振动理论练习题
Company Document number：WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998
第1章练习题
题已知一弹簧质量系统的振动规律为x(t)=?t+?t (cm), 式中，?=10? (1/s)。

(1)求其振幅、最大速度、最大加速度和初相位；(2)以旋转矢量表示出它们之间的关系。

题如题图所示，一弹簧质量系统沿光滑斜面作自由振动，求其振动微分方程及固有频率。

题图题图
题一均质直杆，长为l，重力W，用2根长为h的铅直线挂成水平位置，见题图。

试求此杆绕铅直轴oo1微幅振动的微分方程和它的固有周期。

题如题图，质量m1自高度l下落碰撞原在弹簧k下平衡的质量m2，为完全塑性碰撞，求碰撞后两质量的振动运动。

题图题图
题如题图，惯性矩为J的轮和轴，轴中心线与铅垂线有夹角?，盘上半径r处有一附加质量m，求轮和盘系统的固有振动周期。

题利用等效质量与刚度的概念求解题图示系统的固有频率。

AB杆为刚性，本身质量不计。

题图题图
题两缸发动机的曲轴臂及飞轮如题图所示，曲轴相当于在半径r处有偏心质量m e，为平衡这一质量将平衡配重放在飞轮上，设所在位置同样距轴心r，求平衡配重所需质量。

题 用衰减振动法测定某系统的阻尼系数时，测得在40周内振幅由减少到。

求此系统的相对阻尼系数?。

题 某洗衣机滚筒部分重14kN ，用四个弹簧对称支承，每个弹簧的刚度为k =80N ／mm 。

(1)试计算此系统的临界阻尼系数c c ；(2)这个系统装有四个阻尼缓冲器，每个阻尼系数c =·s ／mm 。

试问此系统自由振动时经过多少时间后，振幅衰减到10％(3)衰减振动的周期是多少与不安装缓冲器时的振动周期作比较。

题 如题图,展开周期半正弦函数F (t )成傅里叶级数，求出所示弹簧质量系统在该F (t ) 作用下的响应。

题图
题图
题 求题图所示初始时静止的弹簧质量系统在力F (t )=F o e -bt 作用下的瞬态响应。

题 试求在t =0时，有冲量F 作用下，有阻尼弹簧质量系统的瞬态响应峰值x m 及其出现时间t m 。

题 弹簧质量系统30o
光滑斜面降落，如题图所示。

自弹簧开始接触底面到离开为止，求所需的时间为多少
题图
题图
题 无阻尼单自由度质量弹簧m-k 系统，受题图所示力的作用， 记x s =F 0/k ，m k n
/2
=ω， 求证，在t < t 0 内，有 )sin (1
)(0
t t t x t x n n n s ωωω-= 在t > t 0内， 有
)(cos ]sin )([sin 1)(000
t t t t t t x t x n n n n s -+--=ωωωω。

题 如题图,为车辆行驶通过曲线路面模型，设道路曲面方程为：)2cos 1(x l
a y s π
-=，求： 1）车辆通过曲线路面时的振动；2）车辆通过曲线路面后的振动。

题图
题图
题 如题图，质量m 1，m 2被无质量弦牵引，求所示质量的微幅振动微分方程和固有频率，分别给各阶模态形状，设张力T 不变。

题 求如题图所示系统的固有频率，分别给出n ＝l ，n =2时的模态形状。

题图
题图
题 求如题图所示扭转系统在扭转刚度k 1＝k 2,转动惯量J 1＝2J 2时的固有频率和正则模态。

题 在题中，若k 1=0，02≠k 则成为2自由度退化系统，具有一个零固有频率和一个非零固有频率，求其正则模态。

讨论此系统对应的移动位移运动的弹簧质量M -K 系统的形式。

求证当使用?=?1-?2为坐标时，系统可被看成单自由度系统。

题 设n 自由度无阻尼系统自由运动方程为
0K x x
M =+ ，设它的n 个固有频率?i (i =1,2,…, n )互不相同，求证系统模态向量?i (i =1,2,…, n )对质量矩阵M 和刚度矩阵K 的正交性，即证明
⎩⎨⎧≠==j i j i m i j T i 0M φφ，⎩
⎨⎧≠==j i j i k i j
T
i 0K φφ, i , j =1, 2, 3, … , n 。

题 如题图，为滑块＋单摆系统，设x (t )= a sin ?t ，其中m k =ω。

求： （1）单摆的最大摆角；（2）系统的固有频率。

题图
题图
题 如题图，其中2/3km c =，m 1=m 2=m ，m 1上受阶跃力F 1，求零初始条件下系统响应。

题 如题图，各质量上的激励力F 1=F 2=F 3=F sin ?t ，其中?=m k /，各阶模态阻尼比为?1=?2=?3=，求各质量的稳态响应。

题图
题图
题如题图所示简支梁，三等分处各有质量m1＝m 2=m，各质量下有阻尼器，阻尼系数为C1=C2=30
m
k,其中k0=486EJ/l3，EJ为梁的抗弯刚度，l为梁长度，设梁的质量不计。

求：
（1）各阶相对阻尼系数?1，?2；（2）质量m1上受到一单位脉冲力?(t)作用，m1，m2的运动规律。

题设一等直杆在左端自由，右端固定，求它的纵向振动的表达式。

题求如题图所示的阶梯杆的纵向振动的特征方程，有???????。

提示：杆的连续条件是当x1＝l1, x2＝0时，u1＝u2，EA1
1
1
x
u
∂
∂
＝EA2
2
2
x
u
∂
∂。

题图题图
题如题图所示，长为l的等直圆杆以等角速度?转动。

某瞬时左端突然固定，求杆扭转振动的响应。

题一根重的柔性钢索，长度为l，单位长度的质量为?，上端悬挂，在平面内作自由振动，如题图所示，试推导钢索横向运动微方程，并证明可分离成两个常微分方程。

题图题图
题如题图所示，等截面悬臂梁的自由端有一弹性支承，其刚度系数为k，求特征方程和主振型的正交性条件。

题一等截面梁，x＝0端自由，x＝l端简支，若简支端有横向运动y l(t)=Y l sin?t，证明简支端与自由端的振幅比为0
cos sin
sin
l
Y sh l l ch l l
Y sh l l
ββββ
ββ
-
=
-
,其中
EJ
A
ρ
ω
β
2
4=。

题如题图所示，一根矩形截面杆一端固定一端自由，其长度为l，厚
度为b，横截面积A按直线规律变化：A(x)＝A0(1+x/l)，其中A0为自由
端的截面积，试用里兹法运用模态截断的思路求杆纵向振动的第1，2
阶固有频率。

设第1，2阶振形函数为：
2
2
1
1
)
(
l
x
x-
=
φ ,
3
3
2
1
)
(
l
x
x-
=
φ。

题随机过程X[t]的样本函数为：)
sin
)
sin
)(
2
2
1
1
φ
ω
φ
ω+
+
+
=t
a
t
a
t
x
2
1
(
(，式中a1，a2，?1，?2是常数，?1，?2
为统计独立的在[0，2?]上均匀分布的随机变量，求自相关函数R xx(?)。

题图
题 某平稳随机过程的自相关函数为：162cos 25)(4+=-τπττ
f e R xx ，求其均值?x ，方差2x ε，功率谱密度函数
S xx (f )和单边谱密度函数G xx (f )。

题 已知某振动系统的输入为力，输出为位移，系统位移响应的y (t )的自功率谱为：
)(4)()(2
2022220∞<<-∞+-=
ωωωςωωωa
S yy ，求响应y (t )的自相关函数和均方值。

题 系统示意图如题图，设F 1 (t )为均值为零的白噪声，其自功率谱密度函数为S FF (?)，求稳态情况下响应的自功率谱密度函数，互功率谱密度函数及各响应的均方值。

题 如题图，系统由主系统（m 1，k 1）和副系统（m 2，C 2，k 2）组成，设作用在m 1上的F 1(t )为零均值白噪声，试以响应y 1(t )的均方值最小为条件确定副系统的m 2，C 2，k 2。

题 设线性系统随机运动方程为
)(t W KX X C X
=++ 其中： ⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡--=5.1119C ;
C K 100=。

W (t )为平稳白噪声激励向量，有 E [W (t )]=0，E [W (t )W T (t +?)]=I ?(t )，I 为单位矩阵，用实模态分析法求响应
的相关函数矩阵R XX (t )。

题图。