第七章 粘性流体动力学7-1 油在水平圆管内做定常层流运动，已知75=d （mm ），7=Q （litres/s ），800=ρ (kg/m 3)，壁面上480=τ（N/m 2），求油的粘性系数ν。

答：根据圆管内定常层流流动的速度分布可得出2081mu λρτ=； 其中：λ是阻力系数，并且Re64=λ； m u 是平均速度，585.1075.014.325.010741232=⨯⨯⨯==-d Qu m π（m/s ）。

由于阻力系数208m u ρτλ=，因此0202886464Re τρτρλmm u u ===； 即：28τρνmm u du =；所以油的粘性系数为401055.3585.18008075.0488-⨯=⨯⨯⨯==m u d ρτν（m 2/s ）。

7-2 Prandtl 混合长度理论的基本思路是什么？答：把湍流中流体微团的脉动与气体分子的运动相比拟。

7-3无限大倾斜平板上有厚度为h 的一层粘性流体，在重力g 的作用下做定常层流运动，自由液面上的压力为大气压Pa ，且剪切应力为0，流体密度为ρ，运动粘性系数为ν，平板倾斜角为θ。

试求垂直于x 轴的截面上的速度分布和压力分布。

答：首先建立如图所示坐标系。

二维定常N-S 方程为：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂-=∂∂+∂∂22221y u x u x pf y u v x u u x νρ ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂-=∂∂+∂∂22221y v x v y p f y v v x v u y νρ 对于如图所示的流动，易知()y u u =，()y p p =，0=v ，θsin g f x =，θcos g f y -=；即x 方向速度u 和压力p 仅是y 的函数，y 方向速度分量0=v 。

因此上式可改写为：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+=∂∂2222y u x u f x uu x ν ypf y ∂∂=ρ1 由不可压缩流体的连续方程0=∂∂+∂∂y v x u 可知，由于0=v ，0=∂∂y v ，则0=∂∂xu ； 则上式可进一步简化为：022=∂∂+yuf x ν （1）ypf y ∂∂=ρ1 （2） 对于（1）式，将θsin g f x =代入，则有：θνsin 122g y u -=∂∂ 两端同时积分，得到：1sin 1C y g y u +-=∂∂θν由于当h y =时，0=∂∂=yu μτ，即0=∂∂y u，代入上式有： h g C θνsin 11=因此：y g h g y u θνθνsin 1sin 1-=∂∂ 两端再次同时积分，得到：()22sin 21sin 1C y g hy g y u +-=θνθν由于0=y 时，()00=u ，代入上式，知02=C ；则有：()⎪⎭⎫ ⎝⎛-=221sin 1y hy g y u θν 若将ρμν=代入，则上式成为： ()⎪⎭⎫ ⎝⎛-=221sin y hy g y u θμρ 该式即为流动的速度分布。

对于（2）式，将θcos g f y -=代入，有：θρcos g yp-=∂∂ 两端同时积分得到：()C y g y p +-=θρcos由于当h y =时，()a p h p =，代入上式有：h g p C a θρcos +=因此：()()y h g p y g h g p y p a a -+=-+=θρθρθρcos cos cos该式即为流动的压力分布。

7-4两块无限长二维平行平板如图所示，其间充满两种粘性系数分别为1μ和2μ，密度分别为1ρ和2ρ的液体，厚度分别为1h 和2h 。

已知上板以等速0v 相对于下板向右作平行运动，整个流场应力相同（不计重力），流动是层流，求流场中速度和切应力的分布。

答：首先建立如图所示的坐标系。

当不计及质量力时，平面定常层流流动的N-S 方程为：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂-=∂∂+∂∂22221y u x u x py u v x u u νρ ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂-=∂∂+∂∂22221y v x v y p y v v x v u νρ显然，y 方向的速度分量0=v ；由不可压缩流体的连续方程可知0=∂∂+∂∂y v x u ，可知0=∂∂xu ，u 仅仅是y 的函数，即()y u u =，所以上式可重新整理成为：221dyyd x p νρ=∂∂⋅ （1） 01=∂∂⋅yp ρ （2） 由（2）式知道，0=∂∂yp，p 仅仅是x 的函数()x p p =。

将（1）式分区域写成：xpdy u d ∂∂=1221μ 10h y ≤≤ xpdy u d ∂∂=2221μ 02≤≤-y h 分别对两式两端同时积分得到：111C y xp dy du +∂∂=μ 10h y ≤≤ （3） 221C y xp dy du +∂∂=μ 02≤≤-y h （4） 即111C y xp dy du μμ+∂∂= 10h y ≤≤ 222C y xp dy du μμ+∂∂= 02≤≤-y h 由于当0=y 时，两种流体界面上的剪切应力相同，即dydu dy du 21μμ=，因此有： 2211C C μμ=，（3）（4）两式化为：111C y xp dy du +∂∂=μ 10h y ≤≤ （3）′ 12121C y x p dy du μμμ+∂∂= 02≤≤-y h （4）′ 分别对（3）′和（4）′两式两端同时积分得到：312121C y C y xp u ++∂∂=μ 10h y ≤≤41212221C y C y x p u ++∂∂=μμμ 02≤≤-y h由于当0=y 时，两种流体界面上的速度相同，得43C C =，则：312121C y C y xp u ++∂∂=μ 10h y ≤≤ （5）31212221C y C y x p u ++∂∂=μμμ 02≤≤-y h （6）当1h y =时，0v u =，带入到（5）式；当2h y -=时，0=u ，带入到（6）式；得到：031121121v C h C h xp =++∂∂μ （7）02132121222=+-∂∂C h C h x p μμμ （8）（7）（8）两式相减，经整理后得到：()xph h h h v h h C ∂∂⋅+-⋅++=21121212221021122121μμμμμμμμ将1C 代入（8）式，经整理后得到：()()()xph h h h h h v h h h h x p x p h h h h v h h h h xp C h C ∂∂⋅++⋅-+=∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⋅+-⋅++=∂∂-=211221210211221222211212122210211222212221221321 2121 21μμμμμμμμμμμμμμμμμμμ 将1C 和3C 代回到（5）（6）两式，则可得到两种流体中的速度分布；将（3）′和（4）′两式两端分别乘以1μ和2μ，并将1C 代入，可得到应力分布分别为：dy du 11μτ= dydu 22μτ=。

7-5 直径为15mm 的光滑圆管，流体以速度14m/s 在管中流动，是确定流体的状态。

又若要保持为层流，最大允许速度是多少？这些流体分别为（1）润滑油；（2）汽油；（3）水；（4）空气。

已知41010-⨯=润滑油νm 2/s ，610884.0-⨯=汽油νm 2/s 。

答：对于圆管内的流动，临界雷诺数为2300Re =c 。

当流速14=U （m/s ）时，各种流体的流动状态如下： （1）润滑油：2101010015.014Re 4=⨯⨯==-νUd，2300Re Re =<c ，为层流流动。

（2）汽油：5610376.210884.0015.014Re ⨯=⨯⨯==-νUd，2300Re Re =>c ，为湍流流动。

（3）水：取水的粘性系数610139.1-⨯=ν（m 2/s ）。

5610844.110139.1015.014Re ⨯=⨯⨯==-νUd，2300Re Re =>c ，为湍流流动。

（4）空气：取空气的粘性系数510455.1-⨯=ν（m 2/s ）。

4510443.110455.1015.014Re ⨯=⨯⨯==-νUd，2300Re Re =>c ，为湍流流动。

若保持流动为层流状态，则要求2300Re Re =<c ，各种流体的临界速度分别为：2300Re =<c Udν（1）润滑油：3.153015.01010230023004=⨯⨯=⨯=-d U ν（m/s ）；（2）汽油：136.0015.010884.023*******=⨯⨯=⨯=-d U ν（m/s ）；（3）水：175.0015.010139.1230023006=⨯⨯=⨯=-d U ν（m/s ）；（4）空气：231.2015.010455.1230023005=⨯⨯=⨯=-d U ν（m/s ）。

7-6 粘性系数μ=39.49x10-3（m 2/s ），γ=7252N/m 2的油流过直径为2.45cm 的光滑圆管；平均流速为0.3m/s 。

试计算30m 长管子上的压力降，并计算管内距管壁0.6cm 处的流速。

答：雷诺数：νdu m =Re ，其中：平均流速：3.0=m u （m/s ）； 流体密度：2.73981.97252===gγρ（kg/m 3）； 运动粘性系数：5310342.52.7391049.39--⨯=⨯==ρμν（m 2/s ）。

因此雷诺数为：6.14210342.50254.03.0Re 5=⨯⨯==-νdu m ，流动状态是层流； 则阻力系数为：449.06.14264Re 64===λ； 压力降为：4.176403.02.739210254.030449.02122=⨯⨯⨯⨯=⋅=∆m u d l p ρλ（N/m 2）； 最大流速：6.02max ==m u u （m/s ）；圆管内沿径向的速度分布为：⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=22max 1a r u u ；上式中：7.122/4.25==a （mm ），则在7.667.12=-=r （mm ）处，流动速度为：433.07.127.616.01222max =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=a r u u （m/s ）。

7-730C 的水流过直径为d=7.62cm 的光滑圆管，每分钟流量为0.340m 3，求在915m 长度上的压力降，管壁上的剪应力0τ及粘性底层的厚度。

当水温下降到5C 时，情况又如何？ 答：（1）当水温为30C 时，取水的粘性系数为6108009.0-⨯=ν（m 2/s ） ； 平均流速为：243.10762.014.325.060/34.04122=⨯⨯==d Q u m π（m/s ）； 雷诺数为：5610183.1108009.00762.0243.1Re ⨯=⨯⨯==-νdu m ，流动为湍流流动； 查莫迪图谱，得到阻力系数为：017.0=λ；则压力降为：157698243.1100.1210762.0915017.021232=⨯⨯⨯⨯⨯=⋅=∆m u d l p ρλ（N/m 2） =1.58（Pa ）；管壁上的剪切应力：283.3243.1100.1017.081812320=⨯⨯⨯⨯==m u λρτ（N/m 2）；又由于0573.010283.330===ρττu ，并且5=ντyu ，得到粘性底层厚度为： 069.00573.0108009.0556=⨯⨯==-τνu y （mm ）。