有关解析几何的经典结论一、椭 圆1. 点P 处的切线PT 平分12PF F ∆在点P 处的外角. （椭圆的光学性质）2. PT 平分12PF F ∆在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. （中位线）3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. （第二定义）4. 以焦点半径1PF 为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. （第二定义）5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b+=.（求导或用联立方程组法）6. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=外 ，则过0P 作椭圆的两条切线切点为12,P P ，则切点弦12PP 的直线方程是00221x x y ya b +=7. 椭圆22221x y a b+= (0a b >>)的左右焦点分别为12,F F ，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan2F PF S b γ∆=.（余弦定理+面积公式+半角公式）8. 椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的焦半径公式：10||MF a ex =+，20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c ，00(,)M x y ).（第二定义）9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交,P Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于,M N 两点，则MF NF ⊥. 证明：x ky c =+，()2222222222222120x y a b k y b cky b c a b a b +=⇒++++=222222222222,P O P O b c a b b cky y y y y a b k a b k --=+=++， 2222222222222,P O P O a c a b k a cx x x x a b k a b k -=+=++，22,N M P P Q Qa a a ay y c c y a x y a x ++==++，()()00M N M N MF NF MF NF x c x c y y ⊥⇒=⇒--+=， 易得：()()42M N b x c x c c--=-10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点, P Q ，且12,A A 为椭圆长轴上的顶点，1A P 和2A Q 交于点M ，2A P 和1A Q 交于点N ，则MF NF ⊥.（MN 其实就在准线上，下面证明他在准线上） 证明：首先证明准线，1A P 和2PA 公共点， 设(),P P P x y ，(),Q Q Q x y ，不妨设P Q x x >，1PP y k x a =-，2Q Q y k x a=-，由()()12y k x a y k x a =-⎧⎪⎨=+⎪⎩， 得交点()()()1212P Q Q P P Q P Q Q P P Q x y x y a y y a k k x a k k x y x y a y y ++-+==--+++，由()22221y k x c x y ab ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，得()2222222222220b a k x a k cx a c k a b +++-=，令22222222M b a k N b a k c k =+=+-，，22222P Q a c k a b x x M -=，222P Q a k c x x M -+=，22P Q b ck y y M +=，2P Q abkNy y M-=，222P Q Q P a b k x y x y M -+=，2P Q Q P abckN x y x y M--+=，则222222222a b k a bkNa M M x a abckN ab ckc M M-+==--+， 再根据上一条性质可得结论。

11. AB 是椭圆22221x y a b+=的不平行于对称轴的弦， 00(,)M x y 为AB 的中点，则22OM AB b k k a ⋅=-，即0202y a x b K AB -=。

（点差法）12. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=内，则被0P 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+.（点差法）13. 若在椭圆22221x y a b+=内，则过0P 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y a b a b +=+.（点差法）二、双曲线1. 点P 处的切线PT 平分△12PF F 在点P 处的内角. （同上）2. PT 平分△12PF F 在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. （同上）3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交. （同上）4. 以焦点半径1PF 为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支） （同上）5. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（0,0a b >>）上，则过0P 的双曲线的切线方程是：00221x x y ya b-=.（同上） 6. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（0,0a b >>）外 ，则过0P 作双曲线的两条切线切点为12,P P ，则切点弦12P P 的直线方程是00221x x y ya b-=.（同上） 7. 双曲线22221x y a b-=（0,0a b >>）的左右焦点分别为2,F F ，点P 为双曲线上任意一点：12F PF γ∠=，则双曲线的焦点角形的面积为122t2F PF S b co γ∆=.（同上）8. 双曲线22221x y a b-=（0,0a b >>）的焦半径公式： 1(,0)F c - , 2(,0)F c当00(,)M x y 在右支上时，10||MF ex a =+,20||MF ex a =-.当00(,)M x y 在左支上时，10||MF ex a =-+,20||MF ex a =--（同上）9. 设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点，则MF NF ⊥.（同上）10. 过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q ，且12,A A 为双曲线实轴上的顶点，1A P 和2A Q 交于点M ，2A P 和1A Q 交于点N ，则MF NF ⊥.（同上）11. AB 是双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则0202y a x b K K AB OM =⋅，即0202y a x b K AB =。

（同上）12. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（0,0a b >>）内，则被0P 所平分的中点弦的方程是：2200002222x x y y x y a b a b-=-.（同上） 13. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（0,0a b >>）内，则过0P 的弦中点的轨迹方程是：22002222x x y yx y a b a b-=-.（同上）椭圆与双曲线的对偶性质--（会推导的经典结论）椭 圆1. 椭圆()222210x y a b a b+=>>的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行的直线交椭圆于12,P P 时，11A P 与22A P 交点的轨迹方程是22221x y a b-=.证明：()111,P x y ，()111,P x y ，交点()00,P x y ，由()()1122y y x a x a y y x a x a ⎧=+⎪+⎪⎨-⎪=+⎪+⎩，得()2222100221y y x a x a -=--， 又2211221x y a b+=，则2200221x y a b -=2. 过椭圆()222210x y a b a b+=>>上任一点00(,)A x y 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于,B C 两点，则直线BC 有定向且2020BC b x k a y =（常数）.证明：3. 若P 为椭圆()222210x y a b a b+=>>上异于长轴端点的任一点，1F 、2F 是焦点, 12PF F α∠=,21PF F β∠=，则tan t 22a c co a c αβ-=+. 证法1（代数）证法二（几何）4. 设椭圆()222210x y a b a b+=>>的两个焦点为1F 、2F , P （异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在△12PF F 中，记12F PF α∠=, 12PF F β∠=,12F F P γ∠=，则有sin sin sin ce aαβγ==+.（上条已证）5. 若椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，左准线为l ，则当021e <≤-时，可在椭圆上求一点P ，使得1PF 是P 到对应准线距离d 与2PF 的比例中项.6. P 为椭圆()222210x y a b a b+=>>上任一点，1F 、2F 是焦点，A 为椭圆内一定点，则2112||||||2||a AF PA PF a AF -≤+≤+,当且仅当2,,A F P 三点共线时，等号成立.7. 椭圆220022()()1x x y y a b--+=与直线0Ax By C ++=有公共点的充要条件是2222200()A a B b Ax By C +≥++.8. 已知椭圆()222210x y a b a b +=>>，O 为坐标原点，P 、Q 为椭圆上两动点，且OP OQ ⊥.（1）22221111||||OP OQ a b +=+; （2）|OP|2+|OQ|2的最大值为22224a b a b +;（3）OPQ S ∆的最小值是2222a b a b+. 证明9. 过椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点F 作直线交该椭圆右支于,M N 两点，弦MN 的垂直平分线交x 轴于P ，则||||2PF eMN =. 证明10. 已知椭圆()222210x y a b a b+=>>，,A B 是椭圆上的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点0(,0)P x , 则22220a b a b x a a ---<<.11. 设P 点是椭圆()222210x y a b a b+=>>上异于长轴端点的任一点, 1F 、2F 是焦点，记12F PF θ∠=，则(1) 2122||||1cos b PF PF θ=+. (2) 122tan 2PF F S b γ∆=.12. 设,A B 是椭圆()222210x y a b a b+=>>的长轴两端点，P 是椭圆上的一点，PAB α∠=,PBA β∠=,BPA γ∠=，,c e 分别是椭圆的半焦距离心率，则有：(1)22222|cos |||s ab PA a c co αγ=-. (2) 2tan tan 1e αβ=-.(3) 22222cot PABa b S b aγ∆=-. 13. 已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的右准线l 与x 轴相交于点E ，过椭圆右焦点F 的直线与椭圆相交于,A B 两点，点C 在右准线l 上，且BC x ⊥轴，则直线AC 经过线段EF 的中点.证明14. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.15. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直. 证16. 椭圆焦三角形中，内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e (离心率). （注:在椭圆焦三角形中，非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.） （角分线定理+合比公式）17. 椭圆焦三角形中，内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e .（角分线定理） 18. 椭圆焦三角形中，半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项. （角分线定理）双曲线1. 双曲线22221x y a b-=（0,0a b >>）的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行的直线交双曲线于12,P P 时，11AP 与22A P 交点的轨迹方程是22221x y a b+=. 2. 过双曲线22221x y a b-=（0,0a b >>）上任一点00(,)A x y 任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于,B C 两点，则直线BC 有定向且2020BC b x k a y =-（常数）.3. 若P 为双曲线22221x y a b-=（0,0a b >>）右（或左）支上除顶点外的任一点, 1F 、2F 是焦点,12PF F α∠=, 21PF F β∠=，则tan t 22c a co c a αβ-=+（或tan t 22c a co c a βα-=+）. 4. 设双曲线22221x y a b-=（0,0a b >>）的两个焦点为1F 、2F , P （异于长轴端点）为双曲线上任意一点，在△12PF F 中，记12F PF α∠=, 12PF F β∠=,12F F P γ∠=，则有：sin (sin sin )ce aαγβ==±-.5. 若双曲线22221x y a b-=（0,0a b >>）的左、右焦点分别为1F 、2F ，左准线为l ，则当11e <≤时，可在双曲线上求一点P ，使得1PF 是P 到对应准线距离d 与2PF 的比例中项.6. P 为双曲线22221x y a b-=（0,0a b >>）上任一点, 1F 、2F 是焦点，A 为双曲线内一定点，则21||2||||AF a PA PF -≤+,当且仅当2,,A F P 三点共线且P 和2,A F 在y 轴同侧时，等号成立.7. 双曲线22221x y a b -=（0,0a b >>）与直线0Ax By C ++=有公共点的充要条件是：22222A a B b C -≤.8. 已知双曲线22221x y a b-=（b ＞a ＞0），O 为坐标原点，P 、Q 为双曲线上两动点，且OP OQ ⊥.（1）22221111||||OP OQ a b +=-; （2）22OP OQ +的最小值为22224a b b a -; （3）OPQ S ∆的最小值是2222a b b a -.9. 过双曲线22221x y a b-=（0,0a b >>）的右焦点F 作直线交该双曲线的右支于,M N 两点，弦MN的垂直平分线交x 轴于P ，则||||2PF eMN =. 10. 已知双曲线22221x y a b-=（0,0a b >>）,,A B 是双曲线上的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点0(,0)P x , 则220a b x a+≥或220a b x a +≤-.11. 设P 点是双曲线22221x y a b-=（0,0a b >>）上异于实轴端点的任一点, 1F 、2F 是焦点，记12F PF θ∠=，则：(1)2122||||1cos b PF PF θ=-.(2) 122cot2PF F S b γ∆=.12. 设,A B 是双曲线22221x y a b-=（0,0a b >>）的长轴两端点，P 是双曲线上的一点，PAB α∠=,PBA β∠=,BPA γ∠=，,c e 分别是双曲线的半焦距离心率，则有：(1)22222|cos ||||s |ab PA a c co αγ=-.(2) 2tan tan 1e αβ=-.(3)22222cotPABa bSb aγ∆=+.13.已知双曲线22221x ya b-=（0,0a b>>）的右准线l与x轴相交于点E，过双曲线右焦点F的直线与双曲线相交于,A B两点，点C在右准线l上，且BC x⊥轴，则直线AC经过线段EF的中点.14.过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.15.过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).（同上）(注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点).（同上）16.双曲线焦三角形中，外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e (离心率). (注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点).17.双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e.18.双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.19. 已知椭圆22221x ya b+=上一点()000,P x y，以直线与椭圆交于,M N两点，恒有00P M P N⊥，则直线横过2222 002222,a b b a x ya b a b ⎛⎫--⎪++⎝⎭证明19. 已知椭圆22221x y a b+=，不再椭圆上的一点P ，过P 做倾斜角互补的两直线，与椭圆交于,,,A B C D 四点，则,,,A B C D 四点共圆证明其他常用公式：1、连结圆锥曲线上两个点的线段称为圆锥曲线的弦，利用方程的根与系数关系来计算弦长，常用的弦长公式：212122111AB kx y y k =+-=+- 2、直线的一般式方程：任何直线均可写成0Ax By C ++= (,A B 不同时为0)的形式。