判天地之美，析万物之理—庄子
高中物理竞赛之力学大解析
刚体力学
概述：刚体指大小和形状都不变的物体，实质上可以把刚体看作是质量连续分布的且任意两质量元之间距离保持不变的质点系。
一、刚体的状态 1．静止的刚体
条件： （1）所受的合外力为零
（2）所受的合力矩为零 例题：1—82
2．运动的刚体（刚体的平面运动）
刚体运动过程中的特点：其上任意两点的连线始终保持平行。
（1）定轴转动
转动：刚体上所有质点都绕同一直线做圆周运动，这种运动称为刚体的转动，这条直线称为转动轴。
定轴转动：转动轴固定不动 （2）角速度、角加速度
角速度是矢量，方向由右手法则确定如图所示说明；角速度与线速度的关系：r v ∙=ω 角加速度：dt
d ω
β=
，角加速度也是矢量，方向：对于定轴转动来说与角速度的方向相同。
（3）定轴转动定律
※对转轴的力矩M =Fl ，作用效果使刚体绕轴转动，逆转取正，顺转取负
※角动量L ：一质点绕某转动轴做圆周运动，则该质点绕此转动轴的角动量为L =mvr ；假如有许多质点呢？质点系绕该转动轴的角动量为L =∑m i v i r i ，对于定轴转动的刚体的角动
量L =∑m i v i r i =∑m i r i 2
ω ※转动惯量J ：刚体中各质元质量与其到转动轴线垂直距离平方乘积之和，即J =∑m i r i 2，
刚体中各质元是连续分布的则J =⎰
dm r 2
，所以L =J ω
例题分析（关于转动惯量的计算） 例1．薄圆环对中心轴线的转动惯量 分析：如图所示J =mR 2 （微元法）
常见的刚体的转动惯量
圆柱体对柱体轴线的转动惯量：J =
221
mR 圆柱环对柱体轴线的转动惯量：J =)(2
12
221R R m +（割补法）
细杆对过中心且与杆垂直的轴线的转动惯量：J =ml 2/12 实圆柱体对中心直径的转动惯量J= mR 2/4+ ml 2/12
l
分析：左右两部分对中心转轴的转动惯量是一样的，则只要算出其中一部分的转动惯量就可以了，则将左边部分分成n 等份，每分的质量为m /2n ，
J /2=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛∞→2
2222223222222lim n l n n m n l n m n l n m n l n m n
=()
⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡++++⎪⎭⎫ ⎝⎛∞→n n l n m n 2
22232122lim =()()⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣⎡++⎪⎭⎫ ⎝⎛∞→1216122lim 2n n n n l n m n 实球体对任意直径的转动惯量：J =2mR 2/5
薄球壳对任意直径的转动惯量：J =2mR 2/3 ※关于转动惯量的两个定理： ①平行轴定理：J =J C +md 2 ②垂直轴定理：J z = J x + J y
利用上述定理分析细圆环对任意切线的转动惯量：J =3mR 2/2
※定轴转动定律
刚体在做定轴转动时，刚体的角加速度与刚体所受到的合外力距成正比，与刚体的转动惯量成反比。
即M =J β（类比与牛二定律F =ma ） 例题分析：
例2．质量为M =16kg 的实心滑轮，半径R 为0.15m 。
一根细绳绕在滑轮上，一端挂一质量为m =8kg 的物体。
求（1）静止开始1秒钟后，物体下降的距离。
（2）绳子的张力。
分析：R
a
MR TR 221=
ma T mg =-
则a =5m/s 2，2
2
1at h ==2.5m T =40N
练习：1—78答案加速度为5.79m/s 2，绳子的张力分别为69.9N ，和75.8N 。
（4）定轴转动的功能原理
转动动能：定轴转动的刚体中，所有的质元作圆周运动的动能之和即刚体的转动动能，
22
1
ωJ E K =
力矩的功：力矩作用下，使刚体发生转动，转动过程中转动动能发生变化，则力矩对刚
体做了功，即力矩的功。
定轴转动的动能定理：
合外力矩对刚体做的功等于刚体转动动能的增加量 即2022
121ωωJ J W -=
例题分析：
例：一质量为M ，半径为R 的圆盘，盘上绕有绳子，一端挂一质量为m 的物体。
问物体由静止开始下落高度h 时，其速度为多大呢？
l
2022121ωωϕJ J TR =
∆ 2
022
121mv mv Th mgh -=-
又因 ϕ∆=R h ωR v = 00=v 00=ω 22
1
MR J =
解得：m
M mgh
v 222
+=
练习：匀质杆的质量为m ，长为l ，一端为光滑的支点，最初处于水平位置，释放后杆向下摆动，求杆在铅垂直位置时，其下端点的线速度v 。
（gl v 3=） ※机械能守恒定律（对刚体也是适用的） （5）刚体定轴转动的角动量守恒 角动量：L =J ω
冲量矩：Mt （时间t 内）适用力矩不变，如果力矩随时间变化则在t 时间内冲量矩：⎰
Mdt 类比动量定理得到角动量定理：
⎰Mdt =112
2
ωω
J J -
例题分析 例题1—79
分析：对木块用动量定理 t f mv mv ∆-=-0 对圆柱体用角动量定理 t fR J J ∆=-0ωω 又因
00=ω R v ω=
则 2
01m R J v v +
=
角动量守恒定律：
当M 合=0时，则1122ωωJ J =
刚体所受的合力矩为零时，则刚体的角动量保持不变 延伸：物体系的角动量守恒
内容：若选一系统，此系统中，有质点（多个）和刚体，此系统对于某一转动轴的合力矩为零，则整个系统对该转动轴的角动量守恒。
即
i
i
i i
i
r v m J ∑∑+ω=恒量
例题分析
例1：一长为l ，质量为M 的杆，可绕支点O 自由转动，另一质量为m ，速度为v 的子弹射入距支点为a 的棒内。
问子弹刚穿进棒内时，棒的角速度为多少？（设棒穿进棒的时间很短）
分析：对M 和m 的系统角动量守恒
则ω⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=2
231ma Ml mva 所以⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=
2231m a Ml m va ω
再问能偏转的最大角度是多少呢？
v 0 R
v
分析：利用转动动能定理
)cos 1(2)cos 1(31212
22ααω-+-=⎪⎭
⎫ ⎝⎛+l Mg mga ma Ml 解得：⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=Mgl mga ma Ml a v m 213121cos 222
22α
例题2：1—85
分析：m 离盘时的速度为R v ω=0，则g
R g v h 222
22
0ω=
= 盘破碎前后系统角动量守恒：R mv mR MR MR 02222121+'⎪⎭
⎫
⎝⎛-=ωω
所以ωω='，角速度不变，余下部分的角动量是ω⎪⎭
⎫ ⎝⎛-2221mR MR 转动动能为：2
222121ω⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=mR MR E k
练习1—87、1—88
（6）刚体的平面运动
一般的刚体的运动既有平动又有转动，这为了分析问题的方便，可以把刚体的运动看成是质心的平动和绕质心的转动。
所以在分析刚体运动时，一方面要运用质点的动力学方程及动量定理、动量守恒定律，另一方面要运用转动的动力学方程及角动量定理、角动量守恒定律。
注意对于平面运动的刚体运用功能原理时，不能分别列方程，因为能量标量，则注意平面运动的刚体的重力势能等于质心的的重力势能，刚体的动能等于质心的平动动能加上绕质心的转动动能，即
222
1
21ωc c k J mv E +=
例题分析
例题1：1—80
分析：A 做转动，B 刚体做一般的平面运动，看成质心向下加速运动和刚体B 绕质心转动则：
对A ：A A A A r m Tr β221=
对B ：B B B B r m Tr β22
1=
C B B a m T g m =-
又因：A A
A r a =β
B B B r a =β B
C A a a a -=
解得：()g m m m m a B A B A C 232++= g m m m m T B
A B
A +=3
例题2：1—90
B A
r B
m A
m B r A
C B
A
r B
m A
m B r A
C m B g
T
T。