在物块重力作用下，每个弹簧产生的静变形相 等，由物块的平衡条件可得
mg k1 s t k2 s t 将并联弹簧看成为一个弹簧，其刚度 系数 keq mg s t ，称为等效刚度系 数（Equivalent stiffness）。
keq k1 k2 （17-11）
k1
k2
m
k1 m
k2
（a）
消耗能量，降低精度等。
研究振动的目的：
消除或减小有害的振动，充分利用振动为人类服 务。
振动的分类：
按系统的自由度分
单自由度系统的振动 多自由度系统的振动 弹性体的振动
按振动产生的原因分：
自由振动
无阻尼的自由振动 有阻尼的自由振动（衰减振动）
强迫振动
无阻尼的强迫振动 有阻尼的强迫振动
自激振动
17.1 单自由度系统的自由振动 实际中的振动往往很复杂，为了便于研究，需
其单位与频率 f 相同，为赫兹（Hz）。
mG g
k G
st
n2
k m
n
g
st
（17-10）
（2）振幅和初位相
x Asinn t
A表示物块偏离振动中心的最大距离，称为振幅 （Amplitude），它反映自由振动的范围和强弱；
nt 称为振动的相位（Phase）（或相位角）
，单位是弧度（rad），相位决定了物块在某瞬时t
的位置，而 称为初相位，它决定了物块运动的
起始位置。
例17-1 求如图17-3所示单摆的微幅振动周期。
已知摆球质量为m，摆绳长为l。
解： 单摆的静平衡位置为铅垂位置，用摆绳偏
离垂线的夹角 j 作为角坐标。摆球受到重力 mg和绳
拉力 F 的作用。取j 的增大方向为正向，依据动量矩
定理，得
ml 2
d 2j
dt 2
m g l sinj
O jl
d2j g sinj
0
dt 2
l
Fv
mg 图 17-3
微幅振动 sinj j
d 2j
dt 2
g l
j
0
固有圆频率
n
g l
周期为
T 2 2 l
n
g
例17-2 滑轮重量为 G，重物 M1，M2重量为 G1， G2。弹簧的刚度系数为k，如图17-4所示。设滑轮为 均质圆盘，略去弹簧与绳子的质量，求重物垂直振动
s t1
mg k1
s t2
mg k2
弹簧总的静变形为
st
s t1
s t2
mg
1 k1
1 k2
k1
k2 m 图 17-6
将则串有联弹簧看成为一个s t 弹 k簧megq，其等效刚度系数为keq，
1 11
keq k1 k2
（17-12）
表明串联弹簧系统的等效刚度系数的倒数等于各弹
簧刚度系数的倒数之和。
G 2
G1
G2
r2 g
系统在平衡位置时弹性力对点O之矩与重物重力对
点O之矩相互抵消，即
kstr G1r G2r 0
G 2
G1
G2
r2 j kr2j
g
j 2gk j 0
G 2G1 2G2
n
2gk G 2G1 2G2
T 2 2 G 2G1 2G2
n
2gk
17.1.3 弹簧的并联与串联 （1）弹簧并联。图17-5表示刚性系数为k1，k2 的弹簧组成的两种并联系统。
F
取物块的静平衡位置为坐标原点，x轴铅垂向
x
下，当物块在任意位置x处时，弹簧对物块的 G
作用力大为
F k st x
x 图 17-1
根据牛顿第二定律，物块的运动微分方程为
d2x
m d
t2
mg k st
x
m
d2x dt2
k
x
令
2 n
k m
（17-2）
d2x dt2
2 n
x
0
（17-3）
单自由度系统无阻尼自由振动（Free vibration）微分方程的标准形式。
（b）
图 17-5
并联弹簧系统的等效刚度系数等于各弹簧刚度系数之 和。
这一结果说明弹簧并联后总的刚度系数增大了。 该系统的固有圆频率为
n
keq m
k1 k2 m
（2）弹簧串联。 图17-6表示两个弹簧串联，两
个弹簧的刚度系数分别为k1，k2。在物块重力作用下 每个弹簧所受的拉力相同，因此每个弹簧的静变形为
通解： x C1 cosnt C2 sin nt
（17-4）
任意瞬时的速度为
v
dx dt
C1 n
sin n
t
C2
n
cos n
t
当t = 0时，x = x0，v = v0，可求出积分常量
C1 x0
C2
v0
n
令 C1 Asin
C2 A cos
式（17-4）可写成
x Asinn t （17-5）
振动（Vibration ）:系统在平衡位置附近作往复 运动。
振动是日常生活和工程实际中常见的现象。
例如：钟摆的往复摆动，汽车行驶时的颠簸，电 动机、机床等工作时的振动，以及地震时引起的建筑 物的振动等。
振动的利弊：
利：振动给料机；
弊：磨损，减少寿命，影响强度
振动筛；
引起噪声，影响劳动条件
振动沉拔桩机等。
的周期。
j
解： 以滑轮偏离其平衡位置的转角j O
为确定系统位置的坐标。设滑轮半径为r。
当系统在任意位置j 时，弹簧的变形量
M1
M2
为
s t rj
k1
依据动量矩定理，有
图 17-4
J0j k st rj r G1r G2r
系统对点O的转动惯量
J0
1 2
G g
r2
G1 g
r2
G2 g
r2
A
C12 C22
x02
v0
n
2
tan n x0
v0
无阻尼自由振动是简谐 振动，其运动图线如图 17-2所示。
x t
A0 x0 0
A0
（17-6）
T t
图 17-2
17.1.2 自由振动的特点 （1）周期与频率。物体的无阻尼自由振动是 周期运动，设周期为T
xt xt T n T t n t 2
简化为力学模型。
振 体
质量—弹 簧系统
17.1.1 自由振动微分方程
如图17-1所示振动系统，设物块的质量为m，弹簧
原长为 l0，刚度系数为 k。物块在平衡位置时，弹簧的
变形为 st ，称为静变形。平衡时，重力G与
弹性力相等，即 G mg kst
k
弹簧的静变形为
l0
δs t
st
mg k
（17-1）
无阻尼自由振动的周期
2
T
n
（17-7）
无阻尼自由振动的频率
f 1 n T 2
（17-8）
n 2 f
（17-9）
表示物体在 2 秒内振动的次数，称为圆频率 （Circular frequency）。
只与系统本身的质量m及弹簧刚度k有关，而与运 动的初始条件无关，是振动系统的固有特性，所以称
为固有圆频率（固有频率（Natural frequency））。