高二年级期末考试数学试卷（理科）（选修2－1)考试时间：1２0分钟 试卷满分：150分第Ⅰ卷 (１00分)一、选择题:(本大题共８小题,每小题5分，共40分。
每小题有且只有一个选项是正确的，请把答案填在相应位置上)1．命题"042,"2>+-∈∃x x R x 的否定是ﻩ A ．"042,"2<+-∈∃x x R xB."042,"2>+-∈∀x x R xﻩＣ."042,"2≥+-∈∀x x R x ﻩ D."042,"2≤+-∈∀x x R x2. 双曲线52x +k 2y =,那么实数k 的值为ﻩA ．-2５ B ．25 ﻩC ．-1 D.1 ３. 在空间直角坐标系中,点A(1，２,１）关于x 轴对称的点的坐标为A.（-１，２,1)B.(-１，-2,1） Ｃ.(1,－2，-１) ﻩＤ.（１，2,-1） ４． 下列命题是假命题的是A.命题“若220,x y +=则,x y 全为0”的逆命题ﻩ B.命题“全等三角形是相似三角形”的否命题ﻩ C.命题“若0,m >则20x x m +-=有实数根”的逆否命题ﻩ D.命题“ABC ∆中，如果090C ∠=，那么222c a b =+” 的逆否命题 5． 已知(0,1,1)a =-, (1,2,1)b =-,则向量a ,b 的夹角为 ﻩ A.30 ﻩ B.60 ﻩ C.90 D.1506. “直线ｌ与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l 与平面ａ垂直”的 A.充要条件 ﻩB ．充分非必要条件C ．必要非充分条件Ｄ．既非充分又非必要条件7. 如图,四面体ABC Ｄ中,设M 是CD 的中点，则1()2AB BD BC ++化简的结果是A.AM Ｂ．BMC ． CM Ｄ．DM8. 已知P 是双曲线22219x y a -=上一点,双曲线的一条渐近线方程为043=-y x ,21,F F 分别是双曲线的左右焦点,若3||2=PF ,则||1PF 等于ﻩＡ.11 ﻩB ．5 ﻩﻩＣ.5或１1 ﻩ D.7 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分,共20分）9. 已知向量(0,1,1)a =-,(4,1,0)b =，||29a b λ+=且0λ>，CDBMA则λ＝ __＿___＿.10. 若抛物线22(0)y px p =>上横坐标为6的点到焦点的距离等于8，则焦点到准线的距离是__＿_．11. 已知21F F 、为椭圆192522=+y x 的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于A 、B 两点，若1222=+B F A F ，则AB =_＿_＿_＿＿．１2. 如图,抛物线形拱桥的顶点距水面2米时,测得拱桥内水面宽为１２米,当水面升高1米后,则拱桥内水面的宽度为__＿__米.三、解答题（本大题共有3个小题，共40分。
解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
)13． (本小题满分13分）已知命题p ：方程2212x y m+=表示焦点在y 轴上的椭圆，命题q :关于Ｘ的方程22230x mx m +++=无实根，若“p q ∧”为假命题，“p q ∨”为真命题,求实数m 的取值范围.14.(本题满分14分）已知四边形A ＢCD 是正方形,P 是平面ABC Ｄ外一点,且P Ａ=PB ＝PC=PD ＝A Ｂ＝２，M 是棱PC 的中点.建立适当的空间直角坐标系,利用空间向量方法解答以下问题：（1）求证：PA //BMD 平面； （２） 求证：PC BMD ⊥平面;(3）求直线PA 与直线MB 所成角的余弦值.15.(本题满分13分)已知顶点在坐标原点,焦点为(1,0)F 的抛物线C 与直线b x y +=2相交于B A ,两点，53||=AB ．（1)求抛物线C 的标准方程； （2)求b 的值;（3)当抛物线上一动点P 从点A 到B 运动时，求∆ABP 面积的最大值．第Ⅱ卷（50分)一、选择题（本大题共3小题,每小题5分，共１5分。
每题有且只有一个选项是正确的，请把答案填在答卷相应位置上)1. 设向量},,{c b a 是空间一个基底，则一定可以与向量b a q b a p -=+=,构成空间的另一个基底的向量是Ａ.a ﻩB ．bＣ.c ﻩＤ.b a 或2. 双曲线1522=-mx y 的离心率6(,2)e ∈，则ｍ的取值范围是 ﻩ A.5(,5)2ﻩﻩ B.10(,5)ﻩC.5610(,525)--D ．25(,15)23. 已知AB =3 , A,B 分别在x 轴和ｙ轴上运动，O 为原点，1233OP OA OB =+,则动点P 的轨迹方程是ﻩ A.2214x y += ﻩ B.2214y x += ﻩ C.2219x y += ﻩ D.2219y x += 二、填空题(本大题共2小题,每小题5分，共１0分)4. 设椭圆13422=+y x 的长轴两端点为M 、N ,异于M 、N 的点P 在椭圆上，则,PM PN 的斜率之积为 .５. 如图，在60︒的二面角AB αβ--内，,,AC BD AC AB βα⊂⊂⊥于A ,BD AB ⊥ 于B ，且1AC AB BD ===,则CD 的长为 。
三、解答题（本大题共有2个小题,共25分。
解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
)６. (本小题满分12分）如图,在平行四边形ABCD 中,01,2,90AB BD ABD ==∠=,将它们沿对角线BD 折起，折后的点C 变为1C ,且12AC =.(1）求点B 到平面1AC D 的距离；（２)E 为线段1AC 上的一个动点,当线段1EC 的长为多少时,DE 与平面1BC D 所成的角为030？ 7． (本小题满分13分)如图，已知椭圆C ：12222=+by a x )0(>>b a左焦点为(1,0)-F ，过点(0,2)D 且斜率为k 的直线l 交椭圆于,A B 两点．(Ⅰ)求椭圆C 的方程； (Ⅱ）求k 的取值范围;（Ⅲ)在y 轴上，是否存在定点E ,使AE BE ⋅恒为定值?若存在，求出E 点的坐标和这个定值;若不存在,说明理由.ﻫx高二数学 选修2－1 试卷参考答案及评分标准第Ｉ卷一.选择题1-8:DCC ＢＤCAA 二．填空题9-１2：３,４，8,6214. 解：连结A Ｃ、B Ｄ交于点Ｏ,连结OP 。
∵四边形ＡB ＣD 是正方形,∴ＡC ⊥BD ∵PA=PC,∴OP ⊥AC ，同理OP ⊥BD ，以O 为原点，OAOB OP 、、分别为,,x y z 轴的正方向, 建立空间直角坐标系O xyz - …………………2分2212),(2,0,0),2,0),(22(2,0,2),(0,2,0),(0,P A B M PA OB OM BMD PA PA n∴=-==-∴∴=∴⊥∉（）平面的法向量为n=(1,0,1)n 又P 平面BMD//PA BMD ∴平面 …………………6分2(,0,)0,0,OB OM PC OB PC OM OB OM O∴===∴⊥⊥=（）C(-2,0,0) PC -2-2PC PC 又PC BMD ∴⊥面…………………10分33322||||||cos )22,2,22()3(=⨯=⋅⋅=∴-=MB PA MB PA MB θ 33PA MB 即直线与直线所成角的余弦值为…………………１4分 １5. 解：（1）设所求的抛物线方程为22(0)y px p =>,根据题意12p =,2p ∴=∴所求的抛物线标准方程为24y x =. …………2分 (2)设A （x １,ｙ１）、B(x 2,y 2）,由⎩⎨⎧=+=xy b x y 422得4x 2＋4（ｂ-1）x +b 2=0, …………3分 Δ=16(b －1)2-16b ２>０. ∴21<b ． …………5分又由韦达定理有x １+ｘ2=1-b ,x 1x ２=42b ,∴AB =,2154)(21212212b x x x x -⋅=-+⋅+ …………７分 即53)21(5=-b . ∴4b =-． …………8分第Ⅱ卷一．选择题：1-3:CA Ｂ二.填空题：4.43-５. 2 6. 解法一：(1）22211112AC AC AB BC AB BC =⇒=+⇒⊥又AB BD ⊥ 11AB BC D C D AB ∴⊥⇒⊥平面11C D BDC D AB⊥⊥1C D ABD ⇒⊥平面1ABD AC D ⇒⊥平面平面过点B 做BF AD ⊥于F ,则BF 即为B 到平面1AC D 的距离，则1263BF ⨯==…６分（２)过E 作1EH BC ⊥于H ,则//EH AB ，故1EH BC D ⊥平面，连DH ， 则EDH ∠就是DE 与平面1BC D 所成的角．设1||C E x =,∵1AB =,12AC =，故知0130AC B ∠=,则12EH x =， 同理可知，0160DC E ∠=,在1DC E ∆中，由余弦定理得220212cos601DE x x x x =+-=-+． 若030EDH ∠=,则2DE EH x ==,故有221x x x =-+，解得1x =,即1||1C E =时,DE 与平面1BC D 所成的角为030.………12分解法二:22211112AC AC AB BC AB BC =⇒=+⇒⊥又AB BD ⊥ ∴A Ｂ⊥平面BC 1D 依题意,建立空间直角坐标系Ｂ-ｘyz ……2分 则A(0,0，1),C 1 (1,2, 0),D （0, 2,０) ∴),1,2,0(),1,2,1(1-=-=AD AC )1,0,0(=BA设 1(,,)n x y z =是平面1AC D 的一个法向量,∴⎪⎩⎪⎨⎧=-=⋅=-+=⋅0202111z y AD n z y x AC n 解得⎩⎨⎧==y z x 20,令y=1，∴)2,1,0(1=n ……４分∴B 到平面1AC D 的距离3632||===n n BA d …………6分 （2)设1AC AE λ=,则)1,2,(λλλ-E ∴)1,22,(λλλ--=DE 又)1,0,0(=BA 是平面ＢＣ1D 的一个法向量 …………８分 依题意得2160cos |)1(31||,cos |22==-+-=><o DE BA λλλ…………10分 有λ＞0得，21=λ，即1||1C E =时，DE 与平面1BC D 所成的角为030.…12分所以k 的取值范围是66(,(,)-∞+∞．ﻩ ……6分 (Ⅲ）设1122(,),(,)A x y B x y ，ﻫ则12122286,1212k x x x x k k +=-=++． 又2212121212224(2)(2)2()421k y y kx kx k x x k x x k -=++=+++=-+，ﻫ12121224(2)(2)()421y y kx kx k x x k +=+++=++=+. ……7分设存在点(0,)E m ，则11(,)AE x m y =--,22(,)BE x m y =--,所以2121212()AE BE x x m m y y y y ⋅=+-++124212412622222+--+⋅-++=k k k m m k 2222(22)41021m k m m k -+-+=+， ﻩ……9分ﻫ要使得AE BE t ⋅=（t 为常数),只要2222(22)41021m k m m t k -+-+=+,ﻫ从而222(222)4100m t k m m t --+-+-=，ﻫ即222220, (1)4100, (2)m t m m t ⎧--=⎪⎨-+-=⎪⎩ﻩﻩ……１1分由（1)得21t m =-,ﻫ代入（２)解得114m =，从而10516t =, ﻫ故存在定点11(0,)4E ，使AE BE ⋅恒为定值10516. ﻩ……１３分。