1图2.4习题解答第二章2.1计算：(1)pi iq qj jk δδδδ，(2)pqi ijk jk e e A ，(3)ijp klp ki lj e e B B 。
解：(1)pi iq qj jkpq qj jk pj jk pk δδδδδδδδδδ===;(2)()pqi ijk jkpj qk pk qj jk pq qp e e A A A A δδδδ=-=-;(3)()ijp klp ki ljik jl il jk ki lj ii jj ji ij e e B B B B B B B B δδδδ=-=-。
2.2证明：若ijji a a =，则0ijk jk e a =。
证：20ijk jk jk jk ikj kj ijk jk ijk kj ijk jk ijk jk i e a e a e a e a e a e a e a ==-=-=+。
2.3设a 、b 和c 是三个矢量，试证明：2[,,]⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅a a a b a cb a b b bc a b c c a c b c c证：1231112123222123333[,,]i i i i i i i i i i i i i i i i i i a a a b a c a a a a b c b a b b b c b b b a b c c a c b c c c c c a b c ⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅==a a a b a c b a b b b c a b c c a c b c c 。
2.4设a 、b 、c 和d 是四个矢量，证明：()()()()()()⨯⋅⨯=⋅⋅-⋅⋅a b c d a c b d a d b c证：()()i j ijk k l m lmn n i j l m ijk lmk a b e c d e a b c d e e ⨯⋅⨯=⋅=a b c d e e ()()()()()i j l m il jm im jl i i j j i i j j a b c d a c b d a d b c δδδδ=-=- ()()()()=⋅⋅-⋅⋅a c b d a d b c 。
2.5设有矢量i i u =u e 。
原坐标系绕z 轴转动θ系，如图2.4所示。
试求矢量u 在新坐标系中的分量。
解：11cos βθ'=，12sin βθ'=，130β'=， 21sin βθ'=-，22cos βθ'=，230β'=， 310β'=，320β'=，331β'=。
1112cos sin i i u u u u βθθ''==+，2 2212sin cos i i u u u u βθθ''==-+，333i i u u u β''==。
2.6设有二阶张量ij i j T =⊗T e e 。
当作和上题相同的坐标变换时，试求张量T 在新坐标系中的分量11T ''、12T ''、13T ''和33T ''。
解：变换系数同上题。
1122112212211111cos2sin2222i j ij T T T T T TT T ββθθ''''+-+==++， 12211221221112cos2sin2222T T T T T TT θθ''-+-=++，131323cos sin T T T θθ''=+， 3333T T ''=。
2.7设有3n个数12ni i i A ⋅⋅⋅，对任意m 阶张量12mj j j B ⋅⋅⋅，定义12121212n mnmi i i j j j i i i j j j C A B ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=若1212n m i i i j j j C ⋅⋅⋅⋅⋅⋅为n m +阶张量，试证明12ni i i A ⋅⋅⋅是n 阶张量。
证：为书写简单起见，取2n =，2m =，则 ijkl ij kl C A B =，在新坐标系中，有i j k l i j k l C A B ''''''''= (a)因为ijkl C 和kl B 是张量，所以有i j k l i i j j k k l l ijkl i i j j ij k k l l kl i i j j ij k l C C A B A B ββββββββββ''''''''''''''''===比较上式和式(a)，得()0i j i i j j ij k l A A B ββ''''''-=由于B 是任意张量，故上式成立的充要条件是 i j i i j j ij A A ββ''''=即ij A 是张量。
2.8设A 为二阶张量，试证明tr ⋅=⋅I A A 。
证：=()()===tr jk j k jk i j i k jk ij ik ii i i A A A A δδ⋅=⊗⊗⋅⋅⋅⋅⋅I A A e e e e e e e e 。
2.9设a 为矢量，A 为二阶张量，试证明：3(1)()T T ⨯=-⨯a A A a ，(2)()T T ⨯=-⨯A a a A 证：(1) ()()()T TT T ji i j k k ji i k jkn n A a A a e -⨯=-⊗⨯=-⊗A a e e e e e()T ji k jkn i n jn k jki i n A a e A a e =-⊗=-⊗e e e ek k jn j n a A =⨯⊗=⨯a A e e e 。
(2) ()()()T TT T i i kj j k kj i ijn n k a A A a e -⨯=-⨯⊗=-⊗a A e e e e e()nj i ijk n k nj n i jik k A a e A a e =-⊗=⊗e e e enj n j i i A a =⊗⨯=⨯A a e e e2.10已知张量T 具有矩阵123[]456789=⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦T求T 的对称和反对称部分及反对称部分的轴向矢量。
解：T 的对称部分具有矩阵1351([][])3572579T +=⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦T T ， T 的反对称部分具有矩阵0121([][])1012210T ---=-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦T T 。
和反对称部分对应的轴向矢量为 1232=-+ωe e e 。
2.11已知二阶张量T 的矩阵为310[]130001-=-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦T求T 的特征值和特征矢量。
解：2310130(1)[(3)1]0001λλλλλ----=---=-由上式解得三个特征值为14λ=，22λ=，31λ=。
将求出的特征值代入书中的式(2.44),并利用式(2.45)，可以求出三个特征矢量为4112)-a e，12)a e +e ，33=a e 。
2.12求下列两个二阶张量的特征值和特征矢量：αβ=+⊗A I m m ，=⊗+⊗B m n n m其中，α和β是实数，m 和n 是两个相互垂直的单位矢量。
解：因为()()αβαβ⋅=+⊗⋅=+A m I m m m m ，所以m 是A 的特征矢量，αβ+ 是和其对应的特征值。
设a 是和m 垂直的任意单位矢量，则有()αβα⋅=+⊗⋅=A a I m m a a所以和m 垂直的任意单位矢量都是A 的特征矢量，相应的特征值为α，显然α是特征方程的重根。
令2)-m n e，3)+m n e ，123⨯e =e e 则有23)m e +e，23)-n e +e 上面定义的i e 是相互垂直的单位矢量。
张量B 可以表示成 1122330=⊗-⊗⊗B e e e e +e e所以，三个特征值是1、0和－1，对应的特征矢量是3e 、1e 和2e 。
2.13设a 和b 是矢量，证明：(1)2()()∇⨯∇⨯=∇∇⋅-∇a a a(2)()()()()()∇⨯⨯=⋅∇-⋅∇+∇⋅-∇⋅a b b a a b a b b a证：(1) 这一等式的证明过程和书中证明式(2.14)的过程相同，在此略。
(2) ()()()j j k k j k jkm m i iii a b a b e x x ∂∂∂∂∇⨯⨯=⨯⨯=⨯a b e e e e e ,,,,()()()j i k j k i jkm imn n j i k j k i jn ki ji kn n a b a b e e a b a b δδδδ=+=+-e e ,,,,j i i j j i i j j j k k i k i k a b a b a b a b =+--e e e e ()()()()=⋅∇-⋅∇+∇⋅-∇⋅b a a b a b b a2.14设2321232x yz xz xz =-+a e e e ，求1()2=∇-∇w a a 及其轴向矢量。
5解：12()=∇-∇w a a 23223211213212[(2)()(2)x z z x y z z x z =+⊗+-⊗-+⊗e e e e e e 22222331326()6]xz z x y xz -⊗+-⊗+⊗e e e e e e 由上式很容易得到轴向矢量，也可以按下面的方法计算轴向矢量 222321112322[6()(2)]xz x y z z x z =∇⨯=+--+ωa e e e 。
2.15设S 是一闭曲面，r 是从原点O 到任意一点的矢径，试证明：(1)若原点O 在S 的外面，积分30SdS r ⋅=⎰n r； (2)若原点O 在S 的内部，积分34SdS r π⋅=⎰n r。
证：(1)当0r ≠时，有 33()()0i i x r x r ∂∇⋅==∂r (b) 因为原点在S 的外面，上式在S 所围的区域V 中处处成立，所以由高斯公式得 33()0S VdS dv r r ⋅=∇⋅=⎰⎰n r r。
(2)因为原点在S 的内部，所以必定存在一个以原点为球心、半径为a 的球面S '完全在S 的内部。
用V 表示由S 和S '所围的区域，在V 中式(b)成立，所以3333()0S S S S V dS dS dS dV r r r r ''+⋅⋅⋅=+=∇⋅=⎰⎰⎰⎰n r n r n r r即33S SdS dS r r '⋅⋅=-⎰⎰n r n r在S '上，r a =，/a =-n r ，于是 3322114SS S S dS dS dS dS rr a a π'''⋅⋅=-===⎰⎰⎰⎰n rn r 。