§4-2 弯曲时的正应力
变形的几何关系 纵向纤维线应变变化规律: 变形前： a b o 1o 2 d x ab ( y )d 变形后:
o 1o 2 d x d
ab的伸长量：
S ab dx ( y )d d yd
ab的线应变:
3.分别求a、b、c三点正应力
a=MCya/Iz=1MPa(拉) b=MCyb/Iz=0, c=MCyc/Iz=1.5MPa(压)
§4-2 弯曲时的正应力
危险截面: 最大弯矩所在截面 Mmax 横力弯曲时最大正应力 危险点：距中性轴最远边缘点 y max
m ax
M
m ax
y m ax
max
M Wz
W
z
b I
z
h 2

12
h h 2
3

b 6
h
2
§4-3
梁的正应力强度
提高梁弯曲强度的措施
在面积相等的情况下，选择抗弯模量大的截面 z
W
z1

D
32
3
D
a a z
当
D1
4
2
a 时,a
bh 6
2
2
R ; ( D1 / 2 )
3
2
W
z2


(
R)
6
1.18 W
受载后
P
a´ c´
P
平面假设：纵向纤维变形相同，原为平面的横截面在变形后仍为平面。 均匀材料、均匀变形，内力当然均匀分布。 2. 拉伸应力： P

N

N A
轴力引起的正应力 —— ： 在横截面上均布。
三、 强度设计准则（强度条件）：
保证构件不发生强度破坏并有一定安全余量的条件准则。

m ax
正应力公式只能用于发生平面弯曲的梁; 材料处于线弹性范围内; 对于具有一个纵向对称面的梁均适用; 可推广应用于横力弯曲时梁的正应力计算.
§4-2 弯曲时的正应力
纯弯曲理论在横力弯曲中的推广 当L/h≥5时，横截面上的剪力对正应力分布
和最大值的影响一般在5％以内，因此横力弯曲时横 截面上的正应力 采用下式
z1
当
D1
4
2 a1 时 , a1
2
2 D 1
2 a1
z
a1
W z4
bh 6
2

4 a1 6
3
1 . 67 W z 1
工字形截面
§4-3
梁的正应力强度
提高梁弯曲强度的措施
合理安排梁的支座和荷载
目的: 减小梁的最大弯矩 外伸梁和简支梁的比较:
§4-3
梁的正应力强度
提高梁弯曲强度的措施

S dx yd
d

y

§4-2 弯曲时的正应力
• 物理方面(弹性)
E

Ey

静力平衡关系 (合力矩定理、合力定理)
N
M


dA 0
A
y

z d A 0
A
Mz

y d A M
A
Hale Waihona Puke §4-2 弯曲时的正应力 推论1 : 中性轴必通过截面形心 推论2 : z 轴为主惯性轴 正应力计算公式
2
+ M
qL 8
2
x
M
m ax

4050 Nm
q=3.6kN/m
求最大应力并校核强度

max

M
max
Wz

6M bh
max 2

6 4050 0 . 12 0 . 18 [ ]
2
qL 2
V
6.25MPa
7MPa
+
–
2
x
qL
m ax 1 . 5
V m ax A

矩形截面梁
剪应力分布假设 横截面上的剪应力都平行于剪 力V 剪应力沿截面宽度均匀分布， 与中性轴等距处大小相等
§4-4
梁的剪应力强度
矩形截面梁剪应力计算公式

dM S z
*
dx I zb

QSz I zb
*
Q—横截面上剪力； Iz—整个横截面对中性轴的惯性矩； b — 所求剪应力处的截面宽度； Sz*—所求剪应力处横线一侧部分面积A*对中性轴静矩
W
z

I
z
h 2

12

b 6
h
2
W
z

I d
z

64 d
d
4
Wz
I
z
D 2

64
(D
4
d )
4
D 2 d D


32
d
3
2
2


32
D [1 (
3
) ]
4
§4-3
梁的正应力强度
正应力强度条件
m ax
M
m ax
WZ
[ ]
[]— 材料的容许应力
矩形和工字形截面梁正应力
lim
Δ N dN dA Δ A0 Δ A
p

M

位于截面内的应力称为“剪应力”(Shearing Stress)。
lim
ΔA0
ΔV ΔA
2

dV dA
应力的单位： N/m
即 帕斯卡 Pa
1GPa =103MPa =109Pa
二、拉（压）杆横截面上的应力 1. 变形规律试验及平面假设： 变形前 a c b d b´ d´ 横截面
矩形(bh=0.12m0.18m）截面木梁
如图，[]=7MPa，[]=0. 9 M Pa， 试求最大正应力和最大剪应力之比 ,并校核梁的强度。 –
2
L=3m
qL 2
+
x
qL
解：画内力图求危险截面内力
qL 2
qL 8
V max

2
3600 3 2
3600 3 8
5400 N
σ
x

M(x)y I z
§4-2 弯曲时的正应力
示例： 矩形截面悬臂梁受均布荷载q=2kN/m, b=120mm, h=180mm,L=2m.求C截面a、b、c正应力 1.C截面上弯矩
MC=-q×L/2 ×L/4=-qL2/8=-1kN· m
2.矩形截面惯性矩
Iz=bh3/12=0.583×10-4 m4
铆接或焊接的组合截面，其腹板的厚度与高度比小于型钢的
1 . 5 5400 0 . 12 0 . 18 0.9MPa [ ]
0.375MPa
+ M
qL 8
2
x
应力之比

m ax
m ax

M
m ax
2A 3Q
Wz

L h
16 . 7
§4-3
梁的正应力强度
提高梁弯曲强度的措施
采用合理截面形状
原则：当面积A一定时,尽可能 增大截面的高度,并将较多的材 料布置在远离中性轴的地方,以 得到较大的抗弯截面模量。
c)
中
性
z m
梁横截面上的变形 规律：
（1）纵向线a-a和b-b， 由变形前的直线变成 了平行的圆弧线，凹 边的纵向线缩短，凸 边纵向线伸长。 （2）在变形前，与梁轴 线垂直的横向直线mm和n-n变形后仍保持 为直线，相互倾斜了 一个角度，但仍与弯 曲后的梁轴线保持垂 直。
m
中性层
层
x
O y
d)
m
Iz
令Iz /ymax=Wz ,则max=Mmax/Wz Wz —抗弯截面模量
矩形截面:Wz=bh2/6, Wy=hb2/6 圆形截面:Wz= Wy= D3/32 正方形截面:Wz= Wy= a3/6
一、极惯性矩： 定义：平面图形中任一微面积dA与它到坐 标原点Ｏ的距离ρ平方的乘积ρ2dA,称为该面积 dA对于坐标原点o的极惯性矩。
§4-2 弯曲时的正应力
梁横截面上正应力的最大值：
永远出现在梁截面的上、下边缘处

m ax

t m ax

c m ax

My I
m ax z
令Wz
Iz y m ax
——抗弯截面模量
M Wz
则

max

t max
c max
§4-2 弯曲时的正应力
正应力公式的使用条件及推广
Q m ax S z I zb



[] —材料弯曲时容许剪应力
§4-4
梁的剪应力强度
设计梁时必须同时满足正应力和剪应力的强度条件。对 细长梁，弯曲正应力强度条件是主要的，一般按正应力强度 条件设计，不需要校核剪应力强度，只有在个别特殊情况下 才需要校核剪应力强度。 需要校核剪应力的几种特殊情况： 梁的跨度较短，M 较小，而V较大时，要校核剪应力。
截面对坐标原点o的极惯性矩为：
IP
§4-3
截面的几何特征

A
dA ;
2
简单图形的极惯性矩可由定义式积分计算。
D
实心圆截面： 空心圆截面：
IP
IP

2
0
2 dA
4 4
2
D
32 d
D
4
;
)