有关抛物线焦点弦问题的探讨
过抛物线px y 22
=(p>0)的焦点F 作一条直线L 和此抛物线相交于A ),(11y x 、B ),(22y x 两点 结论1：
p x x AB ++=21
结论2：若直线L 的倾斜角为θ，则弦长θ
2
sin 2p
AB =
证: (1)若2
π
θ=
时,直线L 的斜率不存在，此时AB 为抛物线的通径,结论得证∴=∴p AB 2
(2)若2
π
θ
≠
时,设直线L 的方程为：θtan )2(p x y -
=即2
cot p
y x +⋅=θ 代入抛物线方程得0cot 222=-⋅-p py y θ由韦达定理θcot 2,21221p y y p y y =+-=
由弦长公式得
θ
θθ2
2212sin 2)cot 1(2cot 1p
p y y AB =
+=-+= 结论3： 过焦点的弦中通径长最小
p p
2sin 21sin 22≥∴
≤θ
θΘ ∴AB 的最小值为p 2,即过焦点的弦长中通径长最短.
结论4： )(8
3
2为定值p AB S oAB =∆
结论5： (1) 2
21p y y -= (2) x 1x 2=4
2
p
证44)(,2,22
2
221212
22211P P y y x x p y x p y x =
=∴==Θ 结论6：以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切 证：设M 为AB 的中点，过A 点作准线的垂线AA 1， 过B 点作准线的垂线BB 1，
过M 点作准线的垂线MM 1，由梯形的中位线性质和抛物线的定义知 2
2
2
1
11AB BF
AF BB AA MM =
+=
+=
故结论得证
结论7：连接A 1F 、B 1 F 则 A 1F ⊥B 1F
同理︒=∠∴∠=∠901111FB A FB B FO B ∴A 1F ⊥B 1 F
结论8：（1）AM 1⊥BM 1 （2）M 1F ⊥AB （3）
BF AF F M ⋅=2
1
（4）设AM 1 与A 1F 相交于H ，M 1B 与 FB 1相交于Q 则M 1，Q ，F ，H 四点共圆 （5）
2
121214M M B M AM =+
证：由结论（6）知M 1 在以AB 为直径的圆上∴ AM 1⊥BM 1
Θ11FB A ∆为直角三角形， M 1 是斜边A 1 B 1 的中点
∴M 1F ⊥AB
BF AF F M ⋅=∴2
1 Θ AM 1⊥BM 1 F B F A 90111⊥︒=∠∴Θ又B AM
︒=∠∴90FB A 11 所以M 1，Q ，F,H 四点共圆，2
2121AB B M AM =+
结论9： （1）、A O 、B 1 三点共线 （2）B ，O ，A 1 三点共线
（3）设直线AO 与抛物线的准线的交点为B 1，则BB 1平行于X 轴
（4）设直线BO 与抛物线的准线的交点为A 1，则AA 1平行于X 轴 证：因为p y p y k y p
p y y x y k oB oA
22121
11122,221-=-====
，而221p y y -=
所以122
2
22oB oA
k p y y p
p
k =-=-=
所以三点共线。

同理可征（2）（3）（4） 结论10：
p
FB FA 211=+ 证：过A 点作AR 垂直X 轴于点R ，过B 点作BS 垂直X 轴于点S ，设准线与x 轴交点为
E,θ的倾斜角为
因为直线L 则
θ
θcos 1cos -=
∴=+=+=P
AF AF AF P FR EF ER P AF θcos 11-=∴ 同理可得P BF θcos 11+= ∴p
FB FA 2
11=+ 结论11：
证:A
A B B EA E B A A FA B B BF FA
BF EA E B AA EF BB 111
1111
111,////=
∴
===
∴
ΘΘ
(4) 90AEB FB EF AF 2
︒∠∴=
＝＝＝时，当π
θ
x 1x 2=4
p 2
假设12
2y 1K K BE AE 22
11
BE AE -=+
⋅
+∴⋅⊥p x y p x ＝－
则
结论12：过抛物线的焦点作两条互相垂直的弦AB 、CD ，则 推广与深化：
深化 1：性质5中，把弦AB 过焦点改为AB 过对称轴上一点E （a,0），则有pa 2y y 21-=．
证：设AB 方程为my=x-a ，代入px 2y 2=．得：
0ap 2pmy 2y 2
=--，∴pa 2y y 21-=． 深化2： 性质12中的条件改为焦点弦AB 不垂直于x 轴，AB 的中垂线交x 轴于点R ，则
21
|AB ||FR |= 证明：设AB 的倾斜角为a ，直线AB 的方程为：
)
2p
x (tga y -=， AE BE AF AE
(1)PEQ (2) (3) K K 0BF BE
(4) AE BE , AE BE
2
2
EF π
π
θθ∠=+==
⊥≠
线段平分角当时当时不垂直于
代入px 2y 2
=得：px 2)4p px x (a tg 2
2
2
=+-，
即：0
4p )a pctg 2p (x x 22
2
=++-．
由性质1得
a sin p
2a pctg 2p 2p x x |AB |2221=
+=++=，
又设AB 的中点为M ，则
|
a cos a pctg ||a cos 2p
2x x ||FM |221=-
+=， ∴
a sin p |a cos a pctg ||a cos ||
FM ||FE |222=
==， ∴
21|AB ||FR |=． 深化3：过抛物线的焦点F 作n 条弦n n 2211B A B A B A ⋯
、、，且它们等分周角2π，则有
（1）
∑
=⋅n
1
i i i |FB ||F A |1
为定值； （2）
∑=n
1
i i
i
|B
A |1
为定值．
证明：（1）设抛物线方程为
a
Fx A ,cos 1p
1=∠θ-=
λ．
由题意
π-+=∠⋯π+=∠π+
=∠n 1
n a Fx A n 2a Fx A ,n a Fx A n 32，
所以222
211p a sin p a cos 1p )a cos(1p a cos 1|
FB ||F A |1=-=+π-⋅-=⋅， 同理22n n 2
222p )
n 1n a (sin |FB ||F A |1,,p )n a (sin |FB ||F A |1π-+=⋅⋯π+=⋅
易知
2n )n 1n a (sin )n 2a (sin )n a (sin a sin 2222=
π-++⋯+π+π++， ∴
222n
1
i 2222
i i p 2n p )
n 1
n a (sin p )n a (sin p a sin |FB ||F A |1=π-++⋯+π++=⋅∑
=．
（2）∵
a sin p
2a cos 1p 2)a cos(1p a cos 1p |B A |2211=
-=+π-+-=
，
∴p 2)n 1
n a (sin |
B A |1,,p 2a sin |
B A |1
2n n 211π-+
=
⋯=，
∴
p 4n p 2)
n 1
n a (sin p 2)n a (sin p 2a sin |B A |12n
1
i 22
i i =π-++⋯+π++=∑
=．。