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九年级中考数学圆的综合解答题压轴题提高专题练习含详细答案

九年级中考数学圆的综合解答题压轴题提高专题练习含详细答案一、圆的综合1.如图1,已知扇形MON 的半径为2,∠MON=90°,点B 在弧MN 上移动,联结BM ,作OD ⊥BM ,垂足为点D ,C 为线段OD 上一点,且OC=BM ,联结BC 并延长交半径OM 于点A ,设OA=x ,∠COM 的正切值为y.(1)如图2,当AB ⊥OM 时,求证:AM=AC ;(2)求y 关于x 的函数关系式,并写出定义域;(3)当△OAC 为等腰三角形时,求x 的值.【答案】 (1)证明见解析;(2) 2=+y x 02<≤x 1422=x . 【解析】 分析:(1)先判断出∠ABM =∠DOM ,进而判断出△OAC ≌△BAM ,即可得出结论; (2)先判断出BD =DM ,进而得出DM ME BD AE =,进而得出AE =122x (),再判断出2OA OC DM OE OD OD==,即可得出结论; (3)分三种情况利用勾股定理或判断出不存在,即可得出结论.详解:(1)∵OD ⊥BM ,AB ⊥OM ,∴∠ODM =∠BAM =90°.∵∠ABM +∠M =∠DOM +∠M ,∴∠ABM =∠DOM .∵∠OAC =∠BAM ,OC =BM ,∴△OAC ≌△BAM , ∴AC =AM .(2)如图2,过点D 作DE ∥AB ,交OM 于点E . ∵OB =OM ,OD ⊥BM ,∴BD =DM . ∵DE ∥AB ,∴DM ME BD AE =,∴AE =EM .∵OM 2,∴AE =122x (). ∵DE ∥AB ,∴2OA OC DM OE OD OD ==, ∴22DM OA y OD OE x =∴=+,02x ≤<(3)(i)当OA=OC时.∵111222DM BM OC x===.在Rt△ODM中,222124OD OM DM x=-=-.∵2121224xDMyOD xx=∴=+-,.解得1422x-=,或1422x--=(舍).(ii)当AO=AC时,则∠AOC=∠ACO.∵∠ACO>∠COB,∠COB=∠AOC,∴∠ACO>∠AOC,∴此种情况不存在.(ⅲ)当CO=CA时,则∠COA=∠CAO=α.∵∠CAO>∠M,∠M=90°﹣α,∴α>90°﹣α,∴α>45°,∴∠BOA=2α>90°.∵∠BOA≤90°,∴此种情况不存在.即:当△OAC为等腰三角形时,x的值为1422-.点睛:本题是圆的综合题,主要考查了相似三角形的判定和性质,圆的有关性质,勾股定理,等腰三角形的性质,建立y关于x的函数关系式是解答本题的关键.2.如图,A、B两点的坐标分别为(0,6),(0,3),点P为x轴正半轴上一动点,过点A作AP的垂线,过点B作BP的垂线,两垂线交于点Q,连接PQ,M为线段PQ的中点.(1)求证:A、B、P、Q四点在以M为圆心的同一个圆上;(2)当⊙M与x轴相切时,求点Q的坐标;(3)当点P从点(2,0)运动到点(3,0)时,请直接写出线段QM扫过图形的面积.【答案】(1)见解析;(2) Q的坐标为(32,9);(3)63 8.【解析】(1)解:连接AM、BM,∵AQ⊥AP,BQ⊥BP∵△APQ和△BPQ都是直角三角形,M是斜边PQ的中点∴AM=BM=PM=QM= 12 PQ,∴A、B、P、Q四点在以M为圆心的同一个圆上。

(2)解:作MG⊥y轴于G,MC⊥x轴于C,∵AM=BM∴G是AB的中点,由A(0,6),B(0,3)可得MC=OG=4.5∴在点P运动的过程中,点M到x轴的距离始终为4.5则点Q到x轴的距离始终为9,即点Q的纵坐标始终为9,当⊙M与x轴相切时则PQ⊥x轴,作QH⊥y轴于H,HB=9-3=6,设OP=HQ=x由△BOP∽△QHB,得x2=3×6=8,x=3 2∴点Q的坐标为(32,9)(3)解:由相似可得:当点P在P1(2,0)时,Q1(4,9)则M1(3,4.5)当点P在P2(3,0)时,Q2(6,9),则M2(4.5,4.5)∴M1M2=92-3=32, Q1Q2=6-4=2线段QM扫过的图形为梯形M1M2Q2Q1其面积为:12×(32+2)×4.5=638.【解析】【分析】根据已知可得出三角形APQ和三角形BPQ都是直角三角形,再根据这个条件结合题意直接解答此题.【详解】(1)解:连接AM、BM,∵AQ⊥AP,BQ⊥BP∵△APQ和△BPQ都是直角三角形,M是斜边PQ的中点∴AM=BM=PM=QM= PQ,∴A、B、P、Q四点在以M为圆心的同一个圆上。

(2)解:作MG⊥y轴于G,MC⊥x轴于C,∵AM=BM∴G是AB的中点,由A(0,6),B(0,3)可得MC=OG=4.5∴在点P运动的过程中,点M到x轴的距离始终为4.5则点Q到x轴的距离始终为9,即点Q的纵坐标始终为9,当⊙M与x轴相切时则PQ⊥x轴,作QH⊥y轴于H,HB=9-3=6,设OP=HQ=x由△BOP ∽△QHB ,得x 2=3×6=8,x =3∴点Q 的坐标为(3 ,9) (3)解:由相似可得:当点P 在P 1(2,0)时,Q 1(4,9)则M 1(3,4.5)当点P 在P 2(3,0)时,Q 2(6,9),则M 2(4.5,4.5)∴M 1M 2= -3= , Q 1Q 2=6-4=2线段QM 扫过的图形为梯形M 1M 2Q 2Q 1其面积为:×(+2)×4.5=.【点睛】 本题主要考查学生根据题意能找到三角形APQ 和三角形BPQ 都是直角三角形,而且考验学生对相似三角形性质的运用,掌握探索题目隐含条件是解决此题的关键.3.如图,AB 为O 的直径,弦//CD AB ,E 是AB 延长线上一点,CDB ADE ∠=∠. ()1DE 是O 的切线吗?请说明理由;()2求证:2AC CD BE =⋅.【答案】(1)结论:DE 是O 的切线,理由见解析;(2)证明见解析.【解析】【分析】 (1)连接OD ,只要证明OD DE ⊥即可;(2)只要证明:AC BD =,CDB DBE ∽即可解决问题.【详解】()1解:结论:DE 是O 的切线.理由:连接OD.∠=∠,CDB ADE∴∠=∠,ADC EDBCD AB,//∴∠=∠,CDA DAB=,OA OD∴∠=∠,OAD ODA∴∠=∠,ADO EDBAB是直径,∴∠=,ADB90∴∠=∠=,90ADB ODE∴⊥,DE OD∴是O的切线.DE()2//CD AB,ADC DAB∠=∠,∴∠=∠,CDB DBE∴=,AC BD∴=,AC BD∠=∠,EDB DABDCB DAB∠=∠,EDB DCB∴∠=∠,∴∽DBE,CDBCD DB∴=,BD BE2∴=⋅,BD CD BE2∴=⋅.AC CD BE【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、圆周角定理、切线的判定等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,准确寻找相似三角形解决问题,属于中考常考题型.4.如图,已知四边形ABCD是矩形,点P在BC边的延长线上,且PD=BC,⊙A经过点B,与AD边交于点E,连接CE .(1)求证:直线PD是⊙A的切线;(2)若PC=25,sin∠P=23,求图中阴影部份的面积(结果保留无理数).【答案】(1)见解析;(2)20-4π.【解析】分析:(1)过点A作AH⊥PD,垂足为H,只要证明AH为半径即可.(2)分别算出Rt△CED的面积,扇形ABE的面积,矩形ABCD的面积即可.详解:(1)证明:如图,过A作AH⊥PD,垂足为H,∵四边形ABCD是矩形,∴AD=BC,AD∥BC,∠PCD=∠BCD=90°,∴∠ADH=∠P,∠AHD=∠PCD=90°,又PD=BC,∴AD=PD,∴△ADH≌△DPC,∴AH=CD,∵CD=AB,且AB是⊙A的半径,∴AH=AB,即AH是⊙A的半径,∴PD是⊙A的切线.(2)如图,在Rt△PDC中,∵sin∠P=23CDPD,5,令CD=2x,PD=3x,由由勾股定理得:(3x)2-(2x)252,解得:x=2,∴CD=4,PD=6,∴AB=AE=CD=4,AD=BC=PD=6,DE=2,∵矩形ABCD的面积为6×4=24,Rt△CED的面积为12×4×2=4,扇形ABE的面积为12π×42=4π,∴图中阴影部份的面积为24-4-4π=20-4π.点睛:本题考查了全等三角形的判定,圆的切线证明,三角形的面积,扇形的面积,矩形的面积.5.某居民小区的一处圆柱形的输水管道破裂,维修人员为更换管道,需要确定管道圆形截面的半径.如图,若这个输水管道有水部分的水面宽AB=16cm,水最深的地方的高度为4cm,求这个圆形截面的半径.【答案】10cm【解析】分析:先过圆心O作半径CO⊥AB,交AB于点D设半径为r,得出AD、OD的长,在Rt△AOD中,根据勾股定理求出这个圆形截面的半径.详解:解:过点O作OC⊥AB于D,交⊙O于C,连接OB,∵OC⊥AB∴BD=12AB=12×16=8cm由题意可知,CD=4cm∴设半径为xcm,则OD=(x﹣4)cm在Rt△BOD中,由勾股定理得:OD2+BD2=OB2(x﹣4)2+82=x2解得:x=10.答:这个圆形截面的半径为10cm.点睛:此题考查了垂经定理和勾股定理,关键是根据题意画出图形,再根据勾股定理进行求解.6.如图,AB,BC分别是⊙O的直径和弦,点D为BC上一点,弦DE交⊙O于点E,交AB于点F,交BC于点G,过点C的切线交ED的延长线于H,且HC=HG,连接BH,交⊙O 于点M,连接MD,ME.求证:(1)DE⊥AB;(2)∠HMD=∠MHE+∠MEH.【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析.【解析】分析:(1)连接OC,根据等边对等角和切线的性质,证明∠BFG=∠OCH=90°即可;(2)连接BE,根据垂径定理和圆内接四边形的性质,得出∠HMD=∠BME,再根据三角形的外角的性质证明∠HMD=∠DEB=∠EMB即可.详解:证明:(1)连接OC,∵HC=HG,∴∠HCG=∠HGC;∵HC切⊙O于C点,∴∠OCB+∠HCG=90°;∵OB=OC,∴∠OCB=∠OBC,∵∠HGC=∠BGF,∴∠OBC+∠BGF=90°,∴∠BFG=90°,即DE⊥AB;(2)连接BE,由(1)知DE⊥AB,∵AB是⊙O的直径,∴,∴∠BED=∠BME;∵四边形BMDE内接于⊙O,∴∠HMD=∠BED,∴∠HMD=∠BME;∵∠BME是△HEM的外角,∴∠BME=∠MHE+∠MEH,∴∠HMD=∠MHE+∠MEH.点睛:此题综合性较强,主要考查了切线的性质、三角形的内角和外角的性质、等腰三角形的性质、内接四边形的性质.7.阅读:圆是最完美的图形,它具有一些特殊的性质:同弧或等弧所对的圆周角相等,一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半……先构造“辅助圆”,再利用圆的性质将问题进行转化,往往能化隐为显、化难为易。

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