,具体表示E 某特定分量时，考虑边界条件0=⨯E n 及0=∂∂nE n，可以得到对这些常数的一些限制条件。

2.2.1矩形波导TM 波矩形波导的横截面如图1所示，波导内传播TM 波时，有0=z H 。

波导内的电磁场由z E 确定。

在给定波导管中，z E 满足下面的波动方程和边界条件]1[：02222222=+∂∂+∂∂+∂∂z z z z E k z E y E x E (23) 0,00====ax zx zE E (24)0,00====by zy zE E (25)由均匀波导中，设z z z e y x E z y x E γ-=),(),,( (26) 将（26）式代入方程（23）中，得0),(22222=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∂∂+∂∂y x E k y x z c (27) 其中222k k c +=γ为截止波数。

用分离变量法]12[求解。

其解为：()XY y x E z =, （28） 将式（28）代入方程（27）中，然后方程两边除以XY ，于是方程可分裂为两个常微分方程0222=+X k dxX d x （29） 0222=+Y k dyY d y (30) 且222c y x k k k =+方程（29）的通解为()x k D x k C X x x sin cos 11+=，并考虑边界条件（24）得am k x π=其中⋅⋅⋅=3,2,1m 故x a m C X πsin 1= （31） 同理，得方程（30）的通解为：()y k D y k C Y y y sin cos 22+=考虑边界条件式（25)得bn k y π=其中⋅⋅⋅=3,2,1n 故)sin(2y b n C Y π= 所以，得到矩形波导中TM 波的纵向场分量 z m z z z e y bn x a m E e y x E z y x E γγππ--==)sin()sin(),(),,( (32) 式中，21C C E m =由激励场源强度决定。

由式222c y x k k k =+得截止波数222222⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=+=b n a m k k k k yx c ππγ （33）利用式（12*）～（15*）可求得TM 波的其它横向场分量]1[z m cx e y b n x a m E a m k z y x E γπππγ--=)sin()cos()(),,(2（34） z m cy e y bn x a m E b n k z y x E γπππγ--=)cos()sin()(),,(2（35） z m cx e y b n x a m E b n k i z y x H γπππωε-=)cos()sin()(),,(2（36） z m cy e y b n x a m E a m k i z y x H γπππωε--=)sin()cos()(),,(2（37） 2.2.2 矩形波导TE 波对于TE 波，因为TE 波在传播方向上0=z E 。

故由式(12+)～(15+)可得TE 波的纵向场分量与横向场分量关系]1[为：xH k H zcx ∂∂-=2γ (38)yH k H zcy ∂∂-=2γ （39）y H k i E zcx ∂∂-=2ωμ （40） xH k i E zc y ∂∂=2ωμ （41） 故波导内的电磁场由z H 分量确定，在给定的矩形波导中，z H 满足下面的波动方程和边界条件：022=+∇z z H k H （42）0,00=∂∂=∂∂==ax z x zxH xH （43）0,00=∂∂=∂∂==by z y zyH yH （44）用分离变量法求解]12[，可以得到TE 波的纵向场分量)cos()cos(),(y bn x a m H y x H m z ππ= ⋅⋅⋅=3,2,1,0,n m （45） 式中m H 由激励场源决定。

将式（45）代入式（38）～（41）中，得：z m cx e y b n x a m H b n k i z y x E γπππωμ-=)sin()cos()(),,(2（46） z m cy e y b n x a m H a m k i z y x E γπππωμ--=)cos()sin()(),,(2（47） z m c x e y bn x a m H am k z y x H γπππγ-=)cos()sin()(),,(2（48） z m cy e y bn x a m H b n k z y x H γπππγ-=)sin()cos()(),,(2（49） 下面以TE 10模为例研究其分布其场分量为cos z ik zz x H e a π=sin z ik zz x ik a x H e aππ-=sinz ik z y i axE e aωμππ=由matlab 作图程序如下，取a=5cm ，b=3cm ，令z 为1cm w=10^11;u=4*pi*10^(-7); a=.05; b=.03;e=10^7/(4*pi*9*10^16); kz=sqrt(w^2*u*e-(pi/a)^2); x=(0:0.001:0.05); y=(0:0.001:0.03); [X,Y]=meshgrid(x,y);hz=cos(pi*X/a).*cos(kz*0.01);hx=sin(kz)*0.01*kz*(a/pi)*sin(pi*X/a); ey=-(w*a*u/pi)*sin(pi*X/a)*sin(kz*0.01); subplot(1,3,1) mesh(X,Y ,hz) subplot(1,3,2) mesh(X,Y ,hx) subplot(1,3,3) mesh(X,Y ,ey)下图波形依次为Hz 波，Hx 波，Ey 波基于Microsoft Visual Studio 2010编程实现施密特正交化设x 为向量空间m R 的子空间，且{21,,x x }为其基底，因此n m n X ≥=,dim 。