很全抛物线焦点弦的有关结论附答案————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：xBAyoF BAyoF [很全]抛物线焦点弦的有关结论知识点1：若AB 是过抛物线()022>=p px y 的焦点F 的弦。

设(),,11y x A ()22,y x B ，则（1）4221p x x =；（2）221p y y -=证明：如图，（1）若AB 的斜率不存在时，依题意,221px x ==4221p x x =∴若AB 的斜率存在时，设为,k 则⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2:p x k y AB ，与px y 22=联立，得()042222222222=++-⇒=⎪⎭⎫ ⎝⎛-p k px k x k px p x k.4221p x x =∴ 综上：.4221p x x =（2）p y x p y x 2,2222211==Θ，,22142221p y y p y y ±=⇒=∴但22121,0p y y y y -=∴< （2）另证：设2:pmy x AB +=与px y 22=联立，得22122,02p y y p pmy y -=∴=-- 知识点2：若AB 是过抛物线()022>=p px y 的焦点F 的弦。

设(),,11y x A ()22,y x B ，则（1）;21p x x AB ++=（2）设直线AB 的倾斜角为α，则α2sin 2pAB =。

证明：（1）由抛物线的定义知,2,221px BF p x AF +=+=p x x BF AF AB ++=+=∴21 （2）若,2,90210p x x ===则α由（1）知α2sin 22pp AB == 若px y p x k y AB 2,2:,9020=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=≠与设α联立，得BAoyF BAoyF BAoyF K()042222222222=++-⇒=⎪⎭⎫ ⎝⎛-p k px k x k px p x k(),22221k k p x x +=+∴()222112k k p p x x AB +=++=∴，而αtan =k ，()ααα222sin 2tan tan 12pp AB =+=∴ 知识点3：若AB 是过抛物线()022>=p px y 的焦点F 的弦，则以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切。

证明：过点B A 、分别向抛物线的准线引垂线，垂足分别为,11B A 、过AB 中点M 向准线引垂线，垂足为,N 设以AB 为直径的圆的半径为,r.2211r MN MN BB AA BF AF AB r =∴=+=+==Θ∴以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切。

知识点4：若AB 是过抛物线()022>=p px y 的焦点F 的弦。

过点B A 、分别向抛物线的准线引垂线，垂足分别为,11B A 、则01190=∠FB A 。

证明借助于平行线和等腰三角形容易证明知识点5：若AB 是过抛物线()022>=p px y 的焦点F 的弦，抛物线的准线与x 轴相交于点K ，则.BKF AKF ∠=∠证明：过点B A 、分别作准线的垂线，垂足分别为.11B A 、11////BB KF AA ΘB B BF A A AF FB AFK B K A 1111,===∴而 B B A A K B K A 1111=∴BB KB A A K A 1111=∴，而01190=∠=∠K BB K AA K AA 1∆∴∽K BB 1∆ KB B KA A 11∠=∠∴ BKF AKF ∠=∠∴CF BAoyBAoyF 知识点6：若AB 是过抛物线()022>=p px y 的焦点F 的弦，o 为抛物线的顶点，连接AO 并延长交该抛物线的准线于点,C 则.//OF BC证明：设(),,11y x A ()22,y x B ，则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--∴=11112,2,:x p y p C x x y y AB 1221111222y p py p y x p y y C -=⋅-=-=∴ 由知识点1知221p y y -= 2222y y p p y C =--=∴ OF BC //∴ 逆定理：若AB 是过抛物线()022>=p px y 的焦点F 的弦，过点B 作OF BC //交抛物线准线于点,C 则O C A 、、三点共线。

证明略知识点7：若AB 是过抛物线()022>=p px y 的焦点F 的弦，设,,n BF m AF ==则.211pn m =+ 证法：（1）若x AB ⊥轴，则AB 为通径，而,2p AB =p n m ==∴ ∴.211pn m =+ （2）若AB 与x 轴不垂直，设(),,11y x A ()22,y x B ，AB 的斜率为k ，则⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2:p x k y l 与px y 22=联立，得()042222222222=++-⇒=⎪⎭⎫ ⎝⎛-p k px k x k px p x k(),22221kk p x x +=+∴.4221p x x = 由抛物线的定义知2,221px BF n p x AF m +==+==BAoyF∴()p px x p x x p x x mnn m n m 242112212121=+++++=+=+ 知识点8：已知抛物线()022>=p px y 中，AB 为其过焦点F 的弦，,,n BF m AF ==则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∆n m m n p S AOB42证明：设,θ=∠AFx 则BOF AOF AOB S S S ∆∆∆+=()()θθθπsin 4sin 221sin 221n m ppm p +=⋅⋅+-⋅⋅=而mn p p mn p n p m 222sin ,sin ,cos 1,cos 1=∴=∴+=-=θθθθ ().4422⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=+=∴∆n m m n p mn p n m p S AOB逆定理：已知抛物线()022>=p px y 中，AB 为其弦且与x 轴相交于点M ，若,,n BM m AM ==且,42⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∆n m m n p S AOB则弦AB 过焦点。

证明：设(),,11y x A ()22,y x B ，,θ=∠AMx ()0,t M ，则BOM AOM AOB S S S ∆∆∆+==()()θθθπsin 21sin 21sin 21t n m tn tm +=+-而,sin ,sin 21ny my ==θθ mny y 212sin -=∴θ mn y y 21sin -=∴θ ()()21212121y y t mn n m mn y y t n m S AOB -+=-+=∴∆ 而()221422p mn n m n m m n p S AOB+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∆ 2221p y y t =-∴① 又可设0222:22=--⇒⎭⎬⎫=+=pt pay y px y t ay x l pt y y 221-=∴②(x 1,y 1)(x 2,y 2)xyB´A´由①②得2p t =AB ∴恒过焦点⎪⎭⎫ ⎝⎛0,2p 例1、过抛物线24y x =的焦点做直线交抛物线于1122(,),(,)A x y B x y 两点，如果126x x +=，那么AB =_________. 8变式：过抛物线24y x =的焦点做直线交抛物线于,A B 两点，如果8AB =，O 为坐标原点，则OAB ∆的重心的横坐标是_________. 2例2、直线l 经过抛物线22(0)y px p =>的焦点F ，且与抛物线交于,A B 两点，由,A B 分别向准线引垂线'',AA BB ，垂足分别为'',A B ，如果''A B a =，Q 为''A B 的中点，则QF = _________.（用a 表示）2a变式：直线l 经过抛物线22(0)y px p =>的焦点F ，且与抛物线交于,A B 两点，由,A B 分别向准线引垂线'',AA BB ，垂足分别为'',A B ，如果,AR a BF b ==，Q 为''A B 的中点，则QF =_________.（用,a b 表示）222a b +例3、设坐标原点为O ，过焦点的直线l 交抛物线24y x =于,A B 两点，OA OB ⋅=u u u r u u u r-3例4、过抛物线2(0)y ax a =>的焦点F 作一直线交抛物线于,P Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别是,p q ，则11p q +=_____. 4a小结：（1）抛物线中的焦点弦问题很多都可以转化为这个直角梯形中的问题，在解决这类问题时注意对这个梯形的运用；（2）万变不离其宗，解决问题的关键仍然是抛物线定义.。