5
其他可能的相关关系见下图：
y
o
x
y
o
x
y
o
x
y
o
x
6
图 1的10个点虽然不在一直线上，但大致散布于 一条直线周围，我们把其表示为：
yabx ~N(0,2) 即对每一个x值， y~N(ab,x 2),其中 a,b及2都是
不依赖于x 的未知参数. 称上述方程为 y 关于 x 的一 线性回归方程. 通常记为 元
yi abix i
n
如 a, b 的值能使 | i |为最小,则该直线是较理想的选择.
n
i1 n
由于
| i |最小与
2 i
最小一致,故问题成为求
a,
b
,使
i 1
i 1
n
Q(a,b) [yi (abix)2]
i1
达到最小. 上述原则即称为最小二乘原则，由此估计
a,b的方法称为最小二乘法. LSE (Least Square Estimation)
yˆabx
由样 a,b本 进对 行 ,得 估 a ˆ及 到 b 计 ˆ,称 a为回,归 b为回归系数 .
7
求 a,b 估计值的方法：
(一) 作图法：简单方便，但精度差，局限性大； (二) 参数估计法：
最大似然估计法； 矩估计法； 最小二乘估计法（常用）.
8
二、最小二乘法
根据上述假 i1,设 2, n， , 对
i1 n
.
x
2 i
nx
2
(xi x)2
i1
i1
11
aˆ ybˆx,
n
n
x i y i n x y
( xi x )( yi y)
bˆ
i1 n
i1 n
.
x
2 i
nx
2
(xi x)2
i1
i1
n
n
记 lxx (xix)2 xi2nx2,
i1
i1
n
n
lyy (yiy)2 yi2ny2,
nxa(in1
xi2)b
n i1
xi
yi
系数行列式
n D nx
nx
n
n
n
x
2 i
n( xi2 nx2)n (xi x)2,
i1
i1
i1
由 于 xi 不 全 相 等 ， n D0,
所, bˆ
xi yi nxy
i1 n
( xi x )( yi y)
i1
i1
10
10
lxy (xi x)2 xiyi 10xy135,0
i1
i1
bˆ lxy 6.4286, aˆybˆx1.428, 8 lxx
所以所求回归方程为
y ˆ1.42 86.8 42x8.6
14
练习：
P240 习题七
15
第七章
1
变量之间的关系大致有 两种，一是 函数 关系， 是确定性的，如 s = v t ; 另一种是相关关系，是不 确定的.
在社会经济领域，更多的是相关关系. 如投 入与产出、价格与需求的关系等等.
回归分析方法是处理变量间相互关系的有力 工具.
2
第一节
3
一、散点图与回归直线
将n对观察结果作为直角平面上的点，这样得 到的图形称为散点图.散点图可以帮助我们粗略地 看出 x 与 y 的相关关系的形式.
9
n
a,b的求解： Q(a,b) [yi (abix)2]
i1
Q
n
a
Q
b
2
i1
n
2
i1
[ [
yi yi
(a (a
bxi bxi
)] )]xi
0 0
nanxbny
nxa(in1
xi2)b
n i1
xi
yi
——
称为正规方程组
其中 xn 1i n1xi , yn 1i n1yi
10
nanxbny
求 y 对 x 的回归方程.
解
1 10
x 10i1
xi
8,
y 1 10 10i1
yi
50,
10
10
lxx (xi x)2 xi210x2 210,
i1
i1
10
10
lxy (xi x)2 xiyi 10xy135,0
i1
i1
13
10
10
lxx (xi x)2 xi210x2 210,
4
例1 价格与供给量的观察数据见下表：
x (元) 2 3 4 5 6 8 10 12 14 16 y (吨) 15 20 25 30 35 45 60 80 80 110
散点图
120 100
80
60
40 20
0
0
5
10
15
20
图1
由图1可以看出，x 与 y 之间存在一定的相关关系， 且这种关系是线性关系.
i1
i1
n
n
lx y (x ix)y (iy) x iyin x y,
i 1
i 1
则
bˆ lx y , lxx
aˆ ybˆx.
显然回归直线经过散点图
的几何中心 (x, y) . 12
例2 价格与供给量的观察数据见下表：
x (元) 2 3 4 5 6 8 10 12 14 16 y (吨) 15 20 25 30 35 45 60 80 80 110