x
| AF2 | 2t ，
∵
c
1 2
|
F1F2
|
3t， 2
∴ e c 3 ．故选 A． a3
例 2：
椭圆
C：
x2 4
y2 3
1的两个左、右顶点分别为
A1 ，
A2 ，点
P
在
C
上且直
线 PA2 斜率的取值范围是[2，1] ，那么直线 PA1 斜率的取值范围是（ ）
A．[1 ，3] 24
B． [ 3 ，3 ] 84
e c (1， ) a
c2 ________
抛物线 y l OF x
y2 2 px( p 0) O(0，0) x轴 F ( p ，0) 2 x p 2 e 1
无
注：只讨论了其中一种情况
二、圆锥曲线与直线的位置关系 1. 圆锥曲线与直线的交点的个数问题
把圆锥曲线方程与直线方程联立消去 y(或 x)，整理得到关于 x(或 y)的方程 ax2 bx c 0 (或 ay2 by c 0 )，判断方程的解的个数．
7. 已知抛物线 y2 2 px( p 0) ，过其焦点且斜率为 1 的直线交抛物线于 A，B 两点，若线段 AB 的中点的纵坐标为 2，则该抛物线的准线方程为 __________．
y
O
x
8. 抛物线 y x2 与过点 M (0，1) 的直线 l 相交于 A，B 两点，O 为原点．若直 2
B．双曲线的一支
C．抛物线
D．抛物线的一部分
2. 已知抛物线 y2 4x 的准线与双曲线 x2 y2 1(a 0) 相交于 A，B 两点，且 a2
F 是抛物线的焦点，若△FAB 是直角三角形，则双曲线的离心率为（ ）
A． 3
B． 6
C．2
D． 3
2
3. 已知 M 是 y 1 x2 上一点，F 为抛物线的焦点．若点 A 在圆 4
P
为椭圆上一点，且 PF1 PF2 ，| PF1 | | PF2 | 2 ，则椭圆的方程为
______________． y
O
x
6.
已知双曲线
x2 a2
y2 b2
1(a
0，b
0) 的左、右焦点分别为 F1 ，
F2 ，经过 F1 且垂直于 x 轴的直线交双曲线于 P，Q 两点．若
4
y
O
x
PF2Q 90 ，则双曲线的离心率为__________．
y
B1
A
O
x
B
回顾与思考
________________________________________________________ ________________________________________________________ _______________________________________________________
14．（1） x2 y2 1 ；（2） y 5x 3 39
8
圆锥曲线综合（随堂测试）
1. 已知抛物线 y2 2 px( p 0) ，AB 为过焦点的弦，| AB | 5 ，且 AB 中
点的横坐标为 3 ，则 p 的值为__________．
y
2
OF x
2. 已知双曲线的一个焦点为 ( 7，0) ，若直线 y x 1与双曲线 相交于 M，N 两点，线段 MN 中点的横坐标为 2 ，则双曲 3 线的标准方程为______________________．
【参考答案】
知识点睛
一、 c2 a2 b2
精讲精练
c2 a2 b2
7
1．D 5．A 9． 3+1
2．B 6．D 10．3
3．B
4．D
7．A
8． 5 7
11． y 1 x 3 24
12．（1） x2 y2 1 ；（2） 41
25 16
5
13．（1） x2 y2 1；（2） y x 4 16
的一条渐近线与直线 AM 平行，则实数 a 的值是（ ）
O
x
A． 1 9
B． 1 25
C． 1 5
D． 1 3
5. 已知 A(0，7) ， B(0， 7) ， C(12，2) ，以 C 为一个焦点的椭圆经过 A，B 两点， 则椭圆的另一个焦点 F 的轨迹方程是（ ）
A． y2 x2 1( y ≤ 1) 48
C．[1 ，1] 2
D．[ 3，1] 4
【思路分析】
由椭圆的方程得左、右顶点的坐标，设 P(x0，y0 ) ，分别表达 PA1 和 PA2 的斜率，
1
根据两者之间的关系即可求出直线 PA1 斜率的取值范围．
由椭圆
x2 4
y2 3
1可知其左顶点
A1(2，0) ，右顶点 A2 (2，0) ，
设 P(x0，y0 ) ，则有 kPA1
B． y2 x2 1( y ≥1) 48
C． x2 y2 1(x ≤ 1) 48
D． x2 y2 1(x ≥1) 48
6. 设点 A 为圆 (x 1)2 y2 1上的动点，PA 是圆的切线，且
3
| PA | 1 ，则 P 点的轨迹方程为（ ）
A． y2 2x
B． (x 1)2 y2 4
线 OA 和直线 OB 的斜率之和为 1，求直线 l 的方程．
5
y
O
x
M
9.
已知双曲线 C：ax，22
y2 b2
1(a
0
b 0) 的离心率为 3 ，其中左焦点
y
O
x
【参考答案】
1. 2
2. x2 y2 1
25
1
圆锥曲线综合（作业）
例 1：
已知 F1 ， F2 是椭圆
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0) 的两个焦点，过 F1 且与椭圆长轴
垂直的直线交椭圆于 A、B 两点，若△ ABF2 是正三角形，则这个椭圆的离心
率为（ ）
A． 3 3
B． 2 3
C． 2 2
y0 x0 2
，kPA2
y0 ， x0 2
由点 P(x0，y0 ) 在椭圆
x2 4
y2 3
1上，可得
x02 4
y02 3
1，
∴ kPA1
kPA2
y0 x0 2
y0 x0
2
y02 x02 4
3(1 x02
1 4
x02
)
4
3 4
，
∵ 2 ≤≤kPA2 1，
3
3
∴ 8 ≤≤kPA1
．故选 B． 4
例 3： 斜率为 2 的直线 l 与双曲线 x2 y2 1 交于 A，B 两点， 32
且| AB | 4 ，求直线 l 的方程．
【思路分析】
设出直线 l 的方程，与双曲线方程联立，利用根与系数的关系表达弦长，建立等 式求出直线 l 的方程． 【过程示范】
设直线 l 的方程为 y 2x m ，
圆锥曲线综合（讲义）
知识点睛
一、圆锥曲线的几何特征综合
椭圆
图象
y B2
A1 F1 O F2 A2 x B1
标准方程
顶点坐标 对称轴
焦点坐标
准线方程
离心率 a，b，c 的
关系
x2 y2 1(a b 0) a2 b2 A1(a，0) ， A2 (a，0) B1(0， b) ， B2 (0，b)
x 轴、y 轴
（1）当 P 在圆上运动时，求点 M 的轨迹 C 的方程； （2）求过点 (3，0) 且斜率为 4 的直线被 C 所截线段的长度．
5 y
P M
OD
x
13. 已知椭圆 C1：x42 y2 1，椭圆 C2 以 C1 的长轴为短轴，且与 C1 有相同的离心 率．
（1）求椭圆 C2 的方程；
（2）设 O 为坐标原点，点 A，B 分别在椭圆 C1 ， C2 上，
在求解圆锥曲线并且题目中交代直线与圆锥曲线相交和被截的线段的中点坐 标时，设出直线与圆锥曲线的两个交点坐标，代入圆锥曲线的方程并作差， 从而求出直线的斜率，然后利用中点坐标求出直线方程．
精讲精练
1. 实数变量 m，n 满足 m2 n2 1，则坐标 (m n，mn) 表示的点
的轨迹是（ ）
A．椭圆
5
36 m2 4 3m2 6 4 ，
25
10
解得 m 210 ，满足条件， 3
∴直线 l 的方程为 y 2x 210 ． 3
1. 抛物线 y2 4x 的焦点到双曲线 x2 y2 1的渐近线的距离是（ ） 3
A． 1 2
B． 3 2
C．1
D． 3
y
OF x
2.
设 F1 ， F2 为椭圆
D． 3 2
【思路分析】
由正三角形的高与边长的比例关系，结合椭圆的几何定义，推导出椭圆的离心 率．如图所示：
y
∵△ ABF2 是正三角形，
A
∴ AF2F1 30 ， 设| AF1 | t ，则| F1F2 | 3t ，
F1 O
F2
B
由椭圆的几何定义，| AF1 | | AF2 | 2a ，
∴a 3t， 2
且 2PF2F1 PF1F2 ，其中 F1 ， F2 分别是双曲线 C1 的左、右焦点，则双曲
线 C1 的离心率为__________．
4
yOΒιβλιοθήκη x10. 椭圆 x2 y2 1的左焦点为 F，直线 x=m 与椭圆相交于点 A，B．当△FAB 43
的周长最大时，△FAB 的面积是__________．
C． y2 2x
D． (x 1)2 y2 2
7. 已知抛物线 y2 8x 的焦点为 F，直线 y k(x 2) 与此抛物线相交于 P，Q 两