如图，Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AD 是斜边BC 上的高， 则AD 2=BD ·DC ，AB 2=BD ·BC ，AC 2=CD ·BC 。

知识点8 相似三角形常见的图形1、下面我们来看一看相似三角形的几种基本图形：（1）如图：称为“平行线型”的相似三角形（有“A 型”与“X 型”图）(2) 如图：其中∠1=∠2，则△ADE ∽△ABC 称为“斜交型”的相似三角形。

（有“反A 共角型”、“反A 共角共边型”、 “蝶型”）ABCD E12AAB BCCDDEE12412(1)EABCD(3)DBCAE(2)CDEAB注：（1）位似图形是相似图形的特例，位似图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点.（2）位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形.（3）位似图形的对应边互相平行或共线.位似图形的性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比.注：位似图形具有相似图形的所有性质.画位似图形的一般步骤：（1）确定位似中心（位似中心可以是平面中任意一点）（2）分别连接原图形中的关键点和位似中心，并延长（或截取）.（3）根据已知的位似比，确定所画位似图形中关键点的位置.（4）顺次连结上述得到的关键点，即可得到一个放大或缩小的图形. ①②③④⑤注：①位似中心可以是平面内任意一点，该点可在图形内，或在图形外，或在图形上（图形边上或顶点上）。

②外位似：位似中心在连接两个对应点的线段之外，称为“外位似”（即同向位似图形）③内位似：位似中心在连接两个对应点的线段上，称为“内位似”（即反向位似图形）（5）在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点O为位似中心，相似比为k（k>0）,原图形上点的坐标为（x,y）,那么同向位似图形对应点的坐标为(kx,ky), 反向位似图形对应点的坐标为(-kx,-ky),经典例题透析类型一、相似三角形的概念1．判断对错：(1)两个直角三角形一定相似吗？为什么？(2)两个等腰三角形一定相似吗？为什么？(3)两个等腰直角三角形一定相似吗？为什么？(4)两个等边三角形一定相似吗？为什么？(5)两个全等三角形一定相似吗？为什么？思路点拨：要说明两个三角形相似，要同时满足对应角相等，对应边成比例.要说明不相似，则只要否定其中的一个条件.解：(1)不一定相似.反例直角三角形只确定一个直角，其他的两对角可能相等，也可能不相等.所以直角三角形不一定相似.(2)不一定相似.反例等腰三角形中只有两边相等，而底边不固定.因此两个等腰三角形中有两边对应成比例，两底边的比不一定等于对应腰的比，所以等腰三角形不一定相似.(3)一定相似.在直角三角形ABC与直角三角形A′B′C′中设AB=a，A′B′=b，则BC=a，B′C′=b，AC=a，A′C′= b∴∴ABC∽A′B′C′(4)一定相似.因为等边三角形各边都相等，各角都等于60度，所以两个等边三角形对应角相等，对应边成比例，因此两个等边三角形一定相似.(5)一定相似.全等三角形对应角相等，对应边相等，所以对应边比为1，所以全等三角形一定相似，且相似比为1.举一反三【变式1】两个相似比为1的相似三角形全等吗？解析：全等.因为这两个三角形相似，所以对应角相等.又相似比为1，所以对应边相等.因此这两个三角形全等.总结升华：由上可知，在特殊的三角形中，有的相似，有的不一定相似.(1)两个直角三角形，两个等腰三角形不一定相似.(2)两个等腰直角三角形，两个等边三角形一定相似.(3)两个全等三角形一定相似，且相似比为1；相似比为1的两个相似三角形全等.【变式2】下列能够相似的一组三角形为( )A.所有的直角三角形B.所有的等腰三角形C.所有的等腰直角三角形D.所有的一边和这边上的高相等的三角形解析：根据相似三角形的概念，判定三角形是否相似，一定要满足三个角对应相等，三条对应边的比相等.而A中只有一组直角相等，其他的角是否对应相等不可知；B中什么条件都不满足；D中只有一条对应边的比相等；C中所有三角形都是由90°、45°、45°角组成的三角形，且对应边的比也相等.答案选C.类型二、相似三角形的判定2．如图所示，已知中，E为AB延长线上的一点，AB=3BE，DE与BC相交于F，请找出图中各对相似三角形，并求出相应的相似比.思路点拨：由可知AB∥CD，AD∥BC，再根据平行线找相似三角形.解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，∴△BEF∽△CDF，△BEF∽△AED.∴△BEF∽△CDF∽△AED.∴当△BEF∽△CDF时，相似比；当△BEF∽△AED时，相似比；当△CDF∽△AED时，相似比.总结升华：本题中△BEF、△CDF、△AED都相似，共构成三对相似三角形.求相似比不仅要找准对应边，还需注意两个三角形的先后次序，若次序颠倒，则相似比成为原来的倒数.3．已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=6.在Rt△EDF中，∠F=90°，DF=3，EF=4，则△ABC和△EDF相似吗？为什么？思路点拨：已知△ABC和△EDF都是直角三角形，且已知两边长，所以可利用勾股定理分别求出第三边AC和DE，再看三边是否对应成比例.解：在Rt△ABC中，AB=10，BC=6，∠C=90°.由勾股定理得.在Rt△DEF中，DF=3，EF=4，∠F=90°.由勾股定理，得.在△ABC和△EDF中，，，，∴，∴△ABC∽△EDF(三边对应成比例，两三角形相似).总结升华：(1)本题易错为只看3，6，4，10四条线段不成比例就判定两三角形不相似.利用三边判定两三角形相似，应看三角形的三边是否对应成比例，而不是两边.(2)本题也可以只求出AC的长，利用两组对应边的比相等，且夹角相等，判定两三角形相似.4．如图所示，点D在△ABC的边AB上，满足怎样的条件时，△ACD与△ABC相似？试分别加以列举.思路点拨：此题属于探索问题，由相似三角形的识别方法可知，△ACD与△ABC已有公共角∠A，要使此两个三角形相似，可根据相似三角形的识别方法寻找一个条件即可.解：当满足以下三个条件之一时，△ACD∽△ABC.条件一：∠1=∠B.条件二：∠2=∠ACB.条件三：，即.总结升华：本题的探索钥匙是相似三角形的识别方法.在探索两个三角形相似时，用分析法，可先假设△ACD∽△ABC，然后寻找两个三角形中边的关系或角的关系即可.本题易错为出现条件四：.不符合条件“最小化”原则，因为条件三能使问题成立，所以出现条件四是错误的.举一反三【变式1】已知：如图正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP=3PC，Q是CD的中点．求证：△ADQ∽△QCP．思路点拨：因△ADQ与△QCP是直角三角形，虽有相等的直角，但不知AQ与PQ是否垂直，所以不能用两个角对应相等判定．而四边形ABCD是正方形，Q是CD中点，而BP=3PC，所以可用对应边成比例夹角相等的方法来判定．具体证明过程如下：证明：在正方形ABCD中，∵Q是CD的中点，∴=2∵=3，∴=4又∵BC=2DQ，∴=2在△ADQ和△QCP中，=，∠C=∠D=90°，∴△ADQ∽△QCP．【变式2】如图，弦和弦相交于内一点，求证：.思路点拨：题目中求证的是等积式，我们可以转化为比例式，从而找到应证哪两个三角形相似.同时圆当中同弧或等弧所对的圆周角相等要会灵活应用.证明：连接，.在∴∽∴.【变式3】已知：如图，AD是△ABC的高，E、F分别是AB、AC的中点．求证：△DFE∽△ABC．思路点拨：EF为△ABC的中位线，EF=BC，又DE和DF都是直角三角形斜边上的中线，DE= AB，DF=AC．因此考虑用三边对应成比例的两个三角形相似．证明：在Rt△ABD中，DE为斜边AB上的中线，∴DE=AB，即=．同理=．∵EF为△ABC的中位线，∴EF=BC，即=．∴==．∴△DFE∽△ABC．总结升华：本题证明方法较多，可先证∠EDF=∠EDA+∠ADF=∠EAD+∠FAD=∠BAC，再证夹这个角的两边成比例，即=，也可证明∠FED=∠EDB=∠B，同理∠EFD=∠FDC=∠C，都可以证出△DEF∽△ABC．类型三、相似三角形的性质5．△ABC∽△DEF，若△ABC的边长分别为5cm、6cm、7cm，而4cm是△DEF中一边的长度，你能求出△DEF的另外两边的长度吗？试说明理由.思路点拨：因没有说明长4cm的线段是△DEF的最大边或最小边，因此需分三种情况进行讨论.解：设另两边长是xcm，ycm，且x<y.(1)当△DEF中长4cm线段与△ABC中长5cm线段是对应边时，有，从而x=cm，y=cm.(2)当△DEF中长4cm线段与△ABC中长6cm线段是对应边时，有，从而x=cm，y=cm.(3)当△DEF中长4cm线段与△ABC中长7cm线段是对应边时，有，从而x=cm，y=cm.综上所述，△DEF的另外两边的长度应是cm,cm或cm，cm或cm，cm三种可能.总结升华：一定要深刻理解“对应”，若题中没有给出图形，要特别注意是否有图形的分类.6．如图所示，已知△ABC中，AD是高，矩形EFGH内接于△ABC中，且长边FG在BC上，矩形相邻两边的比为1：2，若BC=30cm，AD=10cm.求矩形EFGH的面积.思路点拨：利用已知条件及相似三角形的判定方法及性质求出矩形的长和宽，从而求出矩形的面积.解：∵四边形EFGH是矩形，∴EH∥BC，∴△AEH∽△ABC.∵AD⊥BC，∴AD⊥EH，MD=EF.∵矩形两邻边之比为1：2，设EF=xcm，则EH=2xcm.由相似三角形对应高的比等于相似比，得，∴，∴，.∴EF=6cm，EH=12cm.∴.总结升华：解决有关三角形的内接矩形、内接正方形的计算问题，经常利用相似三角形“对应高的比等于相似比”和“面积比等于相似比的平方”的性质，若图中没有高可以先作出高.举一反三【变式1】△ABC中，DE∥BC，M为DE中点，CM交AB于N，若，求.解：∵DE∥BC ，∴△ADE∽△ABC∴∵M为DE中点，∴∵DM∥BC ，∴△NDM∽△NBC∴∴=1：2.总结升华：图中有两个“”字形，已知线段AD与AB的比和要求的线段ND与NB的比分别在这两个“”字形，利用M为DE中点的条件将条件由一个“”字形转化到另一个“”字形，从而解决问题.类型四、相似三角形的应用7．如图，我们想要测量河两岸相对应两点A、B之间的距离(即河宽) ，你有什么方法？方案1：如上左图，构造全等三角形，测量CD，得到AB=CD，得到河宽.方案2：思路点拨：这是一道测量河宽的实际问题，还可以借用相似三角形的对应边的比相等，比例式中四条线段，测出了三条线段的长，必能求出第四条.如上右图，先从B点出发与AB成90°角方向走50m到O处立一标杆，然后方向不变，继续向前走10m到C处，在C处转90°，沿CD方向再走17m到达D处，使得A、O、D在同一条直线上．那么A、B之间的距离是多少？解：∵AB⊥BC，CD⊥BC∴∠ABO=∠DCO=90°又∵∠AOB=∠DOC∴△AOB∽△DOC∴∵BO=50m，CO=10m，CD=17m∴AB=85m答：河宽为85m．总结升华：方案2利用了“”型基本图形，实际上测量河宽有很多方法，可以用“”型基本图形，借助相似；也可用等腰三角形等等.举一反三【变式1】如图：小明欲测量一座古塔的高度，他站在该塔的影子上前后移动，直到他本身影子的顶端正好与塔的影子的顶端重叠，此时他距离该塔18 m，已知小明的身高是1.6 m，他的影长是2 m．(1)图中△ABC与△ADE是否相似?为什么?(2)求古塔的高度．解：(1)△ABC∽△ADE．∵BC⊥AE，DE⊥AE∴∠ACB=∠AED=90°∵∠A=∠A∴△ABC∽△ADE(2)由(1)得△ABC∽△ADE∴∵AC=2m，AE=2+18=20m，BC=1.6m∴∴DE=16m答：古塔的高度为16m.【变式2】已知：如图，阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下1.5m宽的亮区DE.亮区一边到窗下的墙脚距离CE=1.2m，窗口高AB=1.8m，求窗口底边离地面的高BC？思路点拨：光线AD//BE，作EF⊥DC交AD于F.则，利用边的比例关系求出BC.解：作EF⊥DC交AD于F.因为AD∥BE，所以又因为，所以，所以.因为AB ∥EF ， AD ∥BE ，所以四边形ABEF 是平行四边形，所以EF=AB=1.8m. 所以m.类型五、相似三角形的周长与面积8．已知：如图，在△ABC 与△CAD 中，DA ∥BC ，CD 与AB 相交于E 点，且AE ︰EB=1︰2，EF ∥BC 交AC 于F 点，△ADE 的面积为1，求△BCE 和△AEF 的面积．思路点拨：利用△ADE ∽△BCE ，以及其他有关的已知条件，可以求出△BCE 的面积．△ABC 的边AB 上的高也是△BCE 的高，根据AB ︰BE=3︰2，可求出△ABC 的面积．最后利用△AEF ∽△ABC ，可求出△AEF 的面积． 解：∵ DA ∥BC ，∴ △ADE ∽△BCE ．∴ S △ADE ︰S △BCE =AE 2︰BE 2． ∵ AE ︰BE=1︰2，∴ S △ADE ︰S △BCE =1︰4． ∵ S △ADE =1， ∴ S △BCE =4．∵ S △ABC ︰S △BCE =AB ︰BE=3︰2， ∴ S △ABC =6． ∵ EF ∥BC ，∴ △AEF ∽△ABC ． ∵ AE ︰AB=1︰3，∴ S △AEF ︰S △ABC =AE 2︰AB 2=1︰9． ∴ S △AEF ==．总结升华：注意，同底(或等底)三角形的面积比等于这底上的高的比；同高(或等高)三角形的面积比等于对应底边的比．当两个三角形相似时，它们的面积比等于对应线段比的平方，即相似比的平方．举一反三【变式1】有同一三角形地块的甲、乙两地图，比例尺分别为1∶200和1∶500，求：甲地图与乙地图的相似比和面积比.解：设原地块为△ABC ，地块在甲图上为△A 1B 1C 1，在乙图上为△A 2B 2C 2. ∴ △ABC ∽△A 1B 1C 1∽△A 2B 2C 2且，，∴，∴.【变式2】如图，已知：△ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，PQ//AB，P点在AC上(与点A、C不重合)，Q点在BC上．(1)当△PQC的面积与四边形PABQ的面积相等时，求CP的长；(2)当△PQC的周长与四边形PABQ的周长相等时，求CP的长；解：(1)∵S△PQC =S四边形PABQ∴S△PQC ：S△ABC=1：2∵PQ∥AB，∴△PQC∽△ABC∴S△PQC ：S△ABC=(CP：CA)2=1：2∴CP2=42×，∴CP=.(2)∵S△PQC的周长与四边形PABQ的周长相等，∴PC+CQ=PA+AB+QB=(△ABC的周长)=6 ∵PQ∥AB，∴△PQC∽△ABC∴，即：解得，CP=类型六、综合探究9．如图，AB∥CD，∠A=90°，AB=2，AD=5，P是AD上一动点(不与A、D重合)，PE⊥BP，P为垂足，PE交DC于点E，(1)设AP=x，DE=y，求y与x之间的函数关系式，并指出x的取值范围；(2)请你探索在点P运动的过程中，四边形ABED能否构成矩形？如果能，求出AP的长；如果不能，请说明理由.解：(1)∵AB∥CD ，∴∠A+∠D=180°∵∠A=90°，∴∠D=90°，∴∠A=∠D又∵PE⊥BP ，∴∠APB+∠DPE=90°，又∠APB+∠ABP=90°，∴∠ABP=∠DPE，∴△ABP∽△DPE∴，即∴(2)欲使四边形ABED为矩形，只需DE=AB=2，即，解得∵，∵均符合题意，故AP=1或 4.总结升华：(1)求以线段长为变量的两个函数间的关系时，常常将未知线段和已知线段作为三角形的边，利用相似三角形的知识解决.(2)解决第(2)小问时要充分挖掘运动变化过程中点的特殊位置，再转化为具体的数值，通过建立方程解决，体现了数形结合的思想.10．如图，在△ABC中，BC=2，BC边上的高AD=1，P是BC上任意一点，PE∥AB交AC于E，PF ∥AC交AB于F.(1)设BP=，△PEF的面积为，求与的函数解析式和的取值范围；(2)当P在BC边上什么位置时，值最大.解：(1)∵BC=2，BC边上的高AD=1∴△ABC的面积为1∵PF∥AC，∴△BFP∽△BAC∴，∴同理△CEP∽△CAB∴，∴∵PE∥AB，PF∥AC，∴四边形PFAE为平行四边形∴∴.(2)∴当时，即P点在BC边的中点时，值最大.总结升华：建立三角形的面积与线段长之间的函数关系，可考虑从以下几方面考虑：(1)从面积公式入手；(2)从相似三角形的性质入手；将面积的比转化为相似比的平方；(3)从同底或等高入手，将面积比转化为底之比或高之比.。