排列组合二项式定理与概率训练题一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1.3名老师随机从3男3女共6人中各带2名学生进行实验，其中每名老师各带1名男生和1名女生的概率为（ ）A.52 B.53 C.54 D.1092.某人射击5枪，命中3枪，3枪中恰有2枪连中的概率为（ ） A.52 B.53 C.101 D.201 3. 一批产品中，有n 件正品和m 件次品，对产品逐个进行检测，如果已检测到前k （k ＜n )次均为正品，则第k +1次检测的产品仍为正品的概率是（ ）A.km n k n -+-B.m n k ++1 C.11--+--k m n k n D.km n k -++14. 有一人在打靶中，连续射击2次，事件“至少有1次中靶”的对立事件是（ ）A.至多有1次中靶B.2次都中靶C.2次都不中靶D.只有1次中靶5.在一块并排10垄的土地上，选择2垄分别种植A 、B 两种植物，每种植物种植1垄，为有利于植物生长，则A 、B 两种植物的间隔不小于6垄的概率为（ ）A.301 B.154 C.152 D.3016.某机械零件加工由2道工序组成，第一道工序的废品率为a ，第二道工序的废品率为b ，假定这2道工序出废品是彼此无关的，那么产品的合格率是（ ）A.ab －a －b +1B.1－a －bC.1－abD.1－2ab7.有n 个相同的电子元件并联在电路中，每个电子元件能正常工作的概率为0.5，要使整个线路正常工作的概率不小于0.95，n 至少为（ ）A.3B.4C.5D.68.一射手对同一目标独立地进行4次射击，已知至少命中一次的概率为8180，则此射手的命中率是（ ）A.31 B.32 C.41 D.529.5)3||1|(|++x x 的展开式中的2x 的系数是（ ）A.275B.270C.540D.54510.有一道竞赛题，甲解出它的概率为21，乙解出它的概率为31，丙解出它的概率为41，则甲、乙、丙三人独立解答此题，只有1人解出此题的概率是（ ） A.241 B.2411 C.2417 D.1 11．事件A 与事件B 互斥是事件A 、事件B 对立的（ ）A.充分不必要条件；B.必要不充分条件；C.充分必要条件；D.既不充分也不必要条件12．若P （AB ）=0，则事件A 与事件B 的关系是（ ）A.互斥事件；B.A 、B 中至少有一个是不可能事件；C.互斥事件或至少有一个是不可能事件；D.以上都不对二、填空题（每小题4分，共16分）13．四封信投入3个不同的信箱，其不同的投信方法有 种 14．如图，一个地区分为5个行政区域， 现给地图着色，要求相邻区域不得 使用同一颜色，现有4种颜色可 供选择，则不同的着色方法共有种15．若以连续投掷两次骰子分别得到的点数m 、n 作为点P 的坐标，则点P 落在直线x +y =5下方的概率是________16．在编号为1，2，3，…，n 的n 张奖卷中，采取不放回方式抽奖，若1号为获奖号码，则在第k 次（1≤k ≤n ）抽签时抽到1号奖卷的概率为________三、解答题（本大题共6小题，共74分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）设m ，n ∈Z +，m 、n ≥1，f （x ）=（1+x ）m+（1+x ）n的展开式中，x 的系数为19（1）求f （x ）展开式中x 2的系数的最大、小值；（2）对于使f （x ）中x 2的系数取最小值时的m 、n 的值，求x 7的系数18．（本小题满分12分）从5双不同的鞋中任意取出4只，求下列事件的概率：（1）所取的4只鞋中恰好有2只是成双的； （2）所取的4只鞋中至少有2只是成双的 19．（本小题满分12分）有8位游客乘坐一辆旅游车随机到3个景点中的一个景点参观，如果某景点无人下车，该车就不停车，求恰好有2次停车的概率20．（本小题满分12分）已知n x x 223)(+的展开式的系数和比n x )13(-的展开式的系数和大992,求n xx 2)12(-的展开式中:①二项式系数最大的项;②系数的绝对值最大的项21．（本小题满分12分）有6个房间安排4个旅游者住宿，每人可以随意进哪一间，而且一个房间也可以住几个人求下列事件的概率：（1）事件A ：指定的4个房间中各有1人；（2）事件B ：恰有4个房间中各有1人； （3）事件C ：指定的某个房间中有两人；（4）事件D ：第1号房间有1人，第2号房间有3人22．（本小题满分14分）已知{n a }（n 是正整数）是首项是1a ，公比是q 的等比数列（1） 求和：334233132031223122021,C a C a C a C a C a C a C a -+-+-；（2） 由（1）的结果归纳概括出关于正整数n 的一个结论，并加以证明； （3） 设n S q ,1≠是等比数列的前n 项的和，求n n n n n n n C S C S C S C S C S 134231201)1(+-+⋅⋅⋅+-+-排列组合二项式定理与概率参考答案：1.A2.B3.A4. C5.C6.A7.C8.B9.C 10.B 11．B 12．C13． 43 14． 72 15．6116． n 117．设m ，n ∈Z +，m 、n ≥1，f （x ）=（1+x ）m+（1+x ）n的展开式中，x的系数为19（1）求f （x ）展开式中x 2的系数的最大、小值；（2）对于使f （x ）中x 2的系数取最小值时的m 、n 的值，求x 7的系数解：19,1911=+=+n m C C n m 即n m -=∴19（1）设x 2的系数为T==+22nmC C 4171)219(17119222-+-=+-n n n ∵n ∈Z +，n ≥1，∴当,153,181max ===T n n 时或当,109min ==T n 时或（2）对于使f （x ）中x 2的系数取最小值时的m 、n 的值，即109)1()1()(x x x f +++=从而x 7的系数为15671079=+C C18．从5双不同的鞋中任意取出4只，求下列事件的概率： （1）所取的4只鞋中恰好有2只是成双的； （2）所取的4只鞋中至少有2只是成双的解：基本事件总数是410C =210（1）恰有两只成双的取法是12122415C C C C =120∴所取的4只鞋中恰好有2只是成双的概率为74210120C C C C C 41012122415==(2)事件“4只鞋中至少有2只是成双”包含的事件是“恰有2只成双”和“4只恰成两双”，恰有两只成双的取法是15C 24C 12C 12C =120，四只恰成两双的取法是25C =10∴所取的4只鞋中至少有2只是成双的概率为2113210130C C C C C C 4102512122415==+ 19．有8位游客乘坐一辆旅游车随机到3个景点中的一个景点参观，如果某景点无人下车，该车就不停车，求恰好有2次停车的概率解：8位游客在3个景点随机下车的基本事件总数有38=6561种有两个景点停车，且停车点至少有1人下车的事件数有23C （18C +28C +…+78C +88C ）=3（28－1）=381种∴恰好有2次停车的概率为21876561381=20．已知n x x 223)(+的展开式的系数和比n x )13(-的展开式的系数和大992,求n xx 2)12(-的展开式中:①二项式系数最大的项;②系数的绝对值最大的项解：由题意992222=-n n ,解得=n ①10)12(xx -的展开式中第6项的二项式系数最大,即8064)1()2(55510156-=-⋅⋅==+xx C T T②设第1+r 项的系数的绝对值最大,则r r r r r r r r x C xx C T 2101010101012)1()1()2(---+⋅⋅⋅-=-⋅⋅=∴⎪⎩⎪⎨⎧⋅≥⋅⋅≥⋅--+-+---110110101011011010102222r r r r r r r r C C C C ,得⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+-110101101022r r r r C C C C ,即⎩⎨⎧-≥+≥-r r r r 10)1(2211∴31138≤≤r ,∴3=r ,故系数的绝对值最大的是第4项即37310415360)1()2(x xx C T -=-=21．有6个房间安排4个旅游者住宿，每人可以随意进哪一间，而且一个房间也可以住几个人求下列事件的概率：（1）事件A ：指定的4个房间中各有1人；（2）事件B ：恰有4个房间中各有1人； （3）事件C ：指定的某个房间中有两人；（4）事件D ：第1号房间有1人，第2号房间有3人解：4个人住进6个房间，所有可能的住房结果总数为：（种）（1）指定的4个房间每间1人共有44A 种不同住法54/16/)(444==∴A A P（2）恰有4个房间每间1人共有46A 种不同住法18/56/)(446==∴A B P（3）指定的某个房间两个人的不同的住法总数为：5524⨯⨯C （种），216/256/5)(4224=⨯=∴C C P（4）第一号房间1人，第二号房间3人的不同住法总数为：43314=C C （种），324/16/4)(4==∴D22．已知{n a }（n 是正整数）是首项是1a ，公比是q 的等比数列⑴求和：334233132031223122021,C a C a C a C a C a C a C a -+-+-；⑵由（1）的结果归纳概括出关于正整数n 的一个结论，并加以证明； ⑶设n S q ,1≠是等比数列的前n 项的和，求n n n n n n n C S C S C S C S C S 134231201)1(+-+⋅⋅⋅+-+-解：（1）212111223122021)1(2q a q a q a a C a C a C a -=+-=+-； 31312111334233132031)1(33q a q a q a q a a C a C a C a C a -=-+-=-+-（2）归纳概括出关于正整数n 的一个结论是：已知{n a }（n 是正整数）是首项是1a ，公比是q 的等比数列，则n nn n n n n n n q a C a C a C a C a C a )1()1(1134231201-=-+⋅⋅⋅+-+-+证明如下：nn n n n n n n C a C a C a C a C a 134231201)1(+-+⋅⋅⋅+-+- =n n n n n n n n C q a C q a C q a qC a C a 133********)1(-+⋅⋅⋅+-+- n nn n n n n q a q C q C q C q C C a )1(])([13322101-=-+⋅⋅⋅+-+-=（3）因为q q a S n n --=1)1(1，所以k n n kn k C qq a C S --=+1)1(11 nn n n n n n n C S C S C S C S C S 134231201)1(+-+⋅⋅⋅+-+-=])([1])1([12210132101n n n n n n n n n n n n n q C C q qC C qq a C C C C C q a -+⋅⋅⋅-+----+⋅⋅⋅+-+-- =-n q qqa )1(11--。